第二部分 专题2 热身6 一线三等角模型-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

热身6一线三等角模型 模型介绍：一条直线上有三个角相等，借助三角形的外角性质或者三角形的内角和定理和平角的定义，得到 一组相等的角利用两组角分别相等的三角形是相似三角形的判定方法可以得到两个相似的三角形，进而得到 对应边成比例和对应角相等的结论，当相似比为1时，相似三角形特殊化为全等三角形 名师点拨 类型 何时用 经典模型图 常用结论 在△ABC和△DEB中，A,B,D三点共线，共线的三个角为直角. 同侧型 异侧型 子母型 题中有直 △ABC≌△DEB 等角为 角或有2 个直角的 直角 顶点在一 条直线上 △ABC∽△DEB 在△ADB和△CEA中，A,D,E三点共线，且∠1=∠2=∠3. 中点型 同侧型 异侧型昌 (A为ED的中点) 可2冒 题中有2 △ADB≌△CEA 个等角 等角为 (锐角或 锐角或 钝角)的 钝角 顶点在一 条直线上 △ADB∽△CEA 领跑-数学39 学可之星 类型1等角为直角 1.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且AH⊥BC于点H,DE与直 线AH相交于点G.求证：DG=EG. (1题图) 学可2星 学可2星 单可2星 学可2星 学可2星 2.1星改编/如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D在AC上，连接BD,CE⊥BD 于点E.若AC=3AD,求距的值， (2题图) 3.如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是AC上一点，EF⊥EG,且EF交CD于点F,EG交CB 学移延张我于点G者福-么d-6*需的值，佣香。山的式子表系3 学司之星 (3题图) 40领跑-数学 4.1星改编/如图，∠ACB=∠N=90°，∠E=45°，AC=BC=5,CN=3,若N,B,E三点共线，求 侣的值 (4题图) 类型2等角为锐角或钝角 单可2星 学可之星 学可2星 5.1星改编I如图，在□ABCD中，点E在CD上，∠C=∠AEF=60°，CF=7,CE=4,DE=3,求 EF和AE之间的数量关系. 学月之星 学可之目 学日(6题图) 6./星·原创/5题变式一变三等角为互补角如图，A,B,C三点共线，且∠DBE=∠DCB,∠EAB十 ∠DCB=180°，若DB=6,BC=4,BE=5,求EA的长. 学可2星 学可它星 学可2星 学之天 学才 (6题图) 领跑-数学41 学可之星 7./星·改编/如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D是BC边上一动点，且∠ADE=∠C,求 BE的最大值. (7题图) 学可2Z星 学可2星 学可2星 学可2星 学可2星 8./节选自2023辽宁五市模考24题1如图，△ABC是等边三角形，D是BA边上一动点（不与点A,B重 合)，连接CD,在CD的右侧以CD为斜边作Rt△CDE,且∠CDE=6O°，EF∥AC交AB于点F. (1)如图1，当D是边AB的中点时，线段EF与线段AD之间的数量关系是 (2)如图2，当D是边AB上任意一点时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由. (8题图1) (8题图2) 学可2星 学可之星 学可2星 学可2星 学可之星 42领跑-数学学可之星 7.解：【操作与发现】如图1，△NMP即为所求 '.△DMG≌△ENG.∴.DG=EG 构造方法：先作∠MNP=∠NMQ,再以点M为圆心，NQ长 为半径画弧，交NP于点P,连接MP (7题图1) (1题图) 【借鉴与应用】 (1)证明：如图2，延长CN至点P.使NP=MQ.连接MP 2解：如图，过点A作AF⊥BD交BD的延长线于点F. :∠MNC+∠QMN=180°，∠MNC+∠PNM=180°， .∠F=90 ∴.∠QMN=∠PNM :CE⊥BD..∠ABC=∠BEC=90. 又QM=PN,MN=NM,∴.△QMN≌△PNM. '.∠ABF+∠EBC=∠EBC+∠BCE=90 ∠Q=∠P.NQ=MP ÷∠ABF=∠BCE. 学∠C=ZQ.∴∠P=∠C.月Z星 百又AB=BC,∠R=∠BC星 效2星 .MP=MC.∴.MC=VQ .△ABF≌△BCE..AF=BE. :∠F=∠CED=90,∠ADF=∠CDE, .△ADF∽△CDE 器品 (2题图) AC=3AD...CD=2AD. (7题图2) (7题图3) (2)如图3，在AB上截取AE=CD,连接ED 带-带品 ∠ACB■90°.AC=BC,,∠CAB=∠CBA■45 3.解：如图，过点E作EN⊥CD,垂足为N,过点G作GM⊥ AD=AC,∠CAD=30, EN交NE的延长线于点M. 六∠EAD=45°-30°=15，∠ACD=180'-30 '.∠GME=∠ENF=90°. 2 =75,AD=CB. :EF⊥EG,∠FEG=90 ∴.∠DCB=90°-75=15°=∠EAD. ,,∠NEF+∠GEM=∠NEF+∠EFN=9o 又CD=AE.CB=AD.∴△CDB≌△AED. .∠GEM=∠EFN ∴.∠DBC=∠EDA.DB=ED.∠DEB=∠DBE. 又∠GME=∠ENF,.△GMEn△ENF. 设∠DBC=∠EDA=x. :∠DEB=∠EDA+∠EAD=x+15',∠DBE=∠CBA- -蛋 ∠DBC=45-x, ,四边形ABCD是矩形 夏2之目 学国 .ZBCD-90.AB-CD-a.BC-AD-b.BC//AD. :∠MNC-∠BCD=∠GME=90. ,.∠ADB=180°-∠EAD-∠DBE=180-15-30=135. ,∴.四边形MGCN是矩形 热身6一线三等角模型 .GM=CN,MN∥BC∥AD 1.证明：如图，过点D作DM⊥AH于点M,过点E作EN⊥ .△CNE∽△CDA. AH于点N ∴.∠DMA=∠ENA=90 器器器品 'AH⊥BC,∴.∠AHB=∠AHC=90 ∴.∠DMA=∠AHB,∠HBA+∠BAH=90 器器器÷ :∠BAD=90,.∠BAH+∠MAD=90°. .∠HBA=∠MAD. 又∠AHB=∠DMA,AB=DA..△AHB≌△DMA. ∴.AH=DM 同理，得△ENA≌△AHC,.EN=AH.∴DM=EN. 又∠DMG=∠ENG,∠DGM=∠EGN, (3题图) 16领跑-数学 4.解：如图，延长NC,EA交于点M,过点A作AF⊥MN于点6.解：如图，在AB上取一点F,使EF=EA F,过点B作BG⊥AE于点G. ∴∠EAB=∠EFA. ∴.∠AFC=∠AFM=90°，∠BGE=∠BGA=90 '∠EAB+∠DCB=180',∠EFA+∠BFE=180°， :∠ACB=∠N=90',BC=CA=5, ,∠DCB=∠BFE. .∠NCB+∠VBC=∠NCB+∠FCA=90°，AB=52 :∠DBE=∠DCB,∠DBF=∠D+∠DCB=∠DBE+∠EBF, ∴∠NBC=∠FCA. ∴.∠D=∠EBF,'.△DCB∽△BFE. 又∠N=∠AFC=90°.∴.△NCB≌△FAC 64 ..CN=AF=3.NB=FC. 在R1△CNB中，根据勾股定理，得 ·EA=EF= 3 NB=√BC-CNT=√5-3=4.∴.FC=4 ∠N=90,∠E=45.∴∠M=∠E=45.NM=NE. :∠AFM=90°，.∠MAF=∠M=45.∴FM=FA=3. .NE=NM=3+4+3=10.,BE=10-4=6. ∠BGE=90°，∠E=45°，·∠GBE=∠E=45 (6题图) 学日7.解：∠ADB=∠ADE+ZBDE-∠C+∠CAD.ZADE= -BE=3V2. ∠C.∠BDE=∠CAD. 在R1△AGB中，根据勾股定理，得 AB=AC,∴∠B=∠C. AG=√AB-BG=√(52)-(32)2=42. △BDEO△CAD.÷-8器 ∴.AE=EG+AG=32+4w2=72. BD BE AC=5,BC=6,. 器器号 5=6-BD BE=-吉(8D-3+号 1 学可之星 学=5<0,0<BD<6. 学之星 当BD-3时，BE有最大值，最大值为 (4题图) 8.解：EF=AD 5.解：如图，延长CD至点G,使DG=DA,连接AG. (2)成立. 四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD. 证明：如图，以点E为顶点作∠DEG=∠CDA,交DB于点G. .∠C=∠ADG=60°， :△ABC是等边三角形，∴.∠A=60. .△ADG为等边三角形.，DA=DG=AG,∠G=60 :∠CDF=∠CDE+∠EDG=∠A+∠DCA,∠CDE=6O°， 里2会 ∴.∠EDG=∠DCA. 学可之 学目 又∠DEG=∠CDA,.△DEGn△CDA. 学可之星 ∴.∠FED=∠C+∠F=∠AEF+∠AEG. ∴∠BGD=∠A=60器- ∴.∠F=∠AEG. :EF∥AC,∴.∠EFG=∠A=∠EGD=6O 又∠C=∠G,.△FCE∽△EGA .△EFG是等边三角形.∴.EF=GE. 需-器∴3c流G- 7 4 在△CDE中，∠CDE-0,小8S-as0-号 .EG=DE+DG=3+4=7...CF=EG .△FCE2△EGA..EF=AE. 需-需-名甲m-AD (5题图) (8题图) 领跑数学17 学可之星 一题多解 3.解：如图，连接BQ,过点H作HE⊥BQ于点E. 都，0EF-号AD :△ABC和△CPQ均为等腰三角形， ∴AC=BC,PC=QC. (2)成立. :∠ACB=∠PCQ=45°，∴∠ACP=∠BCQ. 证明：如另解图，延长DE至点G,使 ∴△ACP≌△BCQ.∴∠CAP=∠CBQ DE=EG,连接BG,CG :AH⊥BC,∴.∠AHC=90°.∠CAP=∠ACB=45 DE=EG,CE⊥DG,∴CD=CG. ∠CDE=60°. ∠父AP=45,CH=AC·cos45=2 .△CDG是等边三角形.·∠DCG=60 ..BH-BC-CH-2/2-2. :△ABC是等边三角形， (另解图)》 .AC=BC,∠ACB=∠A=∠ABC=60°. :HE⊥BQ,.∠HEB=90° ·∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠BG=6O' '.HE=BH·sin∠HBE=(22-2)×sin45"=2-2 .∠ACD=∠BCG. :HQ≥HE,∴HQ的最小值为2-√2. 又AC=BC,CD=CG..△ACD≌△BCG. .AD=BG,∠A=∠CBG=60 晨t紧冒 学2星 学可之星 .∠DBG+∠BFE=18O°.∴.EF∥BG (3题图) 热身7“手拉手”模型 4.解：如图，过点A作AE⊥AP交BP于点E. .∠PAE=90 1.证明：如图，过点C分别作CG⊥BD于点G,CH⊥AE于点H, :△ABC与△DCE均为等边三角形， :四边形ABCD为正方形， ∠DAB=90,BA=DA.∴∠DAB=∠PAE. .CB=CA,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60 .∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE. ∴.∠DAP十∠DAE=∠BAE+∠DAE ∴.△BCD≌△ACE..CG=CH. .∠DAP=∠BAE. 又CG⊥BD,CH⊥AE,,FC平分∠BFE :∠APB=45,∠PAE=90°，.∠PEA=∠APB=45°. ∴.∠BFC=∠EFC, .PA=EA,∠AEB=135 .△PAD≌△EAB..∠APD=∠AEB=135 (1题图) 2.解：如图，连接GC. 子：四边形ABCD和四边形CECF都是正方形， (4题图) 学之星 ∴.AB=BC,EG=EC,∠ABC=∠(GEC=90 5.解：如图，在BA的延长线上取一点G,使DG=DA. ∴在R△ABC和R1△GEC中，根据勾股定理，得 .∠G=∠DAG. AC=√AB+BC=②BC,GC=√GE+ECF=EEC. ∠DAB+∠DCB=180°，∠DAB+∠DAG=180°. -瓷- .∠DCB=∠DAG=∠G :∠BCE+∠ECA-∠ACG+∠ECA-45, :DB=DC,∴.∠DBC=∠DCB=∠DAG=∠G. .∠BCE=∠ACG.∴.△BCE∽△ACG. ∴∠BDC=∠GDA.∴∠ADC=∠GDB. 又DA=DG,DC=DB..△ADC≌△GDB. .AC=GB=GA+AB. :AC=AB+1,.GA=1. 胎号Da-c0-号 :∠G=∠DBC,∠GDA=∠BDC,∴.△GDAn△BDC. (2题图) 18 领跑-数学