2024年河南省对口招生数学押题试卷（四）

2024 年河南省对口招生数学押题试卷（四） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1．已知全集 U=R,集合 A={x|x-2>0},B={x|-3<x<3},则 =( ). A.（-3,2] B.(-3,2) C.(2,3) D.[2,3) 2.已知函数 是定义在(-5,5)上的增函数，且 ,则 a 的取值范围是( ). A.(2,+∞) B.(2,8) C.(2,6) D. (-4,8) 3.下列命题中正确的是( ). A. 奇函数的图像一定过原点 B.函数 是奇函数 C.函数 y= (0<x<1)是奇函数 D.y=|x|是偶函数 4.sin45°sin105°+cos225°sin15°的值为( ). A.1 2 B.− 1 2 C.− 3 2 D. 3 2 5.若 tanα=2,则 ( ). A.2 B.3 C.1 D.1 2 6.已知数列{ }为等差数列, 为其前 n 项和, ,则 =( ). A.2 B.7 C.14 D.28 7.倾斜角为 45°,在 y 轴上截距为-1 的直线方程是( ) A.y=x+1 B. y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1 8.已知椭圆 (a>1)和双曲线 （b>0)有相同的焦点，则（ ） A.a=b+2 B.a=b-2 C.�2 = �2 + 2 D.�2 = �2 − 2 9.已知向量 a，b 的夹角为 60°，a=（1， ），|b|=2，则|a-b|=（ ）. A. 3 B. 3 C.2 D.4 10.一个口袋中放有若干个大小质量均相同白球和黑球，现从中摸出两个球，均是白球的概为1 5 ，已知袋 中，有 3 个白球，则黑球的数量是（ ）. A.1 B.2 C.3 D. 4 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11.设 A={x|3-2x-x2>0},B={x|x<a},若 AÜB，则实数 a 的取值范围是 . 12. 在 x∈(0,3)上的值域是 . 13. 是等比数列{ }的前 n 项的和,若 , ,则 = . 14.一个圆柱侧面展开图是面积为 16 的正方形,则圆柱的体积是 . 15.袋子中有大小质地完全相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中随机抽取 2 个球,则 1 红 1 黄的概率 为 . 16.已知平面向量 a=(2,1),b=(1,-1),若 a-λb 与 a+b 垂直,则λ= . 17. 已 知 倾 斜 角 为 45 ° 的 直 线 l 过 直 线 3x-y+1=0 与 2x+y-6=0 的 交 点 ,则 原 点 到 直 线 l 的 距 离 为 . 18.若 (n∈N+)展开式中，各项的系数之和为 64，则 项的系数为 . 三、计算题（每小题 8 分，共 24 分） 19．解不等式 x(5-x)>x(x-4)+4. 20.已知函数 是定义为 R 的奇函数,当 x>0 时, (1)求函数 在 R 上的解析式 (2)求 的值 21.已知圆 C 经过坐标原点 O 和点(4,0),且圆心在 x 轴上 (1)求圆 C 的标准方程 (2)直线 l:3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,求 AB 的弦长. 四、证明题（每小题 6 分，共 12 分） 22.已知 是数列{ }的前 n 项的和,满足当 n≥2 时， 成等差数列，且 求证：数列{ }是等差数列 23.如图所示，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 SCD⊥底面 ABCD， 求证：平面 SCD⊥平面 SBC 五、综合题（10 分） 24 在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosA=3 5 （1）若△ABC 的面积为 3，求向量 AB·AC 的值 （2）设 m= ,n= ,若 m∥n,求 cosC 的值 2024 年河南省对口招生数学押题试卷（四） 参考答案 一、选择题 1、A 2、C 3、D 4、 A 5、 C 6、 B 7、 B 8、 A 9、 C 10、C 二、填空题 11、a≥1 12、[0,4) 13、13 3 14、16 � 15、3 5 16、2 17、3 2 2 18、135 三、计算题 19、解：不等式去括号移项变形为 2�2 − 9� + 4＜0 因式分解得(2x-1)(x-4)＜0 看不等号,小于取中间,可得1 2 ＜�＜4 20、解：（1）∵函数 是定义为 R 的奇函数 ∴当 x=0 时,f(0)=0 取 x<0,则−x＞0 f(-x)=( − �)2 − 2( − �)=�2 + 2� 又∵函数 是定义为 R 的奇函数 f(-x)=−f(x) = �2 + 2� ∴当 x＜0 时，f（x） =− x2 − 2x 综上所述，f（x）在 R 上的解析式为 f（x）= �2 − 2�（�＞0） 0 （� = 0） − �2 − 2�（�＜0） （2） =f（-1+2）=f(1)=1-2=-1 21、（1）解:由题意可得圆 C 的圆心 O 为原点与点（4,0）的中点，半径为 2 ∴圆心 O 坐标（2,0）半径=2 ∴圆 C 的标准方程（� − 2） 2 + �2 = 4 （2）：圆心到直线的距离 d = |3×2+0−11| 5 = 1 圆心到直线的距离、半径、半弦三边构成直角三角形 由勾股定理可得半弦= �2 − �2 = 4 − 1 = 3 所以弦长 AB=2 3 四、证明题 22、证明：由 成等差数列可得 �� − （��−1 − 1） = ��+1 − ��（n≥2） ∴�� + 1 = ��+1； 即��+1 − �� = 1 （n≥2） 又�2 − �1 = 1 ∴数列{��}是公差为 1 的等差数列 即为所证 23、证明：∵ABCD 是矩形 ∴BC⊥CD 又面 SCD⊥面 ABCD 面 SCD∩面 ABCD=CD ∴BC⊥面 SCD ∵BC⊆面 SBC ∴面 SCD⊥面 SBC 即为所证 五、综合题 24、解：（1）∵cosA=3 5 ，∠A 为△ABC 的内角，0<A<π,sinA＞0 ∴sinA= 1 − ���2� = 4 5 又�△��� = 1 2 ������ = 3,代入数据可得 bc=15 2 又�� ·�� = |�� ||�� |���� = ������ = 15 2 × 3 5 = 9 2 (2) ∵m∥n;即 2����2 ���� = 1 ����2 ∴2sin� 2 ��� � 2 =cosB 即 sinB=cosB 又∵∠B 是三角形的内角,0<A<π ���2� + ���2� = 1 ∴sinB=cosB= 2 2 ∵A+B+C=π ∴cosC=−cos(A + B) =− cosAcosB + sinAsinB= 2 10