第二部分 专题2 热身9 对角互补四边形模型-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

学可之星 热身9对角互补四边形模型 模型介绍：有一组对角互补的四边形叫做对角互补四边形通常取一个角的邻补角，或由两直线平行同旁内角 互补，利用同角的补角相等，从而构造全等（相似）三角形；对角互补四边形模型也常常在圆中出现，利用圆 的有关性质，得出角或线段的数量关系 名师点拔 类型 何时用 经典模型图 常用结论 找到其中一个角的补角，利用等角的补角相等，得到一组等 角，构造全等（相似）三角形 延长BC至点E,使 同2星 2星 CE=AB: ∠DCE-ZA: △DCE≌△DAB 条件：∠DAB十 ∠BCD=180°， 对 DA-DC 过点D作DE⊥AB交 BA的延长线于点E, ∠EAD=∠C: 互 四边形中有一组 DF⊥BC于点F: △DAE≌△DCF 对角互补 类 作∠CDE=∠ADB,DE交BC的延长 线于点E: ∠DCE=∠A: △DCE△DAB 条件：∠DAB+ ∠BCD=180 过点D作DE⊥AB 交BA的延长线于 ∠EAD=∠C: 点E,DF⊥BC于 △DAE∽△DCF 点F: 根据题目条件导角得到蝶形图中的一组等角，从而构造全等 (相似)三角形. 过点A作AE⊥AD于 同2星 与之星 点A,交BD于点E: ∠ABE=∠ACD: △ABE兰△ACD 条件：∠BAC= ∠BDC=90°，AB= 条线段 过点A分别作AE⊥ AC (BC)所对的 BD于点E,AF⊥CD ∠ABE=∠ACD: 蝶 形 位于其同侧的两 交CD的延长线于点 △ABE≌△ACF 个 F+ 图 角相等 (∠BAC ∠BDC) 以点A为顶点，作 ∠DAE=∠BAC,交 ∠ABE=∠ACD: BD于点E: △ABE∽△ACD 条件：∠BAC= ∠BDC,AB=kAC 过点A分别作AE⊥BD 于点E,AF⊥CD交CD ∠ABE=∠ACD: 的延长线于点F: △ABE∽△ACF ■50领跑-数学 类型1对角互补类 1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，连接BD,过点A作AE⊥CD于点E,AE=CE, 若BC=2,DE=4,求BD的长 (1题图) 学百之星 百之星 百之星 之星 学可之星 2.1题变式一变四边形背景为圆背景如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交 ⊙O于点D,求CD的长， 学月之星 学可Z目 学司2(2题图) 3.1题变式一变直接给出四边形对角互补为间接给出四边形对角互补如图，在△ABC中，AB=AC,点 D在底边BC上，作∠EDF=2∠B,∠EDF的两边分别交AB,AC边于点E,F,BD=2CD,若 学DE2,求DF的长.月之星 学可之星 学可Z星 学可之星 (3题图) 领跑-数学51 学可之星 4./星改编/如图，在△ABC中，BC=mAC(m>1),D是AB边的中点，以点D为顶点作∠EDF, 使∠EDF=∠A十∠B,两边分别与边BC,AC交于点E,F,探究DE与DF之间的数量关系，并 证明.（用含m的式子表示） (4题图) 学百之星 日之星 单可2星 学可2星 学可2星 5.课堂上，老师出示了这样一道题： 如图1，在四边形ABCD中，BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°，连接BD,过点C作CE∥AD交 BD于点E.求证：CE=CD. (1)小云同学是这样做的：延长DA至点F,使AF=CD,连接BF.请根据小云同学的思路完成 证明； (2)如图2，老师将“BA=BC”改为“BA=kBC(k为常数，k>0)”,其他条件不变，求CD与CE之 间的数量关系.（用含k的式子表示） (5题图1) (5题图2) 学可2星 学可它星 学可2星 学可2星 学可之星 ■52领跑-数学 类型2蝶形图 6.如图，在四边形ABCD中，ADBC,AC=AD,点E在CD边上，∠AEB=∠DAC.求证：AE=BE. (6题图) 7.6题变式 图多变如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AC=kAD,点E在DC的延长线上， 学∠AEB∠DAC.求证：BE=kAE. 学日Z星 学日☑星 学可2星 (7题图) 学月之星 学可Z目 学可2昌 8.在△ABC中，∠CAB=∠B=a,点D在AB上，AD=BD,∠MDN=2a,在∠MDN绕顶点D 旋转的过程中，点N在直线AC上，点M在直线BC上， (1)如图1，DM与DN之间的数量关系为 (2)如图2，探究DM与DN之间的数量关系，并证明. 学可2星 学可它星 学可2星发学可2星 可Z星 (8题图1) (8题图2) 领跑-数学53∴.AF=FM,GN=GC,EM=EN 9.解：如图，以点A为顶点作∠GAD=∠EAB,AG交CD的延 设AF=a,GC=b. 长线于点G,过点A作AH⊥GD于点H.连接AF iAM-/..CN-AH-F6.5-S-. :AE⊥AD,,∠DAE=90 :∠BAD=150°，∴∠EAB=60 在R1△AHM中，根据勾股定理，得 又∠B=60°，.△ABE是等边三角形.∴AE=AB=80. MH=√AF+A=√(2a)P+(2b)=√2a+2b. :∠ADC=120°，.∠ADG=60 ∴.MN=MH=√2a+2b. 又∠GAD=∠EAB=60°，∴.△ADG是等边三角形. ME=号MN=Va+石S,=+ .GD=AG=AD=AE=80. 2 2 :AH⊥GD.∠AHD=90,∠GAH=30,HD=2GD=40. .S1=S1+S. 7.解：如图，以点D为顶点作∠CDG=∠BDE.DG交AC的延 .AH=AG·cos30°=40、3，HF=HD+DF=403. 长线于点G. .AH=HF.∴.∠HAF=45 :△ABC是等边三角形， .∠GAF=∠GAH+∠HAF=75. ·∠A=60°.AB=BC=AC :∠GAE=∠GAD+∠DAE=150°， ∠BDC=120°，.∠BDC+∠A=180° ∴∠GAF=∠EAF=75 学&∠EBD年∠ACD=180.月之星 之义AE=AG,AF=AP,AEAF△GAR.学月Z星 又∠ACD+∠GCD=180°，.∠EBD=∠GCD. ,EF=GF=GD+DF=80+40(3-1)=403+40. 又DB=DC,∠BDE=∠CDG,,∴.△BDE≌△CDG. G .BE=CG.DE=DG. ∠BDE+∠EDC=120',.∠CDG+∠EDC=120 又∠EDF=6O°，.∠EDF=∠GDF 义DF=DF,DE=DG,∴，△EDF≌△GDF ∴，EF=GF (9题图) .GF=CG+CF...EF=BE+CF. 热身9对角互补四边形模型 号-AE+AE十E十CF十F以-AB-子门解：如图，过点A作AF LCB交CB的延长线手点E 3AB ,∠F=90° :AE⊥CD..∠CEA=∠AED=90 ∠C-90°.∴.∠F=∠C-∠CEA=90° ∴四边形FCEA是矩形. 又AE=CE,.四边形FCEA是正方形 .∠FAE=90°，AF=AE. (7题图) ∠BAD=90°=∠FAE,∠FAB=∠EAD 又∠F=∠AED=90°，.△AFB2△AED 8.证明：如图，以点A为顶点作∠BAF=∠CAE,AF交CB的 :.BF=DE.AB=AD. ■延长线于点F. AB=AC,∠BAC=120°，，∠ABC=∠ACB=30°， BC-2.DE-4.CF-BC+BF-BC+DE-6习Z星 AE=6. ∴.∠ABF=150,∠ACE=∠ACB+∠DCE=30°+120=150 在R1△AED中，根据勾股定理，得 .∠ABF=∠ACE. AD=√AE+DE=√6+F=2/13. 又AB=AC,∠BAF=∠CAE,.△ABF≌△ACE .BF=CE.AF=AE. ∴.AB=AD=2/13. ∠BAF=∠CAE,∴∠FAE=∠BAC=120 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 ∠DAE=60'.∴∠DAF=∠DAE=60 BD=√AB+AD=√(2√13)+(2√3)=2√26. 又AD=AD,AF=AE,.△DAF≌△DAE ∴.DF=DE=3CE.∴.BD=DF-BF=3CE-CE=2CE. (1题图) 2.解：如图，延长CB至点E.使BE=AC,连接DE. (8题图) ,AB为⊙O的直径，∠ACB=∠ADB=90°. 领跑-数学21 学可之星 在R△ACB中，根据勾股定理，得 DE=2,.DF=4 BC=AB-AC=10-6=8. ,BE=AC=6,.CE=BC+BE=8+6=14 :四边形ACBD为⊙O的内接四边形， .∠CAD+∠CBD=180. (3题图) ∠EBD+,∠CBD=180,∴.∠CAD=∠EBD 4.解：DF=mDE. CD平分∠ACB.∴∠ACD=∠BCD=45. 证明：如图，连接CD,过点D分别作DM⊥BC于点M, ∴.AD=BD DN⊥AC于点N. 又∠CAD=∠EBD,AC=BE.∴.△CAD≌△EBD. .∠DME=∠DNF=90° .∠ADC=∠BDE,CD=ED D是AB的中点，AD=BD.S△m=S△ '·∠CDE=∠CDB+∠BDE=∠CDB+∠ADC=∠ADB=90° BC DN CD=CE·cs∠BCD=14·os45”=4x .AC.DN-BC DM.G-Dr 2 =72 :∠EDF=∠A+∠B,∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠EDF+∠ACB=180 学可2星 ∠EDF+∠ACB+∠1+∠DFC=360 学 7∠1+∠DFC=180.Z星 学可之星 ∠2+∠DFC=180°..∠2=∠1. 又∠DNF=∠DME,.△DNF∽△DME. (2题图) 院器限器 一题多解 解：如另解图，过点D分别作DF⊥CB于点F,DE⊥CA交 cC.DF=DE. CA的延长线干点E,连接OD .∠E=∠BFD=∠CFD=9O CD平分∠ACB,.DE=DF ,AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90 :∠E=∠CFD-∠ACB=90°，DE DF,,四边形ECFD为正方形 (4题图) .CE=CF=DF. (另解图) 5.解：(1)证明：如图1，延长DA至点F,使AF=CD,连接BF 在R1△ABC中，根据勾股定理，得 ∠BAD+∠BCD=I8O°，∠BAD+∠BAF=180'. BC=AB-ACT=10-6=8. .∠BCD=∠BAF. 又CD=AF,BC=BA,∴△DCB≌△FAB. 四边形ACBD为⊙O的内接四边形， .BD=BF,∠1=∠F..∠2=∠F..∠1=∠2. .∠CAD+∠FBD=180°. CE∥AD.∴∠3=∠2.∠1=∠3.∴CE=CD ∠CAD+∠EAD=18D°，∠FBD=∠EAD. CD平分∠ACB,·∠ACD=∠BCD,AD=BD 又∠EAD=∠FBD,∠E=∠BFD, 学它星 学可2星 ,.△AED≌△BFD,.AE=BF AC+BC=AC+CF+BF=AC+CF+AE=CE+CF=2CF, .2CF=6+8=14.∴.CF=7.∴.DF=CF=7. (5题图1) 在Rt△CFD中，根据勾股定理，得 (2)如图2，以点B为顶点作∠ABF■∠CBD,BF交DA的 CD=√CF+DF=√7+7=？2， 延长线于点F, 3.解：如图，在BA的延长线上取一点G,连接GD,使BD=GD. '∠BAD+∠BCD=180',∠BAD+∠BAF=180°， .∠B=∠G .∠BCD=∠BAF. AB=AC,.∠B=∠C=∠G 又∠ABF=∠CBD,.△BAF△BCD. :∠GDC=∠B+∠G.∴∠GDC=2∠B. 跳-院☑F-A ∠EDF=2∠B,.∠EDF=∠GDC.∴∠EDG=∠FDC. GD DE 又∠G=∠C∴△GEDn△CFD.∴CD=DF· BM=8c需- CE∥AD,∴∠3=∠2.∴.△BDFo△CED BD=GD.BD=- BD DE 1 =2CD.…CD=DF=2, 部-0部是- 22领跑-数学 ..CD=RCE. '∠MDN=2a,∴∠MDN=∠NCM, '∠NCM+∠M=∠MDN+∠N,.∠M=∠N. :AD=BD,AC=BC,∴CD平分∠ACB. 又DE⊥BM,DF⊥CN,,DE=DF 又∠M=∠N,∠DEM=∠DFN, ∴.△DEM≌△DFN..DM=DN. (5题图2) M 6.证明：如图，在CA上取一点F,使EC=EF,设EB与AC交 于点G. ∴.∠ECF■∠EFC ,AD=AC,.∠D=∠ACD=∠EFC 'AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠D+∠ECB=∠EFC+ ∠ECB=180°， (8愿图) ,∠AEB=∠DAC,.∠AEB=∠ACB 一题多解 ∠EGA=∠CGB.∠EAF=∠EBC 解：(I)DM=DN 厚C牛EFA-1wZFA乙RCB (2)DM=DN. 证明：如另解图，连接CD,在 学可2 ,.△EAF≌△EBC.,AE=BE. CA上取一点E,使ED=CD. ,∠DCE=∠DEC ∠CAB=∠B=a, .AC=BC,∠CN=∠CAB+ ∠B=2a. (另解图) (6题图) :∠MDN=2a, ·∠MDN=∠MCN. 7.证明：如图，以点E为顶点，作∠BEF=∠AEC,EF交BC于 '∠MCN+∠M=∠MDN+∠N,.∠M=∠N. 点F,设AE与BC交于点G ,AD=BD,AC=BC,.CD平分∠ACB ∴.∠BEF+∠AEF=∠AEC+∠AEF,即∠AEB=∠CEF AD∥BC.∠DAC-∠ACB,∠D=∠FCE ·∠ACD=1 ∠AcB-d80-2a=90-a :∠AEB=∠DAC,∴·∠AEB=∠ACB=∠CEF=∠DAC .∠DEC=∠DCE=90°-a+∠MCD=90°-a+2a=90°+a :∠AGC=∠EGB.∴∠EAC=∠EBF :∠DEC+∠NED=180, :∠DAC=∠CEF,∠D=∠FCE, .∠NED=180°-∠DEC=180°-(90°-a)=90°+a= ∠McD. △DAC∽△CEF. 又∠M=∠N,DC=DE.∴.△DCM≌△DEN.∴.DM=DN. 部记品琵 AD EC 热身10与角数量关系相关的模型 AC=AD.S = 1.解：如图，延长DA至点F,使AF=AC,连接BF,过点F作 FH⊥BD于点H. 学'∠BEF=∠AEC.∠EBF-∠EAC.÷△EBF△EAC, 学可之星 .BE_EF AE-EC=k,∴BE=6AE :∠BAC=90- ZCAD.2ZBAC+ZCAD=180 ∠FAC+∠CAD=180°，∴.2∠BAC=∠FAC ,.∠BAF=∠BAC. 又AB=AB,AF=AC,.△AFB≌△ACB. ∠AFB=∠ACB,BF=BC. .AD∥BC,.∠DAC=∠ACB (7题图) ∴.∠AFB=∠DAC.∴AC∥FB. 8.解：(1)DM=DN ∴.∠FBE=∠BEC,四边形AFBC是平行四边形 (2)DM=DN. :AF=AC,∴□AFBC是菱形. 证明：如图，过点D分别作DE⊥BM于点E,DF⊥CN于点 ·AF=BF=BC=AC. F,连接CD :∠BEC=60,.∠FBE=60° .∠DEM=∠DFN=90 :FH⊥BD.∴∠FHB=∠FHD=90 :∠CAB=∠B=a, .∠BFH=30°..BF=2BH .AC=BC,∠NCM=∠CAB+∠B=2a. 领跑-数学23■