17.4.2 反比例函数的图象和性质 课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级下册

17.4.2反比例函数的图象和性质 1.知道反比例函数的图象是双曲线，会利用描点法画出函数的图象，并能说出它的性质（增减性）。(重点) 2. 知道反比例函数中K的几何意义。(重点、难点) 3.会利用反比例函数的图像解决有关问题。 学习目标 结合以下问题阅读课本56-58页 2.反比例函数 中 取值有什么特征？ 3.描点后，如何连线？为什么？ 1.画函数图象的步骤是什么？ 复习回顾 解：列表如下： 画一画：尝试画出函数 与 的图象 归纳：反比例函数的图象叫双曲线 新课讲授 议一议：观察函数 和 的图象，它们有什么不同点？ 相同点有哪些？ 新课讲授 反比例函数 的图象和性质（增减性）： 图象是由 组成的， 当k>0时，两支曲线分别位于第 象限内；在每个象限内，曲线从左到右 ，y随x的增大而 。 当k<0时，两支曲线分别位于第 象限内；在每个象限内，曲线从左到右 ，y随x的增大而 。 它们与 x 轴、y 轴都不相交. 这两支曲线通常称为双曲线. 新课讲授 知识归纳 两支曲线 一、三 二、四 下降 上升 减小 增大 反比例函数图象是对称图形吗？结合列表，图象与同伴交流. 新课讲授 反比例函数图象是中心对称图形，其对称中心是坐标原点. 反比例函数图象也是轴对称图形，它有两条对称轴：直线 y=x和直线y=-x. 新课讲授 知识归纳 反比例函数 的图象和性质 （对称性）： 1.反比例函数 的图象在( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 2.已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________. 随堂练习 1. 反比例函数 的图象大致是( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 随堂练习 2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2的大小关系为( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系. 随堂练习 3.如果点（-1，3）在双曲线 图象上，那么该双曲线在第 象限,与x轴 交点（有或无）. 随堂练习 4.在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是 ( ) 随堂练习 5.已知两点（ ， ），（ ， ）在函数 的图象上，当 ＞ ＞0时，下列结论正确的是 （ 　） 　A. ＞ ＞0 B. ＜ ＜0 C. ＞ ＞0 D. ＜ ＜0 Ｄ 随堂练习 6、点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). < 随堂练习 例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 反比例函数的图象和性质的初步运用 二 新课讲授 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m=3. 新课讲授 例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 新课讲授 (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . 随堂练习 已知反比例函数 的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A( ),B(5,y2) ,C(-8,y3) ,则y1与y2、y3的大小关系为 ( ) A.y1> y2 > y3 B.y1< y2 < y3 C.y2 > y1 >y3 D.不能确定 C 解析：已知反比例函数过点（-2，-3），所以可知k > 0 ,可判断 y1>0， y2 > 0， y3 ＜ 0. 由概念可知,当k >0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以y2>y1>0>y3. 变式提升 随堂练习 当k>0时， 当k<0时， 随堂练习 在每个象限内，曲线从左到右上升，y随x的增大而增大. 在每个象限内，曲线从左到右下降，y随x的增大而减小； 1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=k 新课讲授 4 4 S1=S2 S1=S2=-k 2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格： 新课讲授 由前面的探究过程，可以猜想: 若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是 新课讲授 S矩形 AOBP=|k|. 点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形 AOBQ= A B |k| 对于反比例函数 Q 推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是 S△QAO= S△QBO= 新课讲授 反比例函数的面积不变性 如图，在函数 的图像上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ） A.SA >SB>SC B.SA<SB<SC C.SA =SB=SC D.SA<SC<SB C 例2 新课讲授 如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则k= . ﹣12 归纳：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0. 例3 新课讲授 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 B 随堂练习 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( ) O x y O x y O x y O x y A. B. C. D. B 随堂练习 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限. 其中正确的是 (填序号). (1)(3) m ＞ 2 随堂练习 5. 在反比例函数　　　(k>0) 的图象上有两点A (x1，y1)， B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0. ＜ 随堂练习 6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4). (1) 求 k 的值； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k=－8. 随堂练习 (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化? 解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大. 随堂练习 (3) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： 随堂练习 (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 . 随堂练习 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 随堂练习 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，得点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上． 随堂练习 (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 随堂练习 7. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、三象限， 所以有 m2－5=－1， m＞0， 解得 m=2. 随堂练习 8. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0) 的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1. 故 a 的取值范围为：－1＜a＜1． 随堂练习 3．如图：点A在双曲线 上，AB丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=_____　． < < > -4 新课讲授 4.下列关于反比例函数 的三个结论： (1)它的图象经过点（-1,12）和点（10，-1.2）； (2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小； (3)它的图象在二、四象限内. 其中正确的是 （填序号）． (1)(3) 5.如果点（a,-2a）在双曲线上，那么在每一象限内，y随x的增大而______. 增大 新课讲授 5.在同一直角坐标系内，画出 与函数 的图象，并利用图象求它们的交点坐标. 新课讲授 新课讲授 EV录屏3.9.6软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$