山东省聊城市水城中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2024年5月高二年级阶段性检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知全集,集合,则等于 A. B. C. D. 2. 已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（ ） A. B. 8 C. 12 D. 24 3. 某地区5000名学生的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ） A. 200 B. 700 C. 1400 D. 2500 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 6. 已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的20%分位数不等于原样本数据的20%分位数 C. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的线性相关程度更强 D. 若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好 10. 下列结论中，正确的结论有． A. 如果，那么取得最大值时的值为 B. 如果，，，那么的最小值为6 C. 函数的最小值为2 D. 如果，，且，那么的最小值为2 11. 已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. D. 是奇函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________． 13. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为______. 14. 当时，恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，不等式的解集为. （1）求; （2）已知，正数满足，求的最小值. 16. 某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 12.5 222 3.5 157.5 16800 4.5 1254 270 表中，. （1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 17. 学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为. （1）求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，. 18. 某科研机构分别用A，B两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠．从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中A人工智能大模型回答100个问题，有90个正确；B人工智能大模型回答剩下的80个问题；有65个正确． （1）完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？ 回答正确 回答错误 合计 A人工智能大模型 B人工智能大模型 合计 （2）将频率视为概率，用A人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据：，． a 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 2024年5月高二年级阶段性检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】405 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）； （2）4. 【16题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）30万元. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 设“第天选择米饭套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即，所以， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列； 可得， 当为大于的奇数时，； 当为正偶数时，， 综上所述：当时，. 【18题答案】 【答案】（1） 回答正确 回答错误 合计 A人工智能大模型 90 10 100 B人工智能大模型 65 15 80 合计 155 25 180 可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关； （2） 0 1 2 3 ； 【19题答案】 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $