专题18 概率初步解答题分类训练（5种类型50道）-2023-2024学年七年级数学下册专题训练+备考提分专项训练 备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题18 概率初步解答题分类训练（5种类型50道） 目录 【类型1 放回问题】 1 【类型2 不放回问题】 7 【类型3 公平性问题】 15 【类型4 设计方案】 24 【类型5 统计与概率综合】 31 【类型1 放回问题】 1．小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌（共52张）做摸牌游戏：小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关），然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏． (1)若小明已经摸到的牌面为6，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是________； (2)若小明已经摸到的牌面为2，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是________； (3)若小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是________． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）小明已经摸到的牌面为6，而小于6的结果为，然后根据概率公式求解； （2）小明已经摸到的牌面为2，而小于2的结果为0，然后根据概率公式求解； （3）小明已经摸到的牌面为A，而小于A的结果为，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）一副扑克去掉大小王后，共有张牌， 则小明已经摸到的牌面是6，如果小明获胜的话，小颖只可能摸到的牌面是2、3、4或者5， 所以，小明获胜的概率是； 故答案为：； （2）若小明已经摸到的牌面为2， 那么小明获胜的概率是0， 故答案为：0； （3）若小明已经摸到的牌面为A， 那么小明获胜的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，准确理解概率的定义并运用公式求解是解题关键． 2．将牌面数字分别是5，6，7，8的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，甲、乙两人每次同时从桌面上抽出一张牌，并计算摸出的这两个牌面上的数字之和，记录后将牌放回并背面朝上，洗匀后进行重复试验，在试验中出现“和为13”的试验数据如下表： 试验总次数 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为13”出现的次数 13 24 30 37 58 82 110 150 “和为13”出现的频率 0.43 0.40 0.31 0.34 0.33 (1)请将表中的数据补充完整； (2)如果试验维续进行下去，根据上表数据，出现“和为13”的频率可能稳定在 左右．（上述结果均保留两位小数） 【答案】(1)0.33，0.32，0.33 (2)0.33 【分析】本题考查频数、频率的知识，以及利用频率估计概率，正确理解频率的稳定性是关键； （1）根据表格数据，直接解答即可； （2）随着试验次数的增加，“和为13”出现的频率在0.33左右摆动，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题知，， ， ； （2）解：通过观察这组数据可知，随着试验次数的增加，“和为13”出现的频率为0.33． 故答案为：0.33． 3．一个不透明的口袋中有9个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外，其余都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算口袋中白球的数量：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……小明重复上述过程，共摸了100次，其中40次摸到白球．口袋中的白球约有多少个？ 【答案】口袋中的白球约有6个 【分析】等量关系为白球的个数÷球的总数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设口袋中的白球约有x个． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 答：口袋中的白球约有6个； 【点睛】本题考查有关概率的计算，熟记公式是解题的关键． 4．刘老师将4支红中性笔芯和若干支黑色中性放入一个不透明的盒子中并搅匀，这些中性笔芯除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸笔芯试验，每次摸出一支中性笔芯，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在．试估算盒中黑色中性笔芯的数量． 【答案】16支 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可． 【详解】解：∵从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在， ∴从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的概率为， 设盒中有x支黑色中性笔芯，根据题意得 ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴估算盒中有16支黑色中性笔芯． 【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现m种可能，那么事件A的概率 是解题关键． 5．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（2）班21学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表： 摸球次数 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 (1)表中的 ； (2)请估计当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）； (3)试估算这个不透明的口袋中红球的个数． 【答案】(1) (2) (3)这个不透明的口袋中红球有15个 【分析】（1）根据题目表中的数据，直接计算摸到白球的频率即可得到答案； （2）由题中表格计算的频率过程可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近即可得到答案； （3）由（2）中得到的摸到白球的频率将会接近，设红球的个数为，根据题意得到方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中数据可知摸到白球的频率，即， 故答案为：； （2）解：由表格中计算的频率过程可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （3）解：设红球的个数为，根据题意， 得，解得， 经检验是原方程的解， 答：这个不透明的口袋中红球有15个． 【点睛】本题考查频率的计算以及运用，读懂题意，熟练掌握频率相关问题的求解方法是解决问题的关键． 6．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和18个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，请你估计盒子里白球的个数． 【答案】盒子里白球的个数为个． 【分析】根据题意列算式即可求解； 【详解】解： 答：盒子里白球的个数为个． 【点睛】本题主要考查简单概率的应用，正确列出算式是解题的关键． 7．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，在袋中剩下的球中随机摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个小球，记录颜色后放回、搅匀，……不断重复这一过程，经过大量试验发现从袋中摸出一个球是黑球的频率稳定在，估计从袋中取出黑球的个数． 【答案】2个 【分析】设从袋中取出个黑球，根据题意得，继而求得答案． 【详解】解：设从袋中取出个黑球， 根据题意得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以从袋中取出黑球的个数为2个． 【点睛】本题考查概率公式的应用，注意利用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之和． 8．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到红球的频数n 123 243 487 725 964 1200 摸到红球的频率 0.820 0.810 0.812 0.806 0.803 a (1)            ． (2)请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近 （精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是 （精确到0.1）． (3)求口袋中红球的数量． 【答案】(1)0.8 (2)0.80；0.8 (3)60个 【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可； （2）从表中的统计数据可知摸到红球的概率； （3）设口袋中红球的数量为x个，根据概率的意义列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.80， 即摸到红球的概率是0.8； 故答案为：0.80，0.8； （3）设口袋中红球的数量为x个， ， 解得：． 答：口袋中红球的数量为60个． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．熟记所求情况数=概率乘以总情数是解题的关键． 9．一个不透明的口袋中放有14个白球，16个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同． (1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球20次，其中摸出红球的次数为4次，求这次摸球活动中红球出现的频率； (2)若袋子中白球的数量比红球的数量的2倍还多2个，求从袋中任取一个球是黑球的概率． 【答案】(1)这次摸球活动中红球出现的频率为0.2 (2)从袋中任取一个球是黑球的概率为 【分析】（1）用摸到的红球次数除以摸球的总次数即可； （2）设口袋中红球的个数为x，根据白球的数量比红球的数量的2倍还多2个建立方程求出x的值，再利用概率公式求解即可 【详解】（1）解：这次摸球活动中红球出现的频率为4÷20＝0.2； （2）解：设口袋中红球的个数为x， 根据题意，得：2x+2＝14， 解得x＝6， ∴ 袋中红球的个数为6， ∴ 从袋中任取一个球是黑球的概率为 【点睛】本题考查的是概率公式，解题的关键是知道概率=所求的情况数与总情况数之比． 10．一个不透明的口袋中有12个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算其中白球的个数：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一个球，记下颜色……小明重复上述过程100次，其中60次摸到白球，请回答： （1）口袋中的白球约有多少个？ （2）有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池若彩球池里共有3000个球，则需准备多少个红球？ 【答案】（1）18个；（2）1200个 【分析】（1）设白球的个数为x个，根据概率公式列出分式方程，故可求解； （2）根据红球的占比即可求解． 【详解】解：（1）设白球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：x=18， 经检验，符合题意， ∴小明可估计口袋中的白球的个数是18个． （2）3000×=1200，即需准备1200个红球． 【点睛】此题主要考查概率公式的运用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 【类型2 不放回问题】 11．在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字，，1，6． (1)随机抽出一张卡片是正数的概率是______； (2)第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标，不放回袋中，再随机地从中抽出一张，把所抽到的数字记为纵坐标．请用数状图或列表法求所得的点在反比例函数上的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）用正数的个数除以总个数即可求解； （2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有可能发生的总数即可． 【详解】（1）解：由题意可知，随机抽出一张卡片共有4种可能，随机抽出一张卡片是正数有2种可能， ， 故答案为：； （2）依题意，点在反比例函数上， ， 即两次数字之积为6， 画树状图如下： 结果共有种可能，两次数字之积为6的有4中可能， 点在反比例函数上的概率为： ． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．解题时要注意此题是不放回实验，然后利找出所有可能数和符合条件的可能数利用公式求解，也考查了反比例函数图像上点的坐标特征． 12．电影《长空之王》上映，好评不断，小明和小颖都想去观看这部电影，但只有一张电影票，于是他们决定通过摸牌游戏决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：现有一副去掉大、小王的扑克牌，小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，，，，，且牌面的大小与花色无关）．如果小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ 【答案】（小明获胜），（小颖获胜） 【分析】一副扑克去掉大小王后，共有张牌，如果小明获胜的话，小颖只可能摸到的牌面是2、3或者4；若小颖获胜的话，则小颖只能能摸到的牌面除2、3、4或者5的其他牌，据此计算即可． 【详解】一副扑克去掉大小王后，共有张牌， 则小明已经摸到的牌面是5， 如果小明获胜的话，小颖只可能摸到的牌面是2、3或者4， 即小明获胜的概率是； 若小颖获胜的话，则小颖只能摸到牌面数字除2、3、4或者5的其他牌， 即小颖获胜的概率是； 故答案为：（小明获胜），（小颖获胜）． 【点睛】本题考查概率公式，准确理解概率的定义并运用公式求解是解题关键． 13．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的19张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为3、4、5、7，两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负． (1)若甲先摸，他摸出“石头”的概率是多少？ (2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）共有19张牌，石头的有4张，用即可得； （2）甲先摸出“石头”后，还有18张牌，而锤子有3种情况，布有7种情况，共有10种情况乙可以获胜，用即可． 【详解】（1）； （2）． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 14．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件； (4)“摸到两个黄球”是确定事件． 【答案】(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）； (2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (4)盒中装有红球9个、黄球1个（答案不唯一）． 【分析】（1）要使“摸出的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可； （2）要使“摸出红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球； （3）要使“摸出2个黄球”是随机事件，即可能摸出2个黄球，也可能摸不出2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸出2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸出2个黄球； （4）确定事件包含不可能事件和必然事件，要使“摸出2个黄球”是必然事件，即一定可以摸出2个黄球，要使“摸出2个黄球”是不可能事件，即一定摸不出2个黄球． 【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件； （3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件； （4）解：盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定事件． 【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件以及不可能事件，解答此题要注意：不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在0和1之间． 15．甲、乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“石头”“剪子”“布”的卡片张数分别为4，5，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负．问若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？请说明理由． 【答案】甲先摸出“剪子”获胜的可能性最大，理由见解析 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为； 若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为； 若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“石头”）的概率为； ∵， ∴甲先摸出“剪子”获胜的可能性最大． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键． 16．在不透明口袋里有除颜色外其它都相同的4个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值为_________． ②如果事件A是随机事件，则m的值为_________． (2)先从袋子中取出n个红球，再放入除颜色外其它都相同的n＋3个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是，求n的值． 【答案】(1)①3；②1或2 (2)n=2 【分析】（1）①如果先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，从袋子里随机摸出一个球是必然事件，则袋子里面装的都是红球，即可求出取出的白球个数； ②如果先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，从袋子里随机摸出一个球是随机事件，则袋子里面装的既有红球又有白球，即可求出取出的白球个数； （2）根据概率公式列出等式，解出n的值即可． 【详解】（1）解：先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A， ①如果事件A是必然事件，则袋子中只有红球，则拿出了3个白球，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则袋子中既有红球又有白球，则取出的白球个数为1个或2个，则m的值为1或2． 故答案为：①3；②1或2． （2）解：由题意得：， 解得n＝2． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝ 且0≤P（A）≤1． 17．袋子里有2个红球，8个白球，每个球除颜色外都相同． (1)如果第一次摸出一个球不放回，第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，那么“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球”这个事件是什么事件？ (2)如果第一次摸出一个球不放回，再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率． 【答案】(1)不确定事件 (2)或 【分析】（1）根据事件的定义判断即可． （2）根据不放回的特点，结合概率公式计算即可． 【详解】（1）因为第一次摸出一个球不放回，可能是红球，也可能是白球；第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，可能是红球，也可能是白球；故“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球可能是红球，也可能是白球； 故这个事件是随机事件或不确定事件． （2）当第一次摸到的是红球时，还余下9个球，其中白球为8个， 故第二次摸到白球的概率为； 当第一次摸到的是白球时，还余下9个球，其中白球为7个， 故第二次摸到白球的概率为； 再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率为或． 【点睛】本题考查了随机事件即不确定事件，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 18．有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏． （1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？ （2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽到数字1，情况又如何？ 【答案】（1）小明获胜的概率是；小颖获胜的概率是；（2）小明已经抽到数字6，小明获胜的概率是；小颖获胜的概率是；小明已经抽到数字1，则小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1． 【分析】（1）根据题意列出可能性，根据概率公式即可求解； （2）根据题意列出可能性，根据概率公式即可求解． 【详解】解：（1）共有7张纸签， 小明已经抽到数字4，如果小明获胜的话，小颖只可能抽到数字1、2、3， 所以小明获胜的概率是. 如果小颖要获胜，抽到的数字只能是5、6、7， 所以小颖获胜的概率是 （2）若小明已经抽到数字6， 如果小明获胜的话，小颖只可能抽到数字1，2、3、4，5， 所以小明获胜的概率是. 如果小颖要获胜，抽到的数字只能是7， 所以小颖获胜的概率是. 若小明已经抽到数字1， 则小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 19．小明与小颖用一副去掉大王、小王的扑克牌作摸牌游戏：小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大，谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏． （1）若小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？ （2）若小明已经摸到的牌面为2，直接写出小颖获胜的概率；若小明已经摸到的牌面为A，两人获胜的概率又如何呢？ 【答案】（1）小明获胜概率，小颖获胜概率；（2）小颖获胜的概率是0，小明获胜的概率是 【分析】（1）小明已经摸到的牌面为4，而小4的结果为4×2，大于4的结果数为4×10，然后根据概率公式求解； （2）小明已经摸到的牌面为2，而小于2的结果为0，大于2的结果数为4×12，然后根据概率公式求解；小明已经摸到的牌面为A，而小于A的结果为4×12，大于2的结果数为0，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）由题意知，去掉大王、小王的扑克牌共有52张，其中比4小的牌有2，3， 所以，小明获胜的概率是＝； 小明与小颖摸到的相同的牌面的概率为， 所以，小颖获胜的概率是1﹣﹣＝； （2）若小明已经摸到的牌面为2，比2小的牌没有， 所以小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1﹣＝； 若小明已经摸到的牌面为A，没有比A更大的牌， 所以小颖获胜的概率是0，小明获胜的概率是1﹣＝． 【点睛】本题考查了概率公式：某随机事件的概率=这个随机事件发生的情况数除以总情况数． 20．在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”个围棋子，它们除了颜色之外没有其它区别． （1）随机地从盒中提出子，则提出白子的概率是多少？ （2）随机地从盒中提出子，不放回再提第二子．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率． 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）由共有“一白三黑”4个围棋子，利用概率公式直接求解即可求得答案； （2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好提出“一黑一白”子的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 试题解析：（1）提出白子的概率是 （2）方法一：列举所有等可能的结果，画树状图如下： ∴． 方法二：列举所有等可能的结果，列表法如下： 白 黑1 黑2 黑3 白 （白，黑1） （白，黑2） （白，黑3） 黑1 （黑1，白） （黑1，黑2） （黑1，黑3） 黑2 （黑2，白） （黑2，黑1） （黑2，黑3） 黑3 （黑3，白） （黑3，黑1） （黑3，黑2） ∴． 考点：树状图或列表法求概率 【类型3 公平性问题】 21．小明和小亮在玩转盘游戏，如图所示，小明将一个转盘平均分成6份，转盘可以随意转动．    (1)请你求出指针指向3的倍数的概率； (2)如果游戏规定，若指针指向偶数，则小明胜利，指针指向奇数，则小亮胜利，你认为这个戏公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）根据概率公式分别求出小明胜利和小亮胜利的概率，再进行比较，即可得出这个游戏不公平． 【详解】（1）解：指针指向3的倍数的概率为； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： ∵偶数有2个，奇数有4个， ∴小明胜利的概率是，小亮胜利的概率是， ∵， ∴小亮胜利的可能性大， ∴这个游戏不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．    (1)小明转出的颜色为红色的概率为______； (2)小明转出的颜色为黄色的概率为______； (3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______； (4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3) (4)不公平，见解析 【分析】（1）根据甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份，再根据概率公式即可得出答案； （2）根据甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份，再根据概率公式即可得出答案； （3）根据乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份，然后根据概率公式即可得出答案； （4）根据概率公式先求出小明和小颖转出的颜色为红色的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份， 小明转出的颜色为红色的概率为； 故答案为：； （2）解：甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份， 小转出的颜色为黄色的概率为； 故答案为：； （3）解：乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份， 小颖转出的颜色为黄色的概率为； 故答案为：； （4）解：不公平， 因为小明转出的颜色为红色的概率为，小颖转出的颜色为红色的概率为， 而， 所以不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，每个球除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球，若是红球则小明获胜，若是黄球则小亮获胜． (1)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． (2)如果另拿5个球放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和黄球的可能性大小相等．那么应放入______个红球，______个黄球． 【答案】(1)这个游戏对双方不公平，理由见解析 (2)4，1 【分析】（1）分别求解摸到红球的概率与摸到黄球的概率，从而可得结论； （2）要使摸到红球和黄球的可能性大小相等，只需黄球、红球的个数相等即可． 【详解】（1）解：∵袋子中装有3个红球和6个黄球， ∴摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是， ∴小亮获胜机会大， ∴这个游戏对双方不公平； （2）要使摸到红球和黄球的可能性大小相等，只需黄球、红球的个数相等即可 所以，应放4个红球，1个黄球． 【点睛】本题考查概率计算、可能性大小的判断，熟记概率公式是解题的关键． 24．如图，一个质地均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“是”“中”“国”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转盘指针的位置固定，转动转盘，当转盘自然停止时，指针指向的汉字即为转出的汉字（指针落在分界线重新转动）．    (1)转出的汉字为“我”的概率是________． (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字在阴影区域时，小明获胜；否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）分别计算两个人获胜的概率，即可解答． 【详解】（1）解：8个汉字中，有2个“我”字， ∴转出的汉字为“我”的概率是， 故答案为：； （2）解：8块区域中，有4块阴影区域， ∴小明获胜的概率为， 则小华获胜的概率为， ∵， ∴两人获胜的概率相同，即游戏公平． 【点睛】本题考查了概率的应用，掌握概率公式求概率是解题的关键． 25．如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种．甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗？为什么？    【答案】公平，理由见解析 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】公平， 理由：∵一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种，黄和绿色的都有3个扇形， ∴指针指向黄色区域的概率是：，指针指向绿色区域的概率是：， ∴这个游戏对甲、乙公平． 【点睛】此题考查了游戏的公平性，概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 26．如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1、2、3、4、5五个数字，转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字是3的概率是多少？ (2)转出的数字小于4的概率是多少？ (3)转出的数字是偶数的概率是多少？ (4)甲乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，如果转出的数字是偶数，则甲胜；如果转出的数字是奇数，则乙胜．你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【答案】(1) (2) (3) (4)不公平，见解析 【分析】（1）直接用概率的计算公式即可求解 （2）根据题意可知，小于4的的数字共有3个，再根据概率公式求解 （3）根据题意可得，数字中偶数有2个，根据概率公式求解 （4）根据题意，偶数有2个，奇数有3个，求解概率进行比较大小即可求解 【详解】（1）转盘共分为5份，数字3占其中一份， 故转出的数字是3的概率为 （2）共有5种等可能结果，转出的数字小于4的有1、2、3共3个， 所以转出的数字小于4的概率为 （3）共有5种等可能结果，转出的数字是偶数的有2、4两个数字， 所以转出的数字是偶数的概率为 （4）不公平，转出的数字是偶数的概率为5转出的数字是奇数的概率为． ， 所以这样的游戏规则对甲、乙两人不公平 【点睛】本题考查游戏公平性的判断，解决本题的关键是正确计算每个事件的概率 27．将五张背面图案完全一样的卡片，分别标上数字1，2，3，4，4，洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题． (1)随机抽取一张，抽到4的概率________； (2)随机抽取一张，抽出奇数的概率________； (3)若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏，哥哥抽出标有偶数的卡片赢，弟弟抽出标有奇数的卡片赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数量和内容）使游戏公平． 【答案】(1) (2) (3)不公平，游戏规则改为，抽出大于3的哥哥赢，抽出小于3的弟弟赢（规则修改不唯一） 【分析】（1）应用概率的计算公式即可得出答案； （2）应用概率的计算公式即可得出答案； （3）求出抽出标有偶数的卡片的概率为，抽出标有奇数的卡片的概率为，得这个游戏不公平；修改游戏规则后，哥哥抽出大于3的卡片的概率=弟弟抽出小于3的卡片的概率，则游戏公平． 【详解】（1）解：总共有5张卡片，标有数字4的有2张，因此抽到4的概率； （2）总共有5张卡片，奇数有1，3共2张卡片，因此抽到奇数的概率； （3）因为弟弟抽到奇数的概率是，而哥哥抽到偶数的概率是，因此游戏不公平；可以将游戏规则改为：抽出大于3的哥哥赢，抽出小于3的弟弟赢（规则修改不唯一）． 【点睛】本题考查了概率的计算，准确分清每个事件包括的项目数是本题的关键． 28．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是______，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是______． (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画不小于8画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏公平，理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是， 故答案为：，； （2）解：游戏公平，理由如下： 8个汉字中笔画不小于8画的有：骄、傲、是、国， 8个汉字中笔画小于8画的有：我、我、中、人， 所以小明获胜的概率为， 小华获胜的概率为， ∴小明获胜的概率=小华获胜的概率， 所以游戏公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 29．小明和小乐做摸球游戏：在一个不透明的口袋里放有个红球和个绿球，每个球除颜色外 都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球小 明得分，若是绿球小乐得分，游戏结束时得分多者获胜． （）你认为这个游戏对双方公平吗？ （）若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方 公平． 【答案】（）不公平．（）见解析. 【详解】试题分析: 游戏是否公平,关键要看游戏双方取胜的机会是否相等,即判断双方取胜的概率是否相等,或转化为在总情况明确的情况下,判断双方取胜所包含的情况数目是否相等. 试题解析:（）不公平, （）摸出红球的概率为，平均每次得分（分）, 摸出绿球的概率为,平均每次得分（分）,而, 所以游戏不公平,修改规则不唯一,例如可修改为:若是红球,小明得分,若是绿球,小乐得分. 30．甲、乙两位同学玩摸球游戏，准备了A、B两个口袋，其中A口袋中放有标号为2，3，5，6的4个球，B口袋中放有标号为1，4，7的3个球．游戏规则：甲从A口袋摸一球，乙从B口袋摸一球，摸出的两球所标数字之差（甲摸取数字﹣乙摸取数字）大于0时甲胜，小于0时乙胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若不公平，请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则． 【答案】公平，理由见解析. 【详解】试题分析：游戏公平，理由为：列出表格，得出所有等可能的情况数，找出数字之差大于0，等于0以及小于0时的情况数，求出甲乙两获胜的概率，即可判断不公平，若要使游戏公平，修改规则即可． 试题解析：游戏公平，理由为： 列表得： 2 3 5 6 1 （2，1） （3，1） （5，1） （6，1） 4 （2，4） （3，4） （5，4） （6，4） 7 （2，7） （3，7） （5，7） （6，7） 所有等可能的情况有12种，其中摸出的两球所标数字之差（甲数字-乙数字）大于0的情况有6中，小于0的情况有6种， 则P甲获胜==，P乙获胜==， ∵， ∴游戏对甲、乙双方是公平的． 考点: 1.游戏公平性；2.列表法与树状图法． 【类型4 设计方案】 31．现有一个不透明的袋子，有形状大小都相同的红、黄、白三种颜色的小球若干．请你从三种颜色的小球中，共选取10个小球放入袋中．请按照下列要求设计摸球游戏． 要求：摸到红球和黄球的概率相等，并且都小于摸到白球的概率． 请你列出所有选取红、黄、白小球数量的方案，用概率说明理由． 【答案】见解析 【分析】红球和黄球的概率相等，可得红球和黄球的数量一样，红球和黄球的概率小于摸到白球的概率，可得红球和黄球的数量小于白球，从黄球和红球数量都为1开始讨论即可． 【详解】解：方案1：选取红、黄球各1个，白球8个． 此时，摸到红球摸到黄球， 摸到白球． 显然摸到红球摸到黄球摸到白球． 方案2：选取红、黄球各2个，白球6个． 此时，摸到红球摸到黄球， 摸到白球． 显然摸到红球摸到黄球摸到白球． 方案3：选取红、黄球各3个，白球4个． 此时，摸到红球摸到黄球， 摸到白球． 显然摸到红球摸到黄球摸到白球． 【点睛】此题考查了概率的应用，根据题意找到黄球、红球、白球的数量关系是解题的关键． 32．不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． (1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ (2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ (3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案． 【答案】(1)不能 (2)不一样，摸到红色球的可能性最大，白色球次之，绿色球最小 (3)答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球 【分析】（1）根据盒子中小球颜色有3种，即可解答； （2）比较盒子中各种颜色小球的个数，即可解答； （3）使红色球和白色球的个数相同即可． 【详解】（1）解：∵盒子中的小球有红色、白色、绿色， ∴不能够事先确定小丽摸出的球的颜色； （2）解：∵红色球有3个，白色球有2个，绿色球有1个，， ∴小丽摸到每一种颜色的球的可能性不一样； （3）解：答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球． 【点睛】本题主要看考查了事件发生可能性的大小，解题的关键是掌握只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 33．在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 【答案】(1)摸到黄球的可能性大 (2)放入两个红球 【分析】（1）分别利用概率公式求得摸到红球的概率和摸到黄球的概率，对比即可求解； （2）另外放入2个红球，那么共有10个球，每种球各有5个时，摸到红球和黄球的概率相等． 【详解】（1）∵摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为：， ∴摸到黄球的可能性大； （2）∵要使得“摸出红球” 和“摸出黄球”的可能性大小相同， ∴使得两种球的数量相同， ∴放入2个红球即可． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 34．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域； ②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10． （2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案． 【答案】（1）①②③；（2）答案见解析． 【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误； ②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①②③． （2）将1个红色区域改成黄色，则红、黄、蓝三种颜色的区域各有2个，则指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【点睛】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 35．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个.若从中任意摸出一个白球的概率是. （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出你的修改方案. 【答案】（1）7个黑球；（2）；（3）能，方案见解析. 【分析】（1）利用概率公式求出总数，进而可得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【详解】解：（1）（个）， 答：盒子中有7个黑球； （2）任意摸出一个球共出现15种等可能的结果，其中摸到黑球的有7种， （摸到黑球）； （3）能，方案：往盒子中放入一个同样大小的红球， 任意摸出一个球共出现16种等可能的结果，其中摸到红球的有4种. （摸到红球）（方案不唯一） 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 36．一个不透明的口袋里装有5个红球,3个白球,2个绿球,这些球形状和大小完全相同,小明从中任意摸出一个球. (1)你认为小明摸到的球很可能是什么颜色?为什么? (2)摸到三种颜色球的可能性一样吗? (3)如果想让小明摸到红色球和白色球的可能性一样,该怎么办?写出你的方案. 【答案】(1)红色，理由见解析；(2)不一样；(3)取2个红球出来,或放2个白球进去. 【详解】试题分析：（1）哪种球的数量多摸到哪种球的可能性就大；（2）根据球的数量多少判断；（3）让红球和白球的数量一样多即可. 解：（1）小明很可能摸到红球，因为红球的数目多； （2）可能性不一样，摸到红球的可能性最大，白色球次之，绿色球最小； （3）答案不唯一，如把1号球先取出来，再进行摸球． 37．南京市体育中考现场考试男生有三项内容：三 分钟跳绳、1000米跑（二选一）；引体向上、实心球（二选一）；立定跳远、50米跑（二选一）．小明三分钟跳绳是强项，他决定必选，其它项目在平时测试中成绩完全相同，他决定随机选择． （1）用画树状图或列表的方法求： ①他选择的项目是三分钟跳绳、实心球、立定跳远的概率是 多少？ ②他选择的项目中有立定跳远的概率是多少？ （友情提醒：各个项目可用A、B、C、…等符号来代表可简化解答过程） （2）如果他决定用掷硬币的方法确定除三分钟跳绳外的其它两项考试项目，请你帮他设计一个合理的方案． 【答案】(1)；；（2）方案见解析. 【详解】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； ①由他选择的项目是三分钟跳绳、实心球、立定跳远的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； ②由他选择的项目中有立定跳远的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）符合要求即可，如：第一次掷硬币时，向上为正面则选引体向上，反之选实心球；第二次掷硬币时，向上为正面则选立定跳远，反之选50米跑． （1）用A，B，C，D分别表示引体向上、实心球、立定跳远、50米跑； 画树状图得： 则共有4种等可能的结果， ①∵他选择的项目是三分钟跳绳、实心球、立定跳远的只有1种情况， ∴他选择的项目是三分钟跳绳、实心球、立定跳远的概率是：； ②∵他选择的项目中有立定跳远的有2种情况， ∴他选择的项目中有立定跳远的概率是：； （2）第一次掷硬币时，向上为正面则选引体向上，反之选实心球；第二次掷硬币时，向上为正面则选立定跳远，反之选50米跑． 考点：列表法与树状图法． 38．下图是甲、乙两个可以自由旋转的转盘，转盘被等分成若干个扇形，并将其涂成红、白两种颜色，转动转盘，分别计算指针指向红色区域的机会，若要使它们的机会相等，则应如何改变涂色方案? 【答案】见解析. 【详解】试题分析：要计算指针指向红色区域的机会，即要计算出红色部分面积占总面积的比例，要使它们的机会相等，只要使乙图中红色区域和白色区域的面积之和相等即可． 试题解析： 甲图：P==，乙图：P==， 要使它们的机会相等，可将乙图中2份红色涂成白色即可. 点睛：本题求概率主要运用公式P=. 39．下图是甲、乙两个可以自由旋转的转盘，转盘被等分成若干个扇形，并将其涂成红、白两种颜色，转动转盘. （1）分别计算指针指向红色区域的机会; （2）若要使它们的机会相等，则应如何改变涂色方案? 【答案】（1）甲为；乙为（2）答案不确定，只要红色区域和白色区域的面积之和相等即可. 【详解】试题分析： 试题解析：（1）甲为，乙为; （2）答案不唯一，只要使红色区域和白色区域的面积之和相等即可． 考点：概率 40．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件；（填随机、必然、不可能） (2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加两个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由；继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案．若不能，请说明理由． 【答案】(1)随机 (2)袋中共有24个球，估计袋中白球大约有6个； (3)可以使概率还原，方案不唯一：如再增加1个红球，5个白球 【分析】（1）根据随机事件的定义，结合题目问题情境进行判断即可； （2）求出“获三等奖”的概率即可估计白球的数量； （3）根据概率的定义，加入2个黄球，球的总数为26个，而红球3个，因此概率发生变化；再根据添加红球和其它颜色的球，使红球的概率为即可． 【详解】（1）解：袋子中装有红色、黄色、白色、黑色四种颜色的小球，摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，而黑色表示谢谢参与， 所以小明中奖是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：由题意得，获得三等奖的概率为=， 24×=6（个）， 答：袋中共有24个球，估计袋中白球大约有6个； （3）解：（2）中的24个中有红球24×=3个，黄球24×=6个，白球6个，黑球24×=9个； 再加入2个黄球，球的总数为26个，而红球还是3个，因此红球的概率为， >， 所以抽中一等奖的概率降低了； 抽中一等奖的概率可以还原为， 设加入x个红球，y个其它颜色的球，由于红球的概率为，所以有， ， 即7x-y=2， 因为x、y均为整数， 所以当x=1时，y=5，（答案不唯一） 所以设计方案为：继续添加1个红球，5个其它颜色的球，能使摸到红球的概率还原为． 【点睛】本题考查概率的公式，随机事件、必然事件、不可能事件，掌握概率的计算方法，理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是正确解答的前提． 【类型5 统计与概率综合】 41．某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：    请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)教育局抽取的初中生有______人，扇形统计图中的值是______； (3)若该市共有初中生名，求平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有多少人？ (4)已知平均每天完成作业时长在“”分钟的名初中生中有名男生和名女生，若从这名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是多少？ 【答案】(1)抽样调查 (2)； (3)人 (4) 【分析】 本题考查了概率公式：某事件的概率等于该事件所占的结果数除以总的结果数．也考查了统计图和样本估计总体． （1）根据题意可判断调查的方式； （2）用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用分别减去、、、组的百分比得到的值； （3）用乘以样本中组所占的百分比即可； （4）直接利用概率公式计算． 【详解】（1） 解：在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查； 故答案为：抽样调查； （2） （人）， 所以教育局抽取的初中生有人， ， 所以； 故答案为：，； （3） （人）， 所以估计平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人； （4） 从这名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率为． 42．红薯是全世界第四大粮食作物，学名番薯，另称地瓜。原产于南美洲，大约在明朝万历年间传入我国，现全国各地普通都有栽培。红薯营养齐全丰富，产量高，种植效益好。为了解当地红薯的产量和种植红薯的收益，某校综合实践活动小组深入产地开展调查。据了解，每亩地可种植红薯苗约3000株，每株红薯苗可种植出3个至7个红薯，每个红薯平均0.25千克。综合实践活动小组随机挖掘了若干株红薯进行抽样调查，对每株红薯苗种植出的红薯个数进行了统计，并根据调查结果绘制了如下尚不完整统计图.    根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)样本容量是 ，中位数是 ； (2)求出每株红薯苗种植出的红薯个数不少于5个的概率； (3)黄大爷家今年承包了10亩地种植这种红薯，每亩承包费用800元，每亩从种植到收获过程中各种费用共2600元，黄大爷按今年的市场价每公斤3元全部销售，请你根据调查收集的数据帮助黄大爷家计算今年种植红薯的纯收入是多少元？ 【答案】(1)，5 (2) (3)元 【分析】（1）根据8个的株数和百分比即可求出样本容量，再根据中位数的定义进行求解即可； （2）利用每株红薯苗种植出的红薯个数不少于5个的株数和除以抽样调查的总株数即可得到答案； （3）先计算出每株的产量，再计算出纯收入即可； 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 【详解】（1）解：由题意可得，，即样本容量是， ∴每株红薯苗可种植出5个红薯的株数为（株）， ∵中位数是从小到大排列后的第25个和26个数据， ∴中位数位于每株红薯苗可种植出5个红薯的一组，即中位数为5， 故答案为：，5 （2）， ∴每株红薯苗种植出的红薯个数不少于5个的概率为； （3）根据题意，每株的红薯产量（千克）， 今年种植红薯的纯收入是（元）， 答：今年种植红薯的纯收入是元． 43．文具店购进了盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了支“”铅笔，具体数据见下表： 混入“”铅笔数 盒数 从盒铅笔中任意选取盒： (1)“盒中没有混入‘’铅笔”是______事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； (2)若“盒中混入支‘’铅笔”的概率为，求和的值． 【答案】(1)随机 (2)， 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率， （1）根据事件的分类进行解答即可； （2）利用概率公式列式计算即可； 掌握概率的计算公式是解题的关键，也考查了事件的分类． 【详解】（1）解：“盒中没有混入‘’铅笔”是随机事件， 故答案为：随机； （2）∵“盒中混入支‘’铅笔”的概率为， ∴， ∴， ∴， 则，． 44．某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（        ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： (1)本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； (2)在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ； (3)已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； (4)若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人． 【答案】(1)抽样调查 (2)200，22 (3) (4)350 【分析】（1）根据抽样调查的定义即可得出答案； （2）根据喜欢文学的人数除以其所占的百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值； （3）根据概率公式求解即可； （4）用1000乘以选择“文学”类的百分比即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 本次调查采用的调查方式为：抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：根据题意得： 在这次调查中，抽取的学生一共有：（人）， 扇形统计图中的值为：， 故答案为：200，22； （3）解：恰好抽到女生的概率是：， 故答案为：； （4）解：根据题意得： 选择“文学”类课外活动的学生有：（人）， 故答案为：350． 【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查、条形统计图与扇形统计图的信息关联、根据概率公式求概率、由样本估计总体，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题的关键． 45．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．寒假期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图：    (1)求这次被调查的家长人数，并补全条形统计图中家长“反对”的人数． (2)求扇形统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数． (3)从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？ 【答案】(1)人，图见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用条形图中家长“无所谓”的人数为，以及扇形统计图中家长“无所谓”所占百分比为即可得出总人数；根据总人数减去其他两个的人数即可求出家长“反对”的人数，再补充条形图即可； （2）先求家长“赞成”所占比例进而得出其圆心角即可； （3）利用“无所谓”态度的人数，进而求出其概率． 【详解】（1）根据题意可得出：（人）， 家长反对人数：（人）；    （2）家长“赞成”的圆心角的度数为：； （3）从这次接受调查的家长与学生中随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的概率是： 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．总体数目=部分数目÷相应百分比． 46．为了了解我校七年级学生的计算能力，学校随机抽取了部分同学进行了数学计算题测试，王老师将成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”、“很差”五个等级，并将收集的数据整理绘制成图1、2两幅统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题：                                   (1)本次调查中，一共调查了 名同学； (2)扇形统计图中表示“较差”的圆心角度数为 ，并补全条形统计图； (3)若从调查的人数中随机抽取一人，求抽到的人成绩为“优秀”或“良好”的概率． 【答案】(1)80人 (2)，补全图形见解析 (3) 【分析】（1）根据等级为“一般”的有20人，占参加“计算测试”同学数的25%，求出本次调查中总人数即可； （2）根据“较差”的所占总数的百分比求出扇形统计图中表示“较差”的圆心角能度数即可，先算出“良好”的人数，然后补全统计图即可； （3）用成绩为“优秀”或“良好”的人数除以总人数即可． 【详解】（1）解：本次调查中，一共调查的学生人数为：（人）． （2）表示“较差”的圆心角度数为： ， 良好的学生人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示：    （3）从调查的人数中随机抽取一人，抽到的人成绩为“优秀”或“良好”的概率为： ． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，利用概率公式求解简单随机事件的概率，解题的关键是数形结合，根据扇形统计图和条形统计图得出有用的信息． 47．学习完统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行调查统计．下图是他绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息解答下列问题：    (1)该班共有多少名学生？若全年级共有1200名学生，估计全年级乘车上学的学生有多少名？ (2)将条形统计图补充完整并求出扇形统计图中，表示“骑车”的扇形圆心角的度数； (3)在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规选出的恰好是骑车上学的学生的概率是多少？ 【答案】(1)， (2)图见解析； (3) 【分析】（1）根据乘车的人数除以占比得出总人数，根据样本估计总体，用，即可求得全年级共有1200名学生，估计全年级乘车上学的学生有多少名； （2）根据步行的占比乘以总人数，然后补全统计图，根据骑车的占比乘以，即可求得表示“骑车”的扇形圆心角的度数； （3）根据扇形统计图中骑车上学的学生的占比，根据概率公式求概率即可求解． 【详解】（1）解：该班共有学生人， 全年级共有名学生，估计全年级乘车上学的学生有名； （2）步行的学生有：， 补全统计图如图所示，    表示“骑车”的扇形圆心角的度数为： （3）解：∵骑车的占比为 ∴在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规选出的恰好是骑车上学的学生的概率是 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，根据概率公式求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 48．根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中分钟以上；分钟：分钟：分钟以下，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．    请你根据统计信息解答下列问远： (1)接受问卷调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图；（用尺子规范作图） (3)扇形统计图中“”等级对应扇形的圆心角度数为 ______； (4)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有 ______人； (5)学校要从接受调查的这些同学中随机抽取1人参加现场深入调研，则恰好抽到“”层级的概率是______． 【答案】(1) (2)补图见解析 (3) (4) (5) 【分析】（1）由题意知，根据接受问卷调查的学生共有，计算求解即可； （2）由题意知，“B”层级的学生有（人），然后补全条形统计图即可； （3）根据扇形统计图中“”等级对应扇形的圆心角度数为，计算求解即可； （4）根据估计“A”层级的学生约有，计算求解即可； （5）根据恰好抽到“”层级的概率是，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，接受问卷调查的学生共有（人）， 故答案为：； （2）解：由题意知，“B”层级的学生有（人）， 补全条形统计图如下：    （3）解：由题意知，扇形统计图中“”等级对应扇形的圆心角度数为， 故答案为：72； （4）解：估计“A”层级的学生约有（人）， 故答案为：225； （5）解：由题意知，恰好抽到“”层级的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，简单的概率公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 49．某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项：没有投过；选项：一封；选项：两封；选项：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： 请根据统计图回答： （1）此次问卷调查共调查了______名学生，条形统计图中______，______； （2）请将条形统计图补全； （3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有______封； （4）该地区要从这些被调查的学生中，随机抽取一人了解相关情况，那么正好抽到投递“两封”信的学生的概率是多少？ 【答案】（1）500，225，25；（2）见解析；（3）425；（4）． 【分析】（1）根据选项的条形统计图和扇形统计图信息可得调查的总人数，再利用总人数乘以所在百分比可得的值； （2）利用总人数乘以所在百分比可得选项的人数，由此补全条形统计图即可； （3）利用选项的人数乘以1，加上选项的人数乘以2，再加上选项的人数乘以3即可得； （4）先求出从这些被调查的学生中，随机抽取一人的所有结果，再找出正好抽到投递“两封”信的学生的结果，然后利用概率公式即可得． 【详解】：（1）调查总人数为（名）， 则（名）， （名）， 故答案为：500，225，25； （2）选项的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： （3）（封）， 故答案为：425； （4）由题意，从这些被调查的学生中，随机抽取一人有500种等可能的结果；其中，正好抽到投递“两封”信的学生的结果有100种， 则所求的概率为， 答：正好抽到投递“两封”信的学生的概率是． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、简单事件的概率计算等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 50．某校九年级共有名学生，某次数学测验后，小明随机抽取了名学生的成绩进行统计，并绘制了频数分布直方图（数据分成个组：①，② ，③，④，⑤），如图． 已知成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，． 在这一组中，这些数据的众数为 ； 求抽取的这名学生的成绩的中位数； 在，这两组中随机抽取一个成绩，记录下来再放回，然后在这两组中随机抽取一个成绩，用画树状图法求两次抽到的成绩都在这一组的概率； 请你估计该校九年级这名学生中，数学成绩的有多少人． 【答案】（1）86；（2）（分）；（3）见解析，；（4）153（人） 【分析】（1）根据众数的定义即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解； （4）根据样本中数学成绩的占比即可求解． 【详解】解：在这一组中，这些数据中86出现最多，所以众数为 故答案为：86； 在这一组之前的成绩个数为； 在这一组之后的成绩个数为． 所以中位数是这一组中第个和第个成绩的平均数． 即（分）． 由于这两组的人数相同所以随机抽取一个成绩抽到每个组的可能性相等． 树状图如图所示 有种等可能的结果其中有种是符合题意的结果 所以． 由题意得在抽取的名学生的成绩中的有人估计九年级这名学生中成绩的有（人）． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键熟知中位数、众数及概率的求解方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 概率初步解答题分类训练（5种类型50道） 目录 【类型1 放回问题】 1 【类型2 不放回问题】 3 【类型3 公平性问题】 5 【类型4 设计方案】 8 【类型5 统计与概率综合】 10 【类型1 放回问题】 1．小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌（共52张）做摸牌游戏：小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关），然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏． (1)若小明已经摸到的牌面为6，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是________； (2)若小明已经摸到的牌面为2，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是________； (3)若小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是________． 2．将牌面数字分别是5，6，7，8的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，甲、乙两人每次同时从桌面上抽出一张牌，并计算摸出的这两个牌面上的数字之和，记录后将牌放回并背面朝上，洗匀后进行重复试验，在试验中出现“和为13”的试验数据如下表： 试验总次数 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为13”出现的次数 13 24 30 37 58 82 110 150 “和为13”出现的频率 0.43 0.40 0.31 0.34 0.33 (1)请将表中的数据补充完整； (2)如果试验维续进行下去，根据上表数据，出现“和为13”的频率可能稳定在 左右．（上述结果均保留两位小数） 3．一个不透明的口袋中有9个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外，其余都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算口袋中白球的数量：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……小明重复上述过程，共摸了100次，其中40次摸到白球．口袋中的白球约有多少个？ 4．刘老师将4支红中性笔芯和若干支黑色中性放入一个不透明的盒子中并搅匀，这些中性笔芯除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸笔芯试验，每次摸出一支中性笔芯，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在．试估算盒中黑色中性笔芯的数量． 5．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（2）班21学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表： 摸球次数 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 (1)表中的 ； (2)请估计当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）； (3)试估算这个不透明的口袋中红球的个数． 6．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和18个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，请你估计盒子里白球的个数． 7．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，在袋中剩下的球中随机摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个小球，记录颜色后放回、搅匀，……不断重复这一过程，经过大量试验发现从袋中摸出一个球是黑球的频率稳定在，估计从袋中取出黑球的个数． 8．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到红球的频数n 123 243 487 725 964 1200 摸到红球的频率 0.820 0.810 0.812 0.806 0.803 a (1)            ． (2)请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近 （精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是 （精确到0.1）． (3)求口袋中红球的数量． 9．一个不透明的口袋中放有14个白球，16个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同． (1)某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球20次，其中摸出红球的次数为4次，求这次摸球活动中红球出现的频率； (2)若袋子中白球的数量比红球的数量的2倍还多2个，求从袋中任取一个球是黑球的概率． 10．一个不透明的口袋中有12个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算其中白球的个数：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一个球，记下颜色……小明重复上述过程100次，其中60次摸到白球，请回答： （1）口袋中的白球约有多少个？ （2）有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池若彩球池里共有3000个球，则需准备多少个红球？ 【类型2 不放回问题】 11．在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字，，1，6． (1)随机抽出一张卡片是正数的概率是______； (2)第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标，不放回袋中，再随机地从中抽出一张，把所抽到的数字记为纵坐标．请用数状图或列表法求所得的点在反比例函数上的概率． 12．电影《长空之王》上映，好评不断，小明和小颖都想去观看这部电影，但只有一张电影票，于是他们决定通过摸牌游戏决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：现有一副去掉大、小王的扑克牌，小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，，，，，且牌面的大小与花色无关）．如果小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ 13．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的19张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为3、4、5、7，两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负． (1)若甲先摸，他摸出“石头”的概率是多少？ (2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ 14．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件； (4)“摸到两个黄球”是确定事件． 15．甲、乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“石头”“剪子”“布”的卡片张数分别为4，5，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负．问若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？请说明理由． 16．在不透明口袋里有除颜色外其它都相同的4个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值为_________． ②如果事件A是随机事件，则m的值为_________． (2)先从袋子中取出n个红球，再放入除颜色外其它都相同的n＋3个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是，求n的值． 17．袋子里有2个红球，8个白球，每个球除颜色外都相同． (1)如果第一次摸出一个球不放回，第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，那么“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球”这个事件是什么事件？ (2)如果第一次摸出一个球不放回，再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率． 18．有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏． （1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？ （2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽到数字1，情况又如何？ 19．小明与小颖用一副去掉大王、小王的扑克牌作摸牌游戏：小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大，谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏． （1）若小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？ （2）若小明已经摸到的牌面为2，直接写出小颖获胜的概率；若小明已经摸到的牌面为A，两人获胜的概率又如何呢？ 20．在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”个围棋子，它们除了颜色之外没有其它区别． （1）随机地从盒中提出子，则提出白子的概率是多少？ （2）随机地从盒中提出子，不放回再提第二子．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率． 【类型3 公平性问题】 21．小明和小亮在玩转盘游戏，如图所示，小明将一个转盘平均分成6份，转盘可以随意转动．    (1)请你求出指针指向3的倍数的概率； (2)如果游戏规定，若指针指向偶数，则小明胜利，指针指向奇数，则小亮胜利，你认为这个戏公平吗？为什么？ 22．如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．    (1)小明转出的颜色为红色的概率为______； (2)小明转出的颜色为黄色的概率为______； (3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______； (4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？ 23．在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，每个球除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球，若是红球则小明获胜，若是黄球则小亮获胜． (1)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． (2)如果另拿5个球放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和黄球的可能性大小相等．那么应放入______个红球，______个黄球． 24．如图，一个质地均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“是”“中”“国”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转盘指针的位置固定，转动转盘，当转盘自然停止时，指针指向的汉字即为转出的汉字（指针落在分界线重新转动）．    (1)转出的汉字为“我”的概率是________． (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字在阴影区域时，小明获胜；否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 25．如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种．甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗？为什么？    26．如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1、2、3、4、5五个数字，转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字是3的概率是多少？ (2)转出的数字小于4的概率是多少？ (3)转出的数字是偶数的概率是多少？ (4)甲乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，如果转出的数字是偶数，则甲胜；如果转出的数字是奇数，则乙胜．你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 27．将五张背面图案完全一样的卡片，分别标上数字1，2，3，4，4，洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题． (1)随机抽取一张，抽到4的概率________； (2)随机抽取一张，抽出奇数的概率________； (3)若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏，哥哥抽出标有偶数的卡片赢，弟弟抽出标有奇数的卡片赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数量和内容）使游戏公平． 28．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是______，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是______． (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画不小于8画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 29．小明和小乐做摸球游戏：在一个不透明的口袋里放有个红球和个绿球，每个球除颜色外 都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球小 明得分，若是绿球小乐得分，游戏结束时得分多者获胜． （）你认为这个游戏对双方公平吗？ （）若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方 公平． 30．甲、乙两位同学玩摸球游戏，准备了A、B两个口袋，其中A口袋中放有标号为2，3，5，6的4个球，B口袋中放有标号为1，4，7的3个球．游戏规则：甲从A口袋摸一球，乙从B口袋摸一球，摸出的两球所标数字之差（甲摸取数字﹣乙摸取数字）大于0时甲胜，小于0时乙胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若不公平，请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则． 【类型4 设计方案】 31．现有一个不透明的袋子，有形状大小都相同的红、黄、白三种颜色的小球若干．请你从三种颜色的小球中，共选取10个小球放入袋中．请按照下列要求设计摸球游戏． 要求：摸到红球和黄球的概率相等，并且都小于摸到白球的概率． 请你列出所有选取红、黄、白小球数量的方案，用概率说明理由． 32．不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． (1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ (2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ (3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案． 33．在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 34．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域； ②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10． （2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案． 35．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个.若从中任意摸出一个白球的概率是. （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出你的修改方案. 36．一个不透明的口袋里装有5个红球,3个白球,2个绿球,这些球形状和大小完全相同,小明从中任意摸出一个球. (1)你认为小明摸到的球很可能是什么颜色?为什么? (2)摸到三种颜色球的可能性一样吗? (3)如果想让小明摸到红色球和白色球的可能性一样,该怎么办?写出你的方案. 37．南京市体育中考现场考试男生有三项内容：三 分钟跳绳、1000米跑（二选一）；引体向上、实心球（二选一）；立定跳远、50米跑（二选一）．小明三分钟跳绳是强项，他决定必选，其它项目在平时测试中成绩完全相同，他决定随机选择． （1）用画树状图或列表的方法求： ①他选择的项目是三分钟跳绳、实心球、立定跳远的概率是 多少？ ②他选择的项目中有立定跳远的概率是多少？ （友情提醒：各个项目可用A、B、C、…等符号来代表可简化解答过程） （2）如果他决定用掷硬币的方法确定除三分钟跳绳外的其它两项考试项目，请你帮他设计一个合理的方案． 38．下图是甲、乙两个可以自由旋转的转盘，转盘被等分成若干个扇形，并将其涂成红、白两种颜色，转动转盘，分别计算指针指向红色区域的机会，若要使它们的机会相等，则应如何改变涂色方案? 39．下图是甲、乙两个可以自由旋转的转盘，转盘被等分成若干个扇形，并将其涂成红、白两种颜色，转动转盘. （1）分别计算指针指向红色区域的机会; （2）若要使它们的机会相等，则应如何改变涂色方案? 40．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件；（填随机、必然、不可能） (2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加两个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由；继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案．若不能，请说明理由． 【类型5 统计与概率综合】 41．某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：    请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)教育局抽取的初中生有______人，扇形统计图中的值是______； (3)若该市共有初中生名，求平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有多少人？ (4)已知平均每天完成作业时长在“”分钟的名初中生中有名男生和名女生，若从这名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是多少？ 42．红薯是全世界第四大粮食作物，学名番薯，另称地瓜。原产于南美洲，大约在明朝万历年间传入我国，现全国各地普通都有栽培。红薯营养齐全丰富，产量高，种植效益好。为了解当地红薯的产量和种植红薯的收益，某校综合实践活动小组深入产地开展调查。据了解，每亩地可种植红薯苗约3000株，每株红薯苗可种植出3个至7个红薯，每个红薯平均0.25千克。综合实践活动小组随机挖掘了若干株红薯进行抽样调查，对每株红薯苗种植出的红薯个数进行了统计，并根据调查结果绘制了如下尚不完整统计图.    根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)样本容量是 ，中位数是 ； (2)求出每株红薯苗种植出的红薯个数不少于5个的概率； (3)黄大爷家今年承包了10亩地种植这种红薯，每亩承包费用800元，每亩从种植到收获过程中各种费用共2600元，黄大爷按今年的市场价每公斤3元全部销售，请你根据调查收集的数据帮助黄大爷家计算今年种植红薯的纯收入是多少元？ 43．文具店购进了盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了支“”铅笔，具体数据见下表： 混入“”铅笔数 盒数 从盒铅笔中任意选取盒： (1)“盒中没有混入‘’铅笔”是______事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； (2)若“盒中混入支‘’铅笔”的概率为，求和的值． 44．某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（        ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： (1)本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； (2)在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ； (3)已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； (4)若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人． 45．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．寒假期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图：    (1)求这次被调查的家长人数，并补全条形统计图中家长“反对”的人数． (2)求扇形统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数． (3)从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？ 46．为了了解我校七年级学生的计算能力，学校随机抽取了部分同学进行了数学计算题测试，王老师将成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”、“很差”五个等级，并将收集的数据整理绘制成图1、2两幅统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题：                                   (1)本次调查中，一共调查了 名同学； (2)扇形统计图中表示“较差”的圆心角度数为 ，并补全条形统计图； (3)若从调查的人数中随机抽取一人，求抽到的人成绩为“优秀”或“良好”的概率． 47．学习完统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行调查统计．下图是他绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息解答下列问题：    (1)该班共有多少名学生？若全年级共有1200名学生，估计全年级乘车上学的学生有多少名？ (2)将条形统计图补充完整并求出扇形统计图中，表示“骑车”的扇形圆心角的度数； (3)在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规选出的恰好是骑车上学的学生的概率是多少？ 48．根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中分钟以上；分钟：分钟：分钟以下，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．    请你根据统计信息解答下列问远： (1)接受问卷调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图；（用尺子规范作图） (3)扇形统计图中“”等级对应扇形的圆心角度数为 ______； (4)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有 ______人； (5)学校要从接受调查的这些同学中随机抽取1人参加现场深入调研，则恰好抽到“”层级的概率是______． 49．某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项：没有投过；选项：一封；选项：两封；选项：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： 请根据统计图回答： （1）此次问卷调查共调查了______名学生，条形统计图中______，______； （2）请将条形统计图补全； （3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有______封； （4）该地区要从这些被调查的学生中，随机抽取一人了解相关情况，那么正好抽到投递“两封”信的学生的概率是多少？ 50．某校九年级共有名学生，某次数学测验后，小明随机抽取了名学生的成绩进行统计，并绘制了频数分布直方图（数据分成个组：①，② ，③，④，⑤），如图． 已知成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，． 在这一组中，这些数据的众数为 ； 求抽取的这名学生的成绩的中位数； 在，这两组中随机抽取一个成绩，记录下来再放回，然后在这两组中随机抽取一个成绩，用画树状图法求两次抽到的成绩都在这一组的概率； 请你估计该校九年级这名学生中，数学成绩的有多少人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$