第六章 反比例函数 回顾与思考 课件 2023-2024学年北师大版数学 九年级上册

第六章　反比例函数 回顾与思考 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 要点回顾 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 要点回顾 1. 反比例函数. （1）定义：一般地，形如 （ k 为常数， k ≠0）的函 数称为反比例函数. （2）三种形式： y ＝ （ k ≠0）或 （ k ≠0） 或 （ k ≠0）. y ＝ 　 y ＝ kx－1　 xy ＝ k 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 反比例函数的图象. （1）画反比例函数的图象一般采用描点法，其步骤包括：列 表， ，连线. （2）反比例函数 y ＝ 的图象是 ，且双曲线是不经 过原点的断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近 ，但 是永远不与坐标轴相交. 描点　 双曲线　 坐标轴　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）反比例函数的图象是 图形（对称轴是 ⁠ 和 ）和 图形（对称中心是 ⁠ ）. （4）过双曲线 y ＝ （ k ≠0）上任意一点向 x 轴、 y 轴作垂线， 所得矩形的面积为 ⁠. 轴对称　 y ＝ x 　 y ＝－ x 　 中心对称　 坐标 原点　 ｜ k ｜　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 3. 反比例函数的性质. （1）反比例函数 y ＝ 的图象由两支曲线组成.当 k ＞0时，两支 曲线分别位于第 象限内；当 k ＜0时，两支曲线分别 位于第 象限内. （2）反比例函数 y ＝ 的图象，当 k ＞0时，在每一象限内， y 的值随 x 值的增大而 ；当 k ＜0时，在每一象限内， y 的 值随 x 值的增大而 ⁠. 一、三　 二、四　 减小　 增大　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 4. 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤. （1）审题，确定变量间的函数关系，设出含待定系数的函数表 达式； （2）用待定系数法求出函数的表达式； （3）利用反比例函数的图象与性质解决问题. 5. 反比例函数图象与一次函数图象的交点. 求两个函数图象的交点，通常是把两个函数的表达式联立组成 方程组，方程组的 就是交点的坐标. 解　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 要点一　反比例函数的定义 下列函数中， y 一定是 x 的反比例函数的是（　A　） ① y ＝3 x ；② y ＝－ ；③ y ＝ ；④－ xy ＝3； ⑤ y ＝ ；⑥ y ＝ ；⑦ y ＝2 x－2；⑧ y ＝ . A. ②④ B. ②③⑤⑧ C. ②⑦⑧ D. ①③④⑥ A 【思路导航】判断 y 是否是 x 的反比例函数，可以参考反比例函 数的三种呈现形式： y ＝ ， y ＝ kx－1， xy ＝ k ，其中 k ≠0. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】① y ＝3 x 是正比例函数，不符合题意；② y ＝－ 是反 比例函数，符合题意；③ y ＝ 是正比例函数，不符合题意；④ － xy ＝3是反比例函数，符合题意；⑤ y ＝ ， y 是 x ＋1的反 比例函数，不符合题意；⑥ y ＝ ， y 是 x2的反比例函数，不符 合题意；⑦ y ＝2 x－2， y 是 x2的反比例函数，不符合题意；⑧ y ＝ ， k ≠0时， y 是 x 的反比例函数，不符合题意.综上所述，② ④符合题意.故选A. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】判断 y 是否是 x 的反比例函数，实际上只需抓住反比例 关系的本质即可，即两个变量的积为定值，两个变量就具有反 比例关系.可以适当将式子整理变形，去判断 xy 是否为定值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（　B　） A. y ＝－ B. y ＝ C. y ＝5－3 x D. y ＝－ x2＋1 2. 已知反比例函数 y ＝（2 m －1） 的图象在每个象限内， y 的值随 x 值的增大而增大，则 m 的值是 ⁠. B －1　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 要点二　反比例函数的图象与性质 若点 A （ m ，－2）在反比例函数 y ＝ 的图象上，则当函数 值 y ≥－2时，自变量 x 的取值范围是 ⁠. 【思路导航】根据题意可求点 A 的坐标，画出草图，运用观察 法求解；也可以根据图象所在象限与性质进行判断求解. x ≤－2或 x ＞0　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】∵点 A （ m ，－2）在反比例函数 y ＝ 的图象上，∴－ 2 m ＝4，解得 m ＝－2.∴ A （－2，－2）.画出草图（如图）， 由图可知，当函数值 y ≥－2时，自变量 x 的取值范围是 x ≤－2 或 x ＞0.故答案为 x ≤－2或 x ＞0. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】反比例函数图象的形状是两条双曲线，函数的增减性 一定要强调在每个象限内，分象限去讨论自变量的取值范围是 解决这类问题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 已知点 A ， B 是反比例函数 y ＝ 图象上 的两点，且当 x1＞0时， y1＜ y2，则 k 的取值范围是 ⁠. 2. 从－1，2，－3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为 a ， b 的值，得到反比例函数 y ＝ ，则这些反比例函数中，其 图象在第二、四象限的概率是 ⁠. k ＜0　 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 要点三　反比例函数中 k 的几何意义 （2023·黑龙江）如图，已知△ ABC 是等腰三角形， AB 经 过原点 O ，底边 BC ∥ x 轴，双曲线 y ＝ 经过 A ， B 两点，过点 C 作 CD ∥ y 轴交双曲线于点 D . 若 S△ BCD ＝12，则 k 的值是 （　C　） C A. －6 B. －12 C. － D. －9 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】设 B ，求出 BC 以及点 D 的横坐标，再根据 S△ BCD ＝12列式求出 CD 的长，进而可得点 D 的纵坐标，将点 D 的坐标代入反比例函数表达式即可求出 k 的值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】由题意，设 B . ∵ AB 经过原点 O ， ∴ A . 如图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E . ∵△ ABC 是等腰三角形， ∴ CE ＝ BE ＝ b － ＝2 b ， ∴ BC ＝4 b . ∴点 D 的横坐标为 b －4 b ＝－3 b . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∵底边 BC ∥ x 轴， CD ∥ y 轴， ∴ S△ BCD ＝ BC · CD ＝ ·4 b · CD ＝12， ∴ CD ＝ .∴点 D 的纵坐标为 ＋ ＝ . ∴ D . 又∵点 D 在双曲线 y ＝ 上， ∴ k ＝－3 b · ＝－3 ， 即 k ＝－3（6＋ k ）， 解得 k ＝－ .故选C. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】利用反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等 腰三角形的性质等知识，设出点 B 的坐标，正确表示出点 D 的 坐标是解题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，点 A 在反比例函数 y ＝ 的图象上， AB ⊥ x 轴 于点 B ，点 C 是 OB 的中点，连接 AO ， AC . 若△ AOC 的面积为 2，则 k ＝ ⁠. （第1题图） 8　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，已知矩形 OABC 的面积为36，它的对角线 OB 与反比例 函数 y ＝ （ x ＜0）的图象相交于点 D ，且 OD ∶ OB ＝2∶3， 则 k 的值为 ⁠. （第2题图） －16　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 要点四　反比例函数与一次函数、不等式的综合问题 如图，已知直线 y ＝－ x ＋7与反比例函数 y ＝ （ m ≠0） 的图象交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，且点 A 的横坐标为2. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求反比例函数的表达式； （2）求出点 B 的坐标，并结合图象直接写出不等式 ＜－ x ＋ 7的解集； （3）若点 E 为 y 轴上一个动点，且 ＝5，求点 E 的坐标. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）由直线 y ＝－ x ＋7求得点 A 的坐标，然后 根据待定系数法即可求得反比例函数的表达式；（2）解析式联 立，解方程组即可求得点 B 的坐标，然后根据图象即可求得不 等式 ＜－ x ＋7的解集；（3）设 E （0， n ），求得点 C 的坐 标，然后根据 S△ AEB ＝ S△ BCE － S△ ACE 即可求得 n 的值，从而得 到点 E 的坐标. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）把 x ＝2代入 y ＝－ x ＋7，得 y ＝6. ∴ A （2，6）. ∵反比例函数 y ＝ （ m ≠0）的图象经过点 A （2，6）， ∴ m ＝2×6＝12. ∴反比例函数的表达式为 y ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）解得或 ∴点 B 的坐标为（12，1）. 由图象可知， 不等式 ＜－ x ＋7的解集是 x ＜0或2＜ x ＜12. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）设 E （0， n ）. ∵直线 y ＝－ x ＋7与 y 轴交于点 C ， ∴ C （0，7）. ∴ CE ＝｜7－ n ｜. ∴ S△ AEB ＝ S△ BCE － S△ ACE ＝ ｜7－ n ｜×（12－2）＝5， 解得 n ＝6或 n ＝8. ∴点 E 的坐标为（0，6）或（0，8）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题.求反比例函 数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求 解，若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无 交点. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，已知一次函数 y ＝ x ＋5的图象与反比例函数 y ＝ （ k 为 常数且 k ≠0）的图象交于 A （－2， a ）， B 两点，与 x 轴交于 点 C ，连接 OA ， OB . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求此反比例函数的表达式； 解：（1）把点 A （－2， a ）代入 y ＝ x ＋5，得 a ＝3，∴ A （－2，3）. 把点 A （－2，3）代入反比例函数 y ＝ ，得3 ＝ ，∴ k ＝－6. ∴反比例函数的表达式为 y ＝－ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若点 P 在 x 轴上，且 S△ ACP ＝ S△ BOC ，求点 P 的坐标. 解：（2）联立两个函数的表达式，得 解得或 ∴点 B 的坐标为（－3，2）. 当 y ＝ x ＋5＝0时，得 x ＝－5， ∴ C （－5，0）.设点 P 的坐标为（ x ，0）.∵ S△ ACP ＝ S△ BOC ， ∴ ·｜ x ＋5｜·3＝ × ×5×2.解得 x1＝－ ， x2＝ . ∴点 P 的坐标为 或 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 要点五　反比例函数与几何图形的综合问题 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的 图象与边长是6的正方形 OABC 的两边 AB ， BC 分别相交于 M ， N 两点，△ OMN 的面积为10.若动点 P 在 x 轴上，则 PM ＋ PN 的 最小值是 ⁠. 2 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】由正方形 OABC 的边长是6，结合反比例函数表示 出点 M ， N 的坐标，根据三角形的面积列方程得到点 M ， N 的 坐标.作点 M 关于 x 轴的对称点 M '，连接 NM '交 x 轴于点 P ，则 NM '的长为 PM ＋ PN 的最小值，根据勾股定理即可得到结论. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】∵正方形 OABC 的边长是6， ∴点 M 的横坐标和点 N 的纵坐标为6. ∴ M ， N . ∴ BN ＝6－ ， BM ＝6－ . ∵△ OMN 的面积为10， ∴6×6－ ×6× － ×6× － × ＝10. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解得 k ＝24（负值舍去）. ∴ M （6，4）， N （4，6）. 如图，作点 M 关于 x 轴的对称点 M '，连接 NM '交 x 轴于点 P ，则 NM '的长为 PM ＋ PN 的最小值. ∵ AM ＝ AM '＝4，∴ BM '＝10. 又∵ BN ＝6－4＝2. ∴ NM '＝ ＝ ＝2 . 故答案为2 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】涉及面积相关问题时，应联想反比例函数中 k 的几何意 义.同时，求不规则三角形的面积常常要利用割补思想.当然，这 个最短路线问题属于常规的将军饮马问题，化折为直是最通行 的方法. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在以点 O 为原点的平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两 边 OC ， OA 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象与 AB 相交于点 D ，与 BC 相交于点 E ，且 BD ＝3， AD ＝6，△ ODE 的面积为15.若动点 P 在 x 轴上，则 PD ＋ PE 的 最小值是 ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 要点六　反比例函数的实际应用 某校校医对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间 办公室和1间教室的喷洒共需8 min；完成2间办公室和3间教室 的喷洒共需21 min. （1）该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需要多少 时间？ 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度 y （单位：mg/m3） 与时间 x （单位：min）的函数关系如图所示.校医进行药物喷洒 时， y 与 x 的函数关系式为 y ＝2 x ；药物喷洒完成后， y 与 x 成反 比例函数关系，两个函数图象的交点为点 A （ m ， n ）.当教室 空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时，对人体健康无危害.校医依 次对（1）班至（11）班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当 最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请 通过计算说明. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）根据题意，列二元一次方程组求解即 可；（2）先根据一间教室的药物喷洒时间和点 A 在函数 y ＝ 2 x 上求出点 A 的坐标，进而求出反比例函数的表达式，利用 其性质求解. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒分别需要 x min和 y min. 由题意，得解得 故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒分别需要3 min和 5 min. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）∵一间教室的药物喷洒时间为5 min， ∴喷洒11间教室需要5×11＝55（min）. 当 x ＝5时， y ＝2 x ＝10.故点 A （5，10）. 设该反比例函数的表达式为 y ＝ . 将点 A 的坐标代入，得10＝ .解得 k ＝50. 故该反比例函数的表达式为 y ＝ （ x ≥5）. 当 x ＝55时， y ＝ ＝ ＜1.故（1）班学生能进入教室. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答 该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待 定系数法求出它们的关系式，并熟练运用其增减性. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 某疫苗已经经过三期临床试验，测得成人注射一针疫苗后体内 抗体浓度 y （miu/mL）与注射时间 x （天）之间的函数关系如图 所示（当0＜ x ≤20时， y 与 x 是正比例函数关系；当 x ≥20时， y 与 x 是反比例函数关系）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求当0＜ x ≤20时， y 与 x 之间的函数关系式； 解：（1）当0＜ x ≤20时，设 y 与 x 之间的函 数关系式是 y ＝ kx . ∵图象过点（20，280）， ∴20 k ＝280. 解得 k ＝14. 故当0＜ x ≤20时， y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝14 x . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）求当 x ≥20时， y 与 x 之间的函数关系式； 解：（2）当 x ≥20时，设 y 与 x 之间的函数关 系式是 y ＝ . ∵图象过点（20，280）， ∴280＝ . 解得 k ＝5 600. 故当 x ≥20时， y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）体内抗体浓度不低于140 miu/mL的持续时间为多少天？ 解：（3）当 x ≤20时，令140＝14 x ， 解得 x ＝10. 当 x ≥20时，令140＝ ，解得 x ＝40. ∴体内抗体浓度不低于140 miu/mL的持续时 间为40－10＝30（天）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$