第二部分 专题2 热身10 与角数量关系相关的模型-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

学可之星 热身10与角数量关系相关的模型 名师点拨 类型 何时用 经典模型图 常用结论 (1)反向延长OB: 由绝配角构造 ∠AOD=∠AOC=a 镜面角（入射 2a+B=1809 光线CO、反 D 射光线OB和 (2)反向延长OA: 绝配角（若两 条件中出 平面镜OA的 个角满足α十 现绝配角 夹角) ∠LBD=∠AC=a 2B=180°， 或者导角 则称a,B为 后得到绝 2星 学可2星 学可2自 一组绝配角) 配角 过点B作 ∠A=2ac,∠B= BD⊥AC于 90°一a 点D,在CA ∠C=90°-a, 由绝配角构造 上取一点 AB=AC, 等腰三角形 E,使CD=B ∠CBD=a, DE BC=BE 角平分线法：作二倍角的角平分线，从而得到相等的角 条件：∠AOB=2∠CO'D 辅助线：作OE平分∠AOB ∠AO)E=∠BE ∠OYD 0 加倍法：加倍半角，从而得到相等的角 条件：∠AOB=2∠CO'D 辅助线：作∠CO'E=∠CO'D 回2星 学2 ∠DOE=∠AOB 题中出现2 倍半角 倍角 等腰法：由二倍角关系，作以二倍角为顶角的外角的等腰三角形 条件：∠ABC=2∠C 辅助线1：作BD平分∠ABC DB=DC. 辅助线2：作∠CAD=∠C AB=AD-DC. 辅助线3：延长CB至点D,使DB=AB AD-AC 54领跑-数学 类型1绝配角 1.如图，在四边形ABCD中，ADBC,∠BAC=90'-号∠CAD,AC,BD相交于点EB,且∠BEC= 60°，若AD=5,BD=15,求AC的长. (1题图) 学可2Z星 学可2星 学可2星 学可2星 学可2星 2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E在AB上，连接DE,2∠C+∠BDE=180°，AC=BD, ∠AED=∠C,BE=3,求CD的长. 学月之星 学可之目 学日(2题图) 3.如图，△ABC内接于⊙O,∠CAB=60°，过点C作CD⊥AB于点D,点E在AC上，连接AE, BE,CE,满足∠ACB=90°-)∠ACE,若CD=4,CE=b,求AB的长.（用含a,b的式子表示） 学月之星 学可它星 学月之星 学月之星 之星 (3题图) 领跑-数学55 学可之星 类型2倍半角 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E分别在边AC,BC上，∠C=2∠BAE,EA平分 ∠BED,BE=5,CD=12,求CE的长. (4题图) .如图在正方形AD中，E男GD的中点，点F在C品上，且∠AP2DAE.求证，Er-星 (5题图) 6.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B,点F在边AB上，点G在边AC上，CD=CG,FD⊥BC于点 D,且FD平分∠BFG,FD=kDG,探究AB与AC之间的数量关系，并证明.（用含k的式子 表示) 学可2星 学百之星 学可2星 学可Z星 (6题图) ■56领跑-数学..CD=RCE. '∠MDN=2a,∴∠MDN=∠NCM, '∠NCM+∠M=∠MDN+∠N,.∠M=∠N. :AD=BD,AC=BC,∴CD平分∠ACB. 又DE⊥BM,DF⊥CN,,DE=DF 又∠M=∠N,∠DEM=∠DFN, ∴.△DEM≌△DFN..DM=DN. (5题图2) M 6.证明：如图，在CA上取一点F,使EC=EF,设EB与AC交 于点G. ∴.∠ECF■∠EFC ,AD=AC,.∠D=∠ACD=∠EFC 'AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠D+∠ECB=∠EFC+ ∠ECB=180°， (8愿图) ,∠AEB=∠DAC,.∠AEB=∠ACB 一题多解 ∠EGA=∠CGB.∠EAF=∠EBC 解：(I)DM=DN 厚C牛EFA-1wZFA乙RCB (2)DM=DN. 证明：如另解图，连接CD,在 学可2 ,.△EAF≌△EBC.,AE=BE. CA上取一点E,使ED=CD. ,∠DCE=∠DEC ∠CAB=∠B=a, .AC=BC,∠CN=∠CAB+ ∠B=2a. (另解图) (6题图) :∠MDN=2a, ·∠MDN=∠MCN. 7.证明：如图，以点E为顶点，作∠BEF=∠AEC,EF交BC于 '∠MCN+∠M=∠MDN+∠N,.∠M=∠N. 点F,设AE与BC交于点G ,AD=BD,AC=BC,.CD平分∠ACB ∴.∠BEF+∠AEF=∠AEC+∠AEF,即∠AEB=∠CEF AD∥BC.∠DAC-∠ACB,∠D=∠FCE ·∠ACD=1 ∠AcB-d80-2a=90-a :∠AEB=∠DAC,∴·∠AEB=∠ACB=∠CEF=∠DAC .∠DEC=∠DCE=90°-a+∠MCD=90°-a+2a=90°+a :∠AGC=∠EGB.∴∠EAC=∠EBF :∠DEC+∠NED=180, :∠DAC=∠CEF,∠D=∠FCE, .∠NED=180°-∠DEC=180°-(90°-a)=90°+a= ∠McD. △DAC∽△CEF. 又∠M=∠N,DC=DE.∴.△DCM≌△DEN.∴.DM=DN. 部记品琵 AD EC 热身10与角数量关系相关的模型 AC=AD.S = 1.解：如图，延长DA至点F,使AF=AC,连接BF,过点F作 FH⊥BD于点H. 学'∠BEF=∠AEC.∠EBF-∠EAC.÷△EBF△EAC, 学可之星 .BE_EF AE-EC=k,∴BE=6AE :∠BAC=90- ZCAD.2ZBAC+ZCAD=180 ∠FAC+∠CAD=180°，∴.2∠BAC=∠FAC ,.∠BAF=∠BAC. 又AB=AB,AF=AC,.△AFB≌△ACB. ∠AFB=∠ACB,BF=BC. .AD∥BC,.∠DAC=∠ACB (7题图) ∴.∠AFB=∠DAC.∴AC∥FB. 8.解：(1)DM=DN ∴.∠FBE=∠BEC,四边形AFBC是平行四边形 (2)DM=DN. :AF=AC,∴□AFBC是菱形. 证明：如图，过点D分别作DE⊥BM于点E,DF⊥CN于点 ·AF=BF=BC=AC. F,连接CD :∠BEC=60,.∠FBE=60° .∠DEM=∠DFN=90 :FH⊥BD.∴∠FHB=∠FHD=90 :∠CAB=∠B=a, .∠BFH=30°..BF=2BH .AC=BC,∠NCM=∠CAB+∠B=2a. 领跑-数学23■ 学可之星 设BH=x,则BF=2x 4.解：如图，延长CB至点F,使BF=BE,连接AF,过点A作 FH3x.AC=AF2r. AG⊥DE于点G. AD=5,BD=15..FD=2x+5,HD=15-x. :∠ABC=90°，AB⊥FE. 在Rt△FHD中，根据勾股定理，FH+HD=FD, 又BF■BE,,AF=AE ∴.（√5x)2+(15-x)2=(2x+5). ∴.∠FAE=2∠BAE,∠F=∠1. 解得x=4∴AC=8. :∠C=2∠BAE,∠FAE=∠C. ∠C+∠CAF+∠F=180°，∠FAE+∠F+∠1=180° .∠CAF=∠I=∠F..CA=CF :EA平分∠BED,AB⊥BE,AG⊥DE, ∴∠1=∠2=∠F,AB=AG, :∠1+∠F+∠FAE=180°，∠1+∠2+∠3=180°， (1题图) ∠FAE=∠3=∠C..DE=DC=12. 2.解：如图，在DB上取一点G,使DG=CD,连接AG,延长DE '∠ABE=∠AGE=90°，AE=AE,∠1=∠2， 至点F,使DF=BD,连接BF, ∴△ABE≌△AGE..BE=GE=BF=5. AD LBC.DG-CD,AGAG,∠C-∠AGC. DG=DE-GE=1257星 ,∠CAG+∠C+∠AGC=180°，：∠CAG+2∠C=180 学可之星 设AD=x,则CF=AC=x+I2. ,2∠C+∠BDE=180°，∠CAG=∠BDE. ,.BC=x+12-5=x+7. ,AC=BD.∴.AC=AG=BD=DF.∴.△ACG≌△DBF. 在R△AGD中，根据勾股定理，AG=AD一DG=x一7. .CG=BF=2CD,∠AGC=∠F. 在R△ABC中，根据勾股定理，AB=AC一BC=(x+12)- :∠AED=∠C=∠A(GC·∠AED=∠BEF. (x+7). .∠F=∠BEF.∴.BE=BF=2CD x2-72=(x+12)2-(x+7) BE-3..CD- 解得x1=18,x:=一8（不合题意，舍去）. .BC=25. ,.CE=BC-BE=25-5=20. (2题图) 3.解：如图，延长AC至点F,使CF=CE,连接BF, (4题图) 1 :∠ACB=90'-2∠ACE.2∠ACB+∠ACE=180 5,证明：如图，作AM平分∠BAF,交BC于点M,交DC的延 长线于点G,连接FM, ∴.∠ACB+∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠BCE=180. .∠BAF=2∠BAM=2∠FAM 臣 学 ZBAF=2∠DAE,-∠BAM=∠D,AE=∠EAMZ ,四边形ABCD是正方形， .BE=BF,∠BEC=∠F,CE=CF=b ∴.AB=BC=CD=DA,∠B=∠D=90 :BC=BC,∠CAB=60°，∴∠F=∠BEC=∠CAB=6O°. .△ABM2△ADE.∴BM=DE. .△ABF是等边三角形..AF=AB=BF E为CD的中点，.CD=2DE=2BM=BC :CDLAB,∴∠ADC=90.ACin60-3a CD 23 ..BM=CM=CE=DE. '∠B=∠BCG=90°，∠BMA=∠CMG, 六AB=AF=AC+CF-2E。 3a+6. ,△ABM2△GCM,∴.AM=GM,∠BAM=∠G. .∠FAM=∠G..FA=FG. .FM⊥AG..∠AMF=90. ,∠B=90°..∠BAM+∠BMA-∠CMF+∠BMA-=90 '.∠BAM=∠CMF. 又∠B=∠MCF=90°，，△ABM∽△MCF. BM-CF-2. (3题图) 24 领跑-数学 .MC=2CF...EC=2CF. '.∠ACD=∠BCE,CD=CE ∴，EF=CF :∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-∠ACD,∠DFC=90°- ∠BCE,∴∠DCB=∠DFC ,DC=DF,∴，CE=DF (1题图) 2.证明：如图，以点D为顶点作∠BDH=∠BEF交BC于点H (5题图) :∠BDH=∠BEF.∠B=∠B.BD=BE. 6解，AB-是4C ∴.△BDH≌△BEF 证明：如图，延长BC至点K,使CK于AC,连接AK,过点C ·∠BHD=∠BFE,DH=EF 作CH1AK.垂足为H.字 5ZBEF=180-2a.∠BDH180°-2a.学月Z星 又∠BDH+∠HDC+∠ADC=180°，∠ADC=a, 设∠B=a,则∠ACB=2∠B=2a. ·∠ADC=∠HDC=a. :cp=cG.∠cpG=∠cGD-18o2a=90-a 2 GA=GF,.∠GAF=∠GFA. FD⊥BC.∴∠FDB=90. 又∠GFA=∠BFE=∠BHD,.∠GAF=∠BHD. .∠BFD=90°-a,∠FDG=90°-(90°-a)=a, ∴.∠DAC=∠DHC FD平分∠BFG,∴∠DFG=∠BFD=90°-a. 又∠ADC=∠HDC,DC=DC,.△ADC≌△HDC. ,∴.∠FGD■180°-a-(90°-a)■90 .AD=HD...AD=EF. CA=CK,∠K=∠CAK=R..∠K=∠FDG. CH⊥AK,.∠CHA=∠CHK=90°， 学比星 学之星 ∴∠CHK=∠FGD 六△KCHn△DG.路-g 'FD=DG,∴.CK=kKH. (2题图) CH⊥AK,AC=CK,∴KH=】 一题多解 证明：如另解图，以点E为顶点作∠BEH=∠BDC交BD :∠K=∠K,∠CAK=∠B=a 的延长线于点H △KACO△KBA小新-= 月 里AB22 学月之星 学它星 学可2事 (另解图) ∠BEH=∠BDC,BE=BD,∠B=∠B, .△BEH≌△BDC. ∴.∠H=∠BCD,EH=DC :∠ADC=a,,∠BEH=∠BDC=I80°-a. (6题图) ∠BEF=180°-2a, 热身11等腰三角形的对称性及双等腰三角形 ∴.∠FEH=∠BEH-∠BEF=a=∠ADC. 1.解：CE=DF. GA=GF,∠GAF=∠GFA. 证明：如图，连接CD. .∠DAC=∠EFH. :AC=BC,∠ACB=90°.DG⊥CE 又∠ADC=∠FEH,DC=EH,∴△ADC≌△FEH. :.AD=EF. .∠A=∠B=45°，∠CGF=90 3.解：(1)∠CBE=∠CAG 又AD=BE,AC=BC,.△ACD≌△BCE. 证明：设∠ABE=x,则∠AFD=2∠ABE=2x. 领跑-数学25