2024年河南省对口招生数学押题试卷（五）

1 2024 年河南省对口招生数学押题试卷（五） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1．集合 A={1,2,3,4,5},则 A 的非空真子集的个数为( ). A. 5 B.10 C.30 D.32 2.设 a，b，c，d 均为实数，且 ,则下列不等式正确的是( ). A.�2＞�� B.a + d＜b + c C.ad＜bc D. 1 �2 ＞ 1 �2 3.已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时， ，则 =( ). A. -3 B.-2 C.3 D.2 4.当 x∈（-2,1）时，函数 的值域是（ ）. A.（1,2） B.（-2,1） C.[-3,1) D.[-3,+∞) 5.设函数 均是定义域均为 R, 是奇函数, 是偶函数,则下列结论正确的是( ). A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 6.在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c，a·cosC+c·cosA=c，则△ABC 的形状为（ ）. A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 7.已知等差数列{ }的前 n 项和为 ，若 ， ，则 =（ ） A.11 3 B. 4 C.13 3 D.14 3 8 已知向量|a|=1，|b|= ，且向量 a 与向量 b 的夹角为 ，则 a（a+ b）的值为( ). A.-2 B.− 1 2 C.4 D.5 2 9 某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的 概率分别为 ， ， ，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为( ). A. 1 24 B.11 24 C.2 3 D.3 4 10.二项式 展开式的常数项为( ). A.160 B.80 C.40 D. 20 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11.设集合 A={2,4, },B={1, , },若 A∩B={5},则实数 a 的值为 . 12.若 ,则 x= . 13.若 ,则 = 14.已知 sinα+cosα= ，则 sinα·cosα= . 15.△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cosA= ， ， ，则△ABC 的面积 为 . 16.已知等比数列{ }满足 , ,则 . 17.向量 a=(-2,1),b=(-2,3),c=(m,-1),c∥b,则|a-c|= . 18.已知某正方体外接球的表面积为 3π,则该正方体的棱长为 . 三、计算题（每小题 8 分，共 24 分） 19．若关于 x 的不等式 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围. 2 20.如图,在正三棱柱 中, ,点 D 为 BC 的中点,求三棱锥 的体积. 21.有 6 件产品，其中有 2 件次品，从中随机抽取 3 件，求： （1）恰有 1 件次品的概率 （2）至少有 1 件次品的概率. 四、证明题（每小题 6 分，共 12 分） 22.已知 分别是△ABC 的内角 所对的边， ， ，证明： 23.已知圆 C： 和直线 ,求证:不论 k 取什么值,直线 和圆 C 总相交. 五、综合题（10 分） 24.已知抛物线 C: 的焦点 F,C 上一点(3,m)到焦点的距离为 5 (1)求 C 的方程 (2)过 F 作直线 l,交 C 于 AB 两点,若直线 AB 中点的纵坐标为-1,求直线 l 的方程 1 2024 年河南省对口招生数学押题试卷（五） 参考答案 一、选择题 1、C 2、C 3、B 4、 C 5、 C 6、 C 7、 A 8、 D 9、 D 10、A 二、填空题 11、a=1 12、16 13、2x − 1 x 14、− 3 8 15、2 2 16、±2 17、10 3 18、1 三、计算题 19、解：当 m=0 时,代入原式 8＞0 恒成立 当 m≠0 时由题意可得 �＞0 △= 32�2 − 32� ≤ 0 解之得 m∈（0,1] 综上作述 0≤m≤1 20、解：三棱锥 B − AC1D 可看做三棱锥�1 − ��� ∵ 是正三棱柱，D 为 BC 的中点 ∴△ABC 为等边三角形 AB=3 ∴�△��� = 1 2 �△��� = 1 2 × 3 4 × 32 = 9 8 3 �1到面 ABD 的高 h=�1�=A�1=1 ∴��−��1� = 1 3 ·�△���·h= 3 3 8 21、解:(1)恰有 1 件次品可理解为从 2 件次品中选 1 个，然后从 4 件正品中选 2 个， 所以概率 P=�2 1�4 2 �6 3 = 2×6 20 =3 5 （2）至少有一件次品与没有次品是对立事件，概率和为 1 没有次品的概率 P=�4 3 �6 3 = 1 5 所以至少有一件次品的概率=1 − 1 5 = 4 5 四、证明题 22、证明：由正弦定理可得 SinA=2sinBcosB 即 sinA=sin2B；因为 A、B 是三角形内角，均∈（0，π） ∴A+2B=π 或 A=2B 当 A+2B=π时，又∵A+B+C=π，则∠B=∠C ，即 b=c 不满足题意 ∴A=2B（即为所证） 22、证明：直线方程变形为 k(x-4)=y-3 可得当 x=4 时，无论 k 取何值，均有 y=3；即直线必过点（4,3） 将点（4,3）代入圆的方程中可得（4 − 3） 2 + （3 − 4） 2 = 2＜4 则点（4,3）在圆内；∴无论 k 取何值，直线 l 上均有点在圆内，必与圆相交 五、综合题 24、解：（1）由题意可得，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 即：�0 + � 2 = 5，代入�0 = 3 可得 p=4 ∴抛物线方程�2 = 8� （2）过点 F（2,0）的直线，可设直线方程 x=ky+2 与抛物线方程联立 �2 = 8� � = �� + 2 可得� 2 − 8�� − 16 = 0 由韦达定理可得直线与抛物线交点的纵坐标之和为�� + �� = 8� 又直线 AB 中点的纵坐标为��+�� 2 =− 1 ∴k=− 1 4 代回设定的方程 x=ky+2 并化简得 直线 l 的方程：4x+y-8=0