9.2.4总体离散程度的估计课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2用样本估计总体 9.2.4 总体离散程度的估计 总体集中趋势的估计 众 数：最高矩形的中点 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子. 复习回顾 问1 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价?如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择? 甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别. 思考：两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？ 引入新课 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （甲） 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （乙） 从上图中看，甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的. 引入新课 那么，如何度量成绩的这种差异呢? 我们可以利用极差进行度量。 根据上述数据计算得： 甲的极差= ； 乙的极差= 。 由极差发现甲的成绩波动范围比乙的大。 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。 但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。 也就是说，极差度量出的差异误差较大。 新知探索 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （甲） 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （乙） 10-4=6 9-5=4 新知探索 问2：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。 方差 2.标准差：方差的算术平方根 1.方差：给定一组数据，用表示这组数据的平均数，则 各个数据与平均数之差的平方的平均数 新知探索 思考1：标准差的范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？  思考2：标准差和方差是怎样刻画数据的离散程度的？ 标准差和方差是一样的，都刻画了数据的离散程度或波动幅度。 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定。 s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的。 但在实际问题中，一般多采用标准差。 新知探索 3.(1)甲、乙两名同学都参加了由学校举办的7场篮球比赛,平均得分均为16分,标准差分别为5.09和3.72,则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中,发挥得更稳定的是(　　) A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不能确定 (2)某学员在一次射击测试中射靶6次,命中环数为:9,5,8,4,6,10,则命中环数的极差为　　　　;命中环数的方差为　　　　. 巩固练习（优化P183） B 6 若总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为， 则称为总体方差，为总体标准差. 思想：用样本标准差估计总体标准差 新知探索 【优化P184思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)极差对一组数据中的极端值非常敏感. (2)方差与原始数据的单位一致. (3)标准差、方差越小,数据的离散程度越大,即数据离平均数波动的幅度越大. (4)平均数和标准差一起能反映数据取值的更多信息. √ √ × × 巩固练习 【优化P184例1】 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,从中随机抽取6件测量直径数据如下: 甲　99　100　98　100　100　103 乙　99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的极差、平均数及方差; (2)根据计算结果说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 解:(1)甲的极差为103-98=5,乙的极差为102-99=3 (99+100+98+100+100+103)=100 (99+100+102+99+100+100)=100 [(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]= [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1 (2)由(1)知,比较它们的方差, 因为, 所以乙机床加工零件的质量更稳定. 巩固练习 【优化P184变式训练1】 甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示. (1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图形和(1)中计算结果,对两人的训练成绩 作出评价. 解:(1)由题图可得,甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲:10,13,12,14,16; 乙:13,14,12,12,14. ×(10+13+12+14+16)=13, ×(13+14+12+12+14)=13, ×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4, ×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8. (2),可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩无明显提高. 巩固练习 【优化P184例2】 某校代表队20名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分)为:56,68,68,64,65,70,72,73,71,71,76,76,77,80,86, 88,89,80,82,88. (1)这20名同学的平均成绩是多少?标准差s是多少? (2)成绩位于-s与+s之间的有多少名同学?所占的百分比是多少? 解:(1)平均成绩为 ×(56+68+68+64+65+70+72+73+71+71+76+76+77+80+86+88+89+80+82+88)=75 方差s2=×[(56-75)2+2×(68-75)2+(64-75)2+(65-75)2+(70-75)2+(72-75)2 +(73-75)2+2×(71-75)2+2×(76-75)2+(77-75)2+2×(80-75)2+(86-75)2+2×(88-75)2 +(89-75)2+(82-75)2]=75.5 标准差s≈8.689. (2)因为-s=75-8.689=66.311,+s=75+8.689=83.689,所以成绩位于-s与+s之间的有68,68,70,72,73,71,71,76,76,77,80,80,82共13个,所占的百分比为×100%=65%. 故成绩位于-s与+s之间的有13名同学,所占的百分比是65%. 巩固练习 归纳小结 方差公式： 标准差： 方差和标准差是估计__________的统计量. 离散程度 课后作业 1.整理优化P183概念 2.优化P184例1、变1、 P185 变2 P186 随堂练 Sheet2 Sheet2 0 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 0 Sheet1 x 4 5 6 7 8 9 10 类别 1 0 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 0 类别 2 2.5 4.4 2 类别 3 3.5 1.8 3 类别 4 4.5 2.8 5 Sheet2 Sheet2 0.2 0.1 0 0.3 0.1 0.2 0.1 Sheet1 x 4 5 6 7 8 9 10 类别 1 0.2 0.1 0 0.3 0.1 0.2 0.1 类别 2 2.5 4.4 2 类别 3 3.5 1.8 3 类别 4 4.5 2.8 5 Sheet2 Sheet2 0 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 0 Sheet1 x 4 5 6 7 8 9 10 类别 1 0 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 0 类别 2 2.5 4.4 2 类别 3 3.5 1.8 3 类别 4 4.5 2.8 5 Sheet2 Sheet2 0.2 0.1 0 0.3 0.1 0.2 0.1 Sheet1 x 4 5 6 7 8 9 10 类别 1 0.2 0.1 0 0.3 0.1 0.2 0.1 类别 2 2.5 4.4 2 类别 3 3.5 1.8 3 类别 4 4.5 2.8 5 $$