2024年河南省对口招生数学押题试卷（一）

2024 年河南省对口招生数学押题试卷（一） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1．设集合 M={3,1,a-1},N={-2,a²},N 为 M 的真子集，则 a 的值是( ). A. -1 B.1 C.±1 D.0 2.已知全集 U={-2,-1,0,1,2,3}，集合 M={x∈N|-2<x<3},集合 N={-1,0,1,2},则 = ( ). A.{-2,3} B.{1,2} C.{-2,1,0,3} D. {-2，-1,3} 3.若 a,b,c∈R,且 a<b<0,则下列结论正确的是( ). A.��2 < ��2 B.1 � < 1 � C.� � > � � D.�2 > �� > �2 4.若 m＞n＞0，0＜a＜1，则下列各式成立的是（ ）. A.�� > �� B.�� < �� C.����� > ����� D.���m� < ���n� 5.要得到 的图象，只需将 y=sin2x 的图象( ). A.向左平移� 6 个单位 B.向左平移� 3 个单位 C.向右平移� 6 个单位 D.向右平移� 3 个单位 6.若 a=(cosa,sinα),b=(cosβ,sinβ),则（ ）. A.a⊥b B.a∥b C.（a+b）⊥（a-b） D.（a+b）∥（a-b） 7.直线 3x-4y+15=0 与圆（x − 1） 2 + （y − 2） 2 = 4 的位置关系是（ ） A.相离 B. 相切 C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心 8.椭圆� 2 25 + � 2 16 = 1 的离心率为( ). A.2 5 B.3 5 C.4 5 D. 5 5 9.甲、乙两人独立射击，甲击中目标的概率 ,乙击中目标的概率 ,两人各射击一次，都未击中目标的 概率是( ). A. 2 5 B. 1 10 C. 9 10 D.13 20 10.已知 z=5-12i，则 zz*（z 的共轭复数）( ). A.119 B.169 C.13 D. 5 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11.函数 的定义域是 . 12.甲、乙两人下象棋比赛，甲获胜的概率是 0.2,甲、乙平局的概率是 0.5,则乙获胜的概率 . 13.已知圆锥的轴截面是面积为 36 3的等边三角形，则圆锥的体积为 . 14.已知点 A(-1,3),B(1,2),则线段 AB 的垂直平分线的直线方程为 . 15.tan70°+tan50°- 3tan70°tan50°= . 16.设α为第二象限角,则 1 ���� · 1 − ���2� = . 17.计算 lg25+lg2lg50+(��2)2= . 18.(2 x − 1 x )展开式中的常数项是 .（用具体数字作答） 三、计算题（每小题 8 分，共 24 分） 19．求下列不等式的解集： (1) 7x-12<�2. (2) |2-3x|<4 20.在△ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 a = 5 4 csinA (1)求 sinC 的值； (2)若 a=5,b=3, 求 c 的长 . 21.已知等差数列{ }的前 n 项和为 , =5， =55，求 （1） 数列{ }的通项公式 （2）若 ,求数列{ }的前 n 项的和 . 四、证明题（每小题 6 分，共 12 分） 22.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC,CD=DA,对角线 AC 的中点为 E. 求证：平面 ABC⊥平面 BDE 23.利用函数单调性的定义，证明函数 f(x)=-x²+1 在区间(0,+ ∞)上是减函数 五、综合题（10 分） 24.已知椭圆� 2 4 + � 2 � = 1 的右焦点 F₂ 与抛物线 y²=4x 的焦点重合，过椭圆左焦点 F 作倾斜角为 45°的 直线 l,与椭圆相交于 P,Q 两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线 l 的方程； (3)求△OPQ 的面积. 2024 年河南省对口招生数学押题试卷（一） 参考答案 一、选择题 1、A 2、D 3、D 4、 B 5、 C 6、 C 7、 B 8、B 9、 B 10、B 二、填空题 11、(-2,+∞） 12、0.3 13、72 3·� 14、4� − 2� + 5 = 0 15、− 3 16、1 17、2 18、-160 三、计算题 19、解：（1）不等式变形为 �2 − 7� + 12＞0 （x-3）（x-4）＞0 所以不等式的解集为（-∞，3）∪（4，+∞） （2）不等式变形为−4 < 3x − 2 < 4 解之得− 2 3 ＜x＜2 所以不等式的解集(− 2 3 , 2) 20、解：（1）由正弦定理可得 SinA=5 4 �������� ∵A 是三角形内角 则 sinA≠0 ∴sinC=4 5 （2）∵sinC=4 5 ;���2� + ���2� = 1 ∴cosC=± 1 − ���2� =± 3 5 当 cosC=3 5 时 c= �2 + �2 − 2������ = 4 当 cosC=− 3 5 时 c= �2 + �2 − 2������ = 2 13 所以 c 的长为 4 或 2 13 21、(1)由题意可得 �5 = �1 + 4� = 5 �10 = 10�1 + 45� = 55 解之得 �1 = 1� = 1 ∴数列{��}的通向公式�� = �1 + (� − 1)� = � (2)�� = 1 ����+1 = 1 �(�+1) = 1 � − 1 �+1 ∴�� = �1 + �2 +…… + �� = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + ……+ 1 � − 1 �+1 = 1 − 1 �+1 = � �+1 四、证明题 22、证明：∵AD=CD,E 是 AC 的中点 ∴AC⊥DE 同理 AC⊥BE 又∵DE∩BE=E ∴AC⊥平面 BDE 又 AC⊆平面 ABC ∴平面 ABC⊥平面 BDE 23、证明：在(0,+∞)中取�1; �2,令�1＞�2 则 f(x1) − f(x2) =− x12 + 1 − ( − x22 + 1)=(�2 − �1)(�2 + �1) ∵�1; �2∈(0,+∞),∴�2 + �1＞0 又∵�1＞�2,∴�2 − �1＜0 ∴(�2 − �1)(�2 + �1)＜0 即 f(x1) − f(x2)＜0 所以 f（x）在（0，+∞）上是减函数 五、综合题 24、解：（1）由题意可得，抛物线的焦点坐标（1,0）与椭圆右焦点重合 ∴4-m=1 解得 m=3 ∴椭圆的方程为� 2 4 + � 2 3 = 1 （2）椭圆的左焦点坐标为（-1,0），直线的倾斜角为 45°，则斜率 k=tan45°=1 代入点斜式方程可得：直线 l 的方程 y=x-1 （2）P,Q 为直线与椭圆的交点，联立直线和椭圆的方程可得 �2 4 + �2 3 = 1 y = x − 1 化简得 7y2 − 6y − 9 = 0 由韦达定理可得�� + �� = 6 7 ；��·�� =− 9 7 所以|�� − ��|= （�� + ��） 2 − 4��·�� = 12 2 7 所以�△��� = 1 2 |��1|·|�� − ��|= 6 2 7