第二部分 专题3 类型1 静态几何问题-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

学可之星 m专题3几何证明与计算（二）m 小星有话说：本专题根据辽宁统考最新方向，结合近3年辽宁省各市中考几何压轴题高频类型编写，用前面 专题2(“热身微专题”)练好几何常用辅助线方法、模型后，在此专题中实战练习类型1静态几何问题在近 3年辽宁省各市中考中，大连和营口均考了2次，阜新、朝阳和盘锦均考了1次，分值为11~14分 类型1静态几何问题 典型题 1.新考向·综合与实践【问题背景】 在□ABCD中，∠ADB=90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF, AD DG DG,∠FED=∠ADG 'BD-EF=k. 【特例感知】 (1)如图1，当k=1时，试探究线段AG与线段DF之间的数量关系； 学【类比迁移】 百之星 学2星 (2)如图2，当k=3时，写出线段AD,ED,DF之间的数量关系，并说明理由： 【问题解决】 (3)在(2)的条件下，当G是AB的中点时，连接BE,求tan∠EBF的值. (1题图1) (1题图2) (1题备用图) {名师讲解}此题主要运用“热身5”一边一角构全等”（本书P36)构造辅助线. (1)当k=1时，AD=BD,DG=EF.由一边(DG=EF)一角（∠ADG=∠FED),以△EDF为目标三角形，在 DG附近构造与△EDF全等的三角形，故在AD上截取DH=ED,连接HG(如图1)，可证明△DHG≌ △EDF(SAS),推出∠DHG=∠EDF=135°，HG=DF,得到AG=HG=DF: (2)当k=3时.由0-=3可得∠CDB=∠DBA=60,∠A=30,类比(1)需使在DG附近构造的三角形中， ∠EDF的对应角的邻补角为60°，结合∠A=30°，故过点G作GM⊥AB交AD于点M(如图2)，可证明 △OMG△EDF,推出G-P%-=3,得到MG=BDF,DM=BED.由此得到AM=2MG 学月25DF,进而推出AD-28DF+5ED:学可Z星 学月之星 学可之 (3)由(2)，得AD=√5BD,AD=23DF+ED,推出BD=2DF十ED.设ED=x.由G是AB的中点，得到 ∠ADG=∠A=30°，推出ED=DF=x,进而得到BD=3.x,要求an∠EBF的值，需将∠EBF放人直角三 角形中，又∠BDC=60°，为特殊角，故过点E作EN⊥BD于点N(如图3)，根据直角三角形中30角的性质及 句股定理求出DN=乙ED-子 .EN- 受：，即可得到BV=:,再根据三角函数的定义即可得到答案 (1题讲解图1) (1题讲解图2) (1题讲解图3) ■60领跑-数学 拓展题 2.新考向·综合与实践综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在△ABC中，点D在AB上，∠ADC=∠ACB.求证：∠ABC=∠ACD 独立思考： (1)请解答王老师提出的问题： 实践探究： (2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答， “如图2，延长CA至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,H分别在BF, BC上，GB=CD,∠BGH=∠BCF,在图中找出与BH相等的线段，并证明：” 问题解决： 单百之星 单百之星 学之星 学可2星 (3)数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90°时，若给出△ABC 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题，请你 解答 “如图3，在(2)的条件下，若∠BAC=90°，AB=4,AC=2,求BH的长.” (2题图1) (2题图2) (2题图3) 学可2星 学可2星 学可2星 学可2星 学可之星 领跑-数学61 学可之星 3./星·原创//新考向·综合与实践【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，G是边BC上任意一点， DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求AF,BF,EF之间的数量关系 (3题图1) (3题图2) (3题图3) 小星发现直线AG上有三个直角（∠BAD,∠AED,∠BFA),可推出一组等角，再利用三角形全 等转换边的位置，使AF,BF,EF在同一条直线上，继而可得它们之间的数量关系， 学1)请你根据小星的解题思路，写出求解过程：可它 学可之星 学可2星 【类比分析】 (2)老师将图1进行了变换并提出问题：如图2，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点 D在边BC上，且BD=2CD,连接AD,过点B作BF⊥AD于点F,BF的延长线交AC于点 E,求AE与CE之间的数量关系： 【学以致用】 (3)如图3，在(2)的条件下，G是BC的中点，连接FC,FG,求FC与FG之间的关系. 学可2星 学可它星 学可2星 学可2星 学可之星 62领跑数学 4./星·改编//新考向·综合与实践【模型建立】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，△ABC是等腰三角形，AB=AC,过点B作 BD⊥AC于点D.若BC=2,AD=3,求CD的长. (4题图1) (4题图2) (4题图3) (4题图4) 同学们经过思考后，交流了自己的思路： 小之：在Rt△ABD和Rt△CBD中，分别利用勾股定理即可求得CD的长； 学小星：通过观察和度量，发现乙A与∠1的数量关系是∠A=2∠1，由此在AD上取二点K,使 BK=BC,如图2，使二倍角转化为等角，再利用相似即可求得CD的长： 44044 (1)请你按照小星的思路解决问题： 【模型应用】 小星的思路运用了转化思想.王老师为了帮助学生更好地感悟转化思想，将图1进行了变换，并 提出下面的问题： (2)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=2∠DAB,点E在边AC上，且DE=CE,若 AB=CD=6,求AE的长： 【模型迁移】 (3)如图4，△ABC是等腰三角形，AB=AC,CD⊥AB交BA的延长线于点D,E是边AC上一 点，∠BEA=90°-2∠ACB,AE=1,AD=7,求BC的长. 学可2星 学耳之星 学月之星 学可2星 学可之星 领跑-数学63 学可之星 5.小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,且AB十BD=DC, 求∠C的度数.小明通过探究发现，如图2，在CD上取一点E,使ED=BD,再证明△ADB≌ △ADE,可使问题得到解决。 (5题图1) (5题图2) (1)根据阅读材料回答，△ADB≌△ADE的条件是 :(填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或 “HL”) 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： (2)如图3，在△ABC中，过点B任意作一条射线I,在l上取一点D,使∠ABD=∠ACD,AM⊥ 学可BD于点M,且BM=MDCD,探究AB与AC之间的数量关系，并证明： 学可2星 (3)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,D,E分别是边BC,AC上的点，AC=CD, ∠BAC=45+∠DEC,连接BE,若CE=1,求SaE, (5题图3) (5题图4) 学可2星 学可之星 学可2星 学可2星 学可之星 64领跑-数学 6./星·原创//新考向·综合与实践问题提出： 数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在正方形ABCD中，E是直线BC上一点，连接AE, 以AE为斜边作等腰Rt△AEF(点A,E,F按逆时针方向排列)，连接CF,探究EF与CF之间 的数量关系， 问题分析： 小明同学从条件出发进行分析：根据∠B=∠AFE=90°，则在四边形AFEB中，有∠BAF+∠FEB= 18O°，则∠BAF=∠FEC.题中还有AF=EF,可连接BF,延长EC到点G使EG=AB,就能得到 两组全等三角形使问题得证， 小红同学从问题出发进行分析：要证明EF=CF,可构造全等三角形证明，因此过点F作FG⊥ EC于点G,过点F作FM⊥AB于点M,可得到一组全等三角形和一个正方形，继而得到AM= 学EG,AM一CG,从而使问题得证. 可2星 学可2星 学可2星 (6题图1) (6题图2) (6题图3) (1)请选择其中一名同学的思路解答问题；目之■ 学月2昌 类比分析： (2)解决问题后，老师随即给出了一道变式题让同学们加以练习：如图2，在四边形ABCD中， BC=CD,∠A十∠BCD=180°，点E在AD的延长线上，且CE=CD,探究AB与AE之间的 数量关系： 学以致用： (3)如图3，在正方形ABCD中，点F在BC的延长线上，连接DF,过点D作DE⊥DF交AB的 学曰延长线于点E,AC与DE相交于点H,AC的延长线交EF于点G,连接DG,若AB=kBE, 求兴的值（用含k的式子表示） 领跑-数学65 学可之星 7./星·原创//新考向·综合与实践问题观察： 数学课上，老师带同学们仔细观察人教版八年级上册教材上的两道习题： ①62页练习1：如图1，AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.AB,AC,CE的长度有 什么关系？AB十BD与DE有什么关系？ ②77页练习3：如图2，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数 (7题图1) (7题图2) (7题图3) (7题图4) 提出猜想： 学通过观察发现，①中的∠B=2∠E,②中的∠B=2ZC.于是猜想：在△ABC中，若∠B=2∠C,是 则△ABC可被过点A的直线分成两个等腰三角形， 探索验证： (1)①小明准备在如图3所示的△ABC中验证猜想，其中∠B=2∠C=80°，他能作出过点A且 把△ABC分成两个等腰三角形的直线l吗？若能，请作出直线(： ②小亮准备在如图4所示的△ABC中验证猜想，其中∠B=2∠C=100°，他能作出过点A且 把△ABC分成两个等腰三角形的直线（吗？若能，请作出直线. 得出结论： (2)在△ABC中，当∠B=2∠C,且∠C 时可被过点A的直线分成两个等腰三角形： 深入探究： (3)直接写出△ABC还在什么条件下可被分成两个等腰三角形？并画图证明： 结论运用： (4)当△ABC为等腰三角形且可以被分成两个等腰三角形时，直接写出其顶角的度数 学可2星 学可它星 学可2星 学可2星星 学可之星 66领跑数学学可之星 :FA=FD∠FAD=∠D=18022兰=90- .∠CAB=∠B=45 2 '∠AME=∠B+∠DEF,∠EAM=∠CAB+∠EAC, ∴.∠FAD+∠ABE=90°-x+x=g0°.∴.AF⊥BE ∴∠AME=∠EAM.AE=EM..AD=EM. 又∠ACB=90°.∠CGA=∠FGB. 又∠ACD=∠EHM=9O°，∠CAD=∠HEM, ∴.∠CBE=∠CAG. ∴△ACD≌△EHM.∴CD=HM. (2)证明：如图，连接EG. ∠CBE=∠CAG,BC=AC,∠ECB=∠GCA, :在R△MBH中，∠B=45,∴.BM=2HM=2CD. .△BCE2△ACG..CE=CG. ∠ECG=90°.∴.∠CEG=∠CGE■45 AC-BC,.∠EAD=∠GBA. :∠D=∠GAB. .180°-∠EAD-∠D=180°-∠GBA-∠GAB. ∠AED=∠AGB. :∠AGB=∠CGF,∠AED=∠CGF (5题图) ∴∠AED-∠CEG=∠CGF-∠CGE. 学ZGE.:E=G,Z星 专题3几何题期与计慎(}2国 类型1静态几何间题日☑星 1.解：(1)如图1，在AD上截取DH=ED,连接HG. 当k=1时，AD=BD,DG=EF. :∠ADB=90°.∴∠A=∠ABD=45 ,四边形ABCD是平行四边形， (3题图) 4相：活- ∴.AB∥CD..∠CDB=∠ABD=45 ∠EDF=180°-∠CDB=180°-45=135. (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下： (DH=ED. 如图，取BC的中点H,连接DH」 在△DHG和△EDF中，∠GDH=∠FED, .BH=CH. DG=EF. :D是AC的中点iDH/AB,DH-AB,DC-2AC ,∴.△DHG2△EDF(SAS) .∠DHG=∠EDF=l35,HG=DF. AB=AC,DH=DC.∴∠DHC=∠DCH. .∠AHG=45=∠A, DB=DE,∴.∠DBH=∠DEC.,∠BDH=∠EDC. .AG=HG=DF. △DBH△DEC,Bh-BC器-告 DH∥AB..△EFBp△EDH FB-EB3 D丽EH2 学2星 字=（行题图1） 学可2昌 2 (2)AD=25DF+3ED,理由如下： 如图2，过点G作GM⊥AB交AD于点M, .∠AGM=90. 当=时品-=。 又∠ADB=90°，∴∠DBA=60°，∠A=30 (4题图) ∴.∠DMG=∠A+∠AGM=30°+90°=120 5.证明：如图，过点M作MH⊥BC于点H,连接AE. :AB∥CD,∴∠DBA=∠CDB=6O AC⊥BE,CD=CE,∴.AE=AD ,'.∠EDF=120.∴.∠DMG=∠EDF. ∴∠EAC=∠CAD, 又∠GDM=∠FED,,.△DMG∽△EDF EF⊥AD,∴.∠EFD=90°=∠ACD. .∠CAD+∠ADC=∠ADC+∠DEF. 深瑞器- ∴∠CAD=∠DEF.∴∠EAC=∠DEF. ∴MG=5DF.DM=5ED. :AC=BC,∠ACB=90°， :∠A=30°，∠AGM=90°..AM=2MG=2W3DF. 26领跑-数学 .AD=AM+DM. .△CEF≌△BDT.∴EF=DT. .AD=2√3DF+3ED ..BH-EF, Me (1题图2) (2题图1) (2题图2) (3)如图3，过点G作GM⊥AB交AD于点M,过点E作 (3)如图2，过点E作EM∥AD交CF的延长线于点M. EN⊥BD于点N. ∠BAC=90°，AB=4,AC=2, .∠AGM=∠ENF=90 an∠ABC=AB-交： AC 1 由(2)，知AD=3BD,AD=2/3DF+3ED. ∴BD=AP_2BDF+3ED 由(I),得∠ACD-∠ABC 3 =2DF+ED. 3 学设ED=.由(2)，知∠A=30.∠ABD250 学目 2- 学可2星 G是AB的中点，∠ADB=90°，∴AG=DG=BG. .∠ADG=∠A=30,∴∠FED=∠ADG=30 :∠CDB=∠ABD=60, .BD=AB-AD=4-1=3. ∴.∠DFE=∠CDB-∠FED=3O°=∠FED. BD=CE...CE=3. ,.AE=CE-AC■3-2=1 ED=DF=r...BD=2DF+ED=3x. 在R1△ABE中，根据勾股定理，得 :∠ENF=90,∠DEN=30.DN=2ED=2 BE=AE+AB=√+F=I7. EN-5DN-BN-BD-DN-3- 5 .'EM∥AD,.△ACD∽△ECM. 2r 2. 3 0瓷“-号M-学国Z冒 EN EM∥AD,.△MEF∽△DBF ,.tn∠EBF BN 2 0儒郡-服- 3 由(2)，知BH=EF ·BH=7 3 3,解：(1)：四边形ABCD是正方形 (1题图3) ∴.∠BAD=90°，BA=AD. 学目 (.∠BAF+∠EAD-90, 学之星 ∴.∠ABC+∠DCB=∠DCB+∠ACD. DE⊥AG,BF∥DE,∴∠BFA=∠AED=90 ∠BAF+∠FBA=9O°.∠FBA=∠EAD. .∠ABC=∠ACD ∴.△FBA≌△EAD.,.BF=AE (2)BH=EF. EF=AF-AE. 证明：如图1，在CB上取一点T,使得GH=CT,连接DT ∴.EF=AF-BF GB=CD, (2)如图1，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H. 在△BGH和△DCT中.∠BGH=∠DCT, ∴.∠H=90°..∠HAC+∠ACH=90° GH=CT. BF⊥AD,.∠BFA=∠BFD=90 ,,△BGH2△DCT(SAS). :∠BAC=∠BAF+∠HAC=90°， ∴.BH=DT,∠GBH=∠CDT ∴∠BAF=∠ACH ∠CDT+∠FDT=180°，.∠GBH+∠FDT=180 又∠BFA=∠H=90,BA=AC. .∠BFD+∠BTD=180°. .△BFA2△AHC :∠CFE+∠BFD=180°.∴.∠CFE-∠BTD. ..AF=CH,BF=AH. '∠ECF=∠DBT,CE=BD, :∠H=∠BFD=9O°，∠BDF=∠CDH, 领跑-数学27 学可之星 ∴△BFD△CHD.BF/cH.÷需-0 费-器∴m 2 2CD 2 BD=2CD...BF=2CH...AH=2AF. :CD=7-3(负值已含去. AF AE 1 2 :BF∥CH小AAC=交 ..AE=CE. (4题图1) (4题图2) (2)如图2，延长CB到点G,使BD=BG,连接AG,过点A作 (3题图1) AF⊥DE于点F. (3)如图2，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H,过点 ∠ABC=90°..AB⊥BD. G作GM⊥GF交BF于点M.连接AG交BF于点N 又BD=BG,.AG=AD. 学：AB=AC∠BAC=90°，G是EC的中点， ∴∠DAG=2∠DAB,∠G=∠ADG 学可之星 ∴AG=BG,AG⊥BC, 又∠C=2∠DAB,∴∠DAG=∠C. 又GM⊥GF,.∠AGB=∠FGM=90 又∠G=∠G.∴△AGD△CGA. ∴.∠FGA=∠MGB. ∴∠ADG=∠CAG.·∠G=∠CAG BF⊥AD,.∠BFA=90=∠AGB. .AC=GC. 又∠ANF=∠BNG,.∠GAF=∠GBM. 设BD=x,则BG=x,CD=6, 又AG=BG,∠FGA=∠MGB,∴.△FGA≌△MGB. .AC=GC=6+2x.BC=6+r. .FG=MG.AF=BM. 在R1△ABC中，根据勾股定理，AB+BC=AC2 ∴∠GMF=∠GFM=45°，MF=2FG.∴∠GFD=45° ∴.62+(6+x)y=(6+2x) 由(2)，知CH=AF=FH, 解得x=2(负值已舍去). .AC=6+2x=10. 又∠H=90°.∴∠HFC=45°，FC=2CH. ∴∠GFC=90.∴FC⊥FG. 设∠C=2∠DAB=2a,则∠DAB=a. ∠ABC=90°，.∠ADB=90°-a 由2，知AH=BF,AF=AH. .DE=CE,.∠EDC=∠C=2a. ∴.∠ADE=180-∠ADB-∠EDC=90°-a 又AF=BM,BM=2BF=MF. ∠ADB=∠ADE. 由2，知CH=BF AF⊥DE,.∠AFD=90° ∴.∠ABD=∠AFD=90°. .CH-ME-FG...FCCH-2FG. 又AD=AD,.△ADB2△ADE 学综上所述，FC与FG的美系为FCLFG,fC=2FG.学日 .AB=AF=6.BD=FD=2. 学可2昌 设EF=y.则DE=CE=2十y. ∴.AE=AC-CE=10-(2+y)=8-y. 在Rt△AFE中，根据勾股定理，AF+EF=AE. 6+少=(8-y月：解得少-子 (3题图2) AE=8-号-9 4.解：(1)如图1，在AD上取一点K,使BK=BC. (3)如图3，延长CA至点G,使BE■BG,过点B作BF⊥EG :BD⊥AC, 于点F, ∴.∠BDC=90°，∠CBD=∠KBD,CD=KD .EF=GF. ∴.∠C=90°-∠1.∠CBK=2∠1. AB=AC,∴∠ABC=∠C=90°-∠1. 设∠ACB=2a,期∠BEA=90-∠ACB=0°-e ∴∠A=180°-∠ABC-∠C=2∠1. 'BE=BG,∴∠BEF=∠G=90°-a, ∴.∠CBK=∠A. ∴∠EBG-180°-∠BEF-∠G=2a. 又∠C=∠C,.△CBK∽△CAB. ∴∠EBG=∠BCG, 28领跑-数学 又∠G=∠G,∴△EBGn△BCG ∴.∠BEG=∠CBG.·∠G=∠CBG.CB=CG. ∠B1C-46+号∠DEC CD⊥AB.BF⊥EG,.∠D=∠BFA=90 ∴2∠BAC=90°+∠DEC 又∠CAD=∠BAF,AC=AB, ∠CDE=180°-（∠ACD+∠DEC)=180°-(90°+ .△CAD≌△BAF,∴.AD=AF=7. ∠DEC)=180°-2∠BAC AE=1,.EF=AF+AE=7+1=8..GF=8. :∠CAF=180°-2∠BAC,.∠CDE=∠CAF 设AC=x,则AB=x,BC=CG=AC十AF+GF=x+7+ ∠CDE=∠CAF, 8=x+15,BD=AB+AD=x+7. 在△DCE和△ACF中，CD=CA, 在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据勾股定理， ∠DCE=∠ACF, CD=AC-AD.CD=BC-BD ∴.△DCE≌△ACF(ASA).CE=CF=1. x2-72=(x+15)°-(x+7)2. ∴.BF=BC+CF=4+1=5. 解得x1=25,x:=一9（不合题意，舍去）. 在Rt△BNF中，根据勾股定理，得 ,BC=25+15=40. NF=√BF-BNT=√5-4F=3 .AF=NF-AN=3-(1+x)=2-x. 学可2星 学月 在R△ACF中，根据勾股定理AC+CF=F,星 ，1， 1+x)+1=(2-z),解得x-34AE 3 ∴.Sar= 2AE·BC=1 3 (4题图3) 5.解：(1)SAS (2)AB=AC. 证明：如图1，延长BD至点Q,使DQ=CD,连接AQ,CQ, :BM=MD+CD...BM=MD+DQ.BM=QM. 又AM⊥BQ,.AB=AQ.∴.∠ABM=∠AQM. ∠ABD=∠ACD.∴，∠ACD=∠AQM (5题图2) DQ=CD,.∠DCQ=∠DQC 6.解：(1)选小红同学的思路. ∴.∠ACD+∠DQ=∠AQM+∠DQC,即∠ACQ=∠AQC 如图1，过点F作FG⊥EC于点G,过点F作FM⊥AB于点M, .AC=AQ. ,.∠AMF=∠BAMF=∠EGF=90 义AB=AQ..AB=AC 四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠B=90°. .四边形BMFG是矩形. △AEF是等腰直角三角形.AE为斜边 学可之星 学 LAFE=90.AF=EF,Z星 学2星昌 :∠B+∠AFE=180°， ∴.在四边形ABEF中，∠MAF+∠BEF=180 又∠BEF+∠GEF=180°，∴∠MAF=∠GEF. .△MAF2△GEF,,AM=EG,MF=GF (5题图1) .矩形BMFG是正方形.∴.MB=BG. (3)如图2，在AB上方作∠BAN=∠BAC,且AN=AC,连 .AB-MB=BC-BG.AM=CG..EG=CG. 接BN,延长NA,BC交于点F 又FG⊥EC,∴.EF=CF. 设AE=x,则AN=AC=1+x, (AN=AC. 在△NAB和△CAB中.∠BAN=∠BAC, AB=AB. .△NAB≌△CAB(SAS) ∴.∠N=∠ACB=90',BN=BC=4. (6题图1) (6题图2) 领跑-数学29 学可之星 (2)如图2，过点C作CH⊥AB于点H,过点C作CK⊥AE ∠AEH=∠PFD,∠HAE=∠PDF, 于点K,连接AC .∠BHC=∠DKC=∠AHC=9O. △AEHO△DFP.提-能 ∠A+∠BCD=180°，∴.∠B+∠ADC=180 :∠DCP=∠DGF=90,∠DPC=∠FPG, :∠ADC+∠CDK=180°.∴∠B=∠CDK. ∴∠CDP=∠QFG. 又∠BHC=∠DKC,BC=DC,∴.△BHC≌△DKC ∴，CH=CK, 又∠DCP=∠FBE△DCPFBE,小-器 又AC=AC,,Rt△AHC2Rt△AKC 在R△ADE中，根据勾股定理，得DE=√AD+AE= .AH=AK. ,/(ka)+(+a)F=a/2k+2+1】 CE=CD.CK LDE.'.DK=EK=BH .EF=√2DE=a/Ak+4k+2. .AH+BH=AK+EK.AB=AE. (3)如图3，过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N,GN AE=CF,∴CF=ka+a. 交CF于点Q,设GD交CF于点P DP ka :四边形ABCD是正方形. a√4k'+4k+2ka+ka+a 亡DAB=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90.AB=BC DP-泰V+h+2 CD=AD,∠DAC=∠BAC=45. 2+之星 学可2星 .∠DCF=∠CBE=90. AH ka十a .DE⊥DF..∠EDF=90°=∠ADC k√/+4+2 4√/25+2k+1 2k+1 ∠ADE=∠CDF, 又AD=CD,∠DAE■∠DCF..△DAE≌△DCF ∴AH-②（传+D 2+14, .DE=DF,AE=CF,∠AED=∠CFD 六∠DEF=∠DFE,∠DEF=180-9O 2(+1) ■45° 2 -20+14262+25 ∴∠DAH=∠DEF 2 2k+1 2 又∠AHD=∠EHG,.△AHD∽△EHG. 品股脚品器 又∠AHE=∠DHG,∴△AHEn△DHG. ∴∠EAH=∠GDH=45 ∴.∠GDH=∠FDG=45 DG⊥EF,EG=FG. .∠EGD=90°，EF=2DG. ∴.∠BAD+∠EGD=180 (6题图3) ∴.∠BEG+∠ADG=180 7,解：(1)①能.如图1，直线即为所求 子：∠ADC+∠NDG=180,∠BEG=∠NDG. ②不能. 学可之星 GN⊥AD,∴∠DNG=90 (2)<45 ∴.∠EBF=∠DNG.∴△EBFo△DNG. (3)1,当△ABC是直角三角形时可被分成两个等腰三角形. 既眼-2 证明：如图2，取BC的中点D,过点A,D作直线. 设E-4,则DN-兰 ∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴DA=DB=DC,即△ABD和△ADC均为等腰三角形. AB=BE..AB=ka. ∴直线1将R△ABC分成两个等腰三角形。 '∠NDC=∠DNG=∠DCQ=90' .四边形DCQN是矩形， ∴DN=GQ=号，∠CQN=∠CQG=90 :∠BCA=∠QCG=45.∴.∠QCG=∠CCQ=45. CQ=GQ=- 0c=a 2 (?题图1) (7题图2) 30 领跑-数学 .当△ABC满足任意一个内角a是另一个内角3的3倍， ,在R1△ACP中，∠DPB=30,.PA=2AC 且3<45时，可被分成两个等腰三角形 设AC=x,则PA=2x. 证明：如图3，在BC上取一点D,使DA=DB,过点A,D作 .PC=3x.AO=2PA=4x. 直线1. O是线段AB的中点，.B)=AO=4x ∠B=∠DAB ..PB=PA+AO+BO=10x, ∴，∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B ,在Rt△BPD中，∠DPB=30°， :∠CAB=3∠B. .∠CAD=∠CAB-∠DAB=2∠B. .BD-PB-5r...PD5. ∴∠CAD=∠ADC. :.CD-PD-PC-5x-x43x. ∴.AC=DC,即△ACD为等腰三角形. ,在R1△POM中，∠DPB=30°， ∴.直线1将△ABC分成两个等腰三角形 0M=2P0=2(2x+4r)=8. 1 AC∥BD,.∠ACO=∠F 又AO=BO,∠AOC=∠BOF, 学之 学月 之△A0C≌△BOP.日之星 学可之星 .OC=OF,即O为CF的中点. (7题图3) .(O0D= 2CF-00. (4)其顶角的度数为108°.90°，36° 180) 又OMLcD.∴CM=DM=CD-25. 详解 在R△COM中，根据勾股定理，得 1,△ABC为等腰三角形且满足任意一个内角a是另一个 内角P的2倍且<45°，其顶角的度数为36 (OD=0C=CM+OM=√(23r)+(3x)=√2Ix. i.当△ABC为等腰直角三角形时，其顶角的度数为90， .CD-43z47 丽，△ABC为等腰三角形且满足任意一个内角。是另一个 内角B的3倍，且3<45°，当a为底角时，其顶角的度数为 2.解：(1)四边形BFEC是平行四边形.理由如下： (）,当3为底角时，其预角的度数为103 △ABC是等边三角形.∴·∠ABD=60°，AB=BC. 由题意，知FD=BD. .△BFD是等边三角形.，∴，∠FDB=60 类型2图形变换问题 :∠EFD=60,.∠FDB=∠EFD.∴EF∥BC 1.解：(1)O0C=OD EF=AB=BC, (2)OC和OD的数量关系依然成立. ,',四边形BFEC是平行四边形， 证明：如图1，延长CO交BD于点E. (2):△ABC是等边三角形，BD=CD, AC⊥CD.BD⊥CD,,∠ACP=∠BDP=90°. ACBD.∠A=∠BZ 学 .ZADB-90.ZBAD-BC- 学可之 :O是线段AB的中点，.AO=BO. 又∠AOC=∠BOE,.△AOC≌△BOE. .BDAD .OC=OE,即O为CE的中点 如图1，过点E作E'G⊥BC交BC的延长线于点G. .DO是Rt△CDE斜边上的中线 .∠E'GC=90 ..OC=OD. EF'∥BC,∠F'E'D=30°，.∠ED'G=30 在R△EDG中，EG-ED=26 ∴.D'G=5E'G=6. 四边形BF'EC为菱形，.CE=BC=8. 在R1△ECG中，根据勾股定理，得 (1题图1)》 (1题图2) CG=√CE-E'G=√82-(23)=2√15. (3)如图2，过点O作OM⊥CD于点M,延长C)交DB的延 .DG=DC+CG=4+2/13 长线于点F, ∴.DD'=DG-D'G=4+2√13-6=2√13-2. 领跑-数学31