第二部分 专题2 热身4 线段最值问题的方法技巧-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

热身4线段最值问题的方法技巧 模型介绍：几何最值中比较常见的是线段最值与线段和差最值，主要来源于两个公理，一是两点之间线段最 短，二是垂线段最短，由这两个公理衍生出一些基本定理和基本图形 常用到的定理是：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 名师点拔 方法 基本型 解题思路 技巧 线段AB平移，注意线段AB不能发生旋转，与定点或动点（一般情况下 利用平移、对称或旋转来 平移 在直线上移动)之间连线组成线段和差最值，利用平行四边形的对边平行 变换线段和点的位置，使 变换 且相等来变换线段的位置.一 百之星 动点变定点，或找出动点 的运动轨迹（经常在某直 对称 一个点或多个点在同一条直线上移动或在不同直线上移动，利用垂直平分 线或某圆周上)，使之符 变换 线上的点到线段两端点的距离相等来变换线段的位置。 合基本定理或基本图形来 求线段最值或线段和差 通过旋转变换，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定 旋转 最值. 点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间，线段最短”求最小值 变换 (化折为直)。 类型1平移变换 伊Z星 子Z星 1.如图，已知直线b∥，点A,B分别在直线b,c上，且AB⊥b,C,D是平面内的两点，DE∥AB, CE∥b,若AB=2,DE=6,CE=3,求DA十AB+BC的最小值， 学月之星 学百之星 学百之星 学月之星 之星 (1题图) 2./星改编/如图，OA是⊙O的半径，OA=3,AD⊥OA,AD=7,B是⊙O上一动点，过点B作 CB∥AD,且CB=1(点C在点B的上方)，连接DC,求DC的最小值和最大值. (2题图) 领跑-数学33 学可之星 3./星改编/如图，直线b∥，且两条平行线间的距离是2，C是直线b,c外一点，且点C到直线c的 距离CG=4,点A,B分别在直线b,c上，且AB与直线b所夹的锐角是45°，E是直线c上一点， EG=8,且过点E的直线EF与直线c所夹的锐角是30°，M是EF上一点，连接AM,求BC+ AM的最小值. (3题图) 类型2对称变换 4如图，P是直线1上任意一点，A,B是直线士方的两点，A,B两点到直线？的距离分别是国 即AM=1,BN=4,已知AB=5,求PA+PB的最小值. (4题图) 5./星改编/如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2AB=6,E是DC上一点，G是BC上一 点，CD=3CE,BC=2CG,M是BC上一动点，连接AM,N是AM的中点，连接ND,NF,求 DN一FN的最大值. 学月之星 学可之星 学可之星 学可2星 6题，司2星 6.1星改编/如图，AB=4,P为AB的中点，顶点为P且在AB上方的两条射线PM,PN形成的夹 角∠MPN=120,C是PM上一点，D是PN上一点，且AC=3,BD=求CD的最大值 (6题图) 34领-数学 类型3旋转变换 7./新考向·综合与实践/问题提出： 如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接PA,PB,PC,求PA十 PB十PC的最小值. 方法分析： 通过旋转，可把所求问题中的PA,PB,PC由分散变为集中，再利用“两点之间，线段最短”求最 小值. 问题解决： 如图2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A',过点A'作AE⊥CB交CB的延长线于点 E,连接PP',A'C,设A'C与AB相交于点D.易知BA'=BA=BC=1,∠A'BC=∠A'BA+ ∠ABC=120°.由BP'=BP,∠P'BP=60°，知△P'BP为等边三角形.因此，PB=P'P.故PA+ 学PB+PC=P'A'P'PPC,当点A',P,P,C共线时，PA十PB子PC最小，最小值是A'C的 长，再在Rt△A'BE和Rt△A'CE中解直角三角形，即可求出A'C的长， 学以致用： (1)如图3，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=4,CA=3,P为△ABC内部一点，连接PA,PB, PC,则PA十PB十PC的最小值为 (2)如图4，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=22,CA=3,P为△ABC内部一点，连接PA,PB, PC,则√2PA+PB+PC的最小值为 学月之昌 (7题图1) (7题图2) (7题图3) (7题图4) 8.如图，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA,PD,PQ,求PA+ PD+PQ的最小值 学可之星 学可之星 学月之星 学月之星 (8题图) 领跑-数学35学可之星° 一题多解 AB=AC. 证明：如另解图，延长DC至点M,使MC=EB,连接EM 6.解：(1)证明：在△ABE和△ACD中， ∠A=∠A, ABCD,∠ECD=90°，.∠ED=∠ABE=∠ECM=90. AE=AD. 又AB=EC,EB=MC, ,△ABE2△ACD(SAS).,∠ABE=∠ACD ,△ABE2△ECM (2)∠AFB=∠HFC. .AE=EM,∠EAB=∠MEC 证明：：AF⊥BE,FP⊥CD,∴∠BGF=∠CHF=90 :∠EAB+∠AED+∠FEB=9O, ,∴.∠GBF+∠AFB=∠HCF+∠HFC=90 ,.∠MEC+∠AED+∠FEB= :AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∠MED+∠AED-90°： 由(1)，知∠ABE=∠ACD. ∠AED=5,∠AED=∠MED=45 (另解图) ∴∠GBF=∠HCF,∠AFB=∠HFC. 又AE=ME,ED=ED,∴.△AED≌△MED (3)BP=AF+PF. ·∠ADE=∠MDE,AD=MD. 证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF的延长线于点M,延长 'AB∥CD,.∠AFD=∠MDE. FP交AC于点N. ,∠ADE=∠AFD.∴AF=AD=MD ∴.∠ACM=90° MD艺MC十CD=EB+CD,AF=EB+CD. ∠BAC=90°，AB=AC,·∠NCF=45° 学可之星 5.解：(1)135 .∠MCF=∠NCF=45. (2)证明：如图，分别延长AF,CD交于点H. ,AF⊥BE,.∠AGB=90 由(1).知∠EAF=135. .∠BAF+∠ABG=90 :四边形ABCD是正方形， 又∠BAF+∠FAC=90°，∠FAC-∠ABG. ∴∠ABD=45,∠BAD=∠ADC=90, 又AB=CA,∠B.AE=∠ACM,.△ABE2△CAM AB∥CD. ∴.BE=AM,∠BEA=∠M. .∠ABD+∠BAF=180°.∴.AH∥BD. 由(2)，知∠NFC=∠AFB. .四边形ABDH是平行四边形. :∠AFB=∠MFC,.∠MFC=∠NFC. ∴.DH=AB=CD 又FC=FC,∠MCF=∠NCF,.△MFC2△NFC, AH∥BD,∴.△CDMO△CHF. FM=FN,∠M=∠FNC. ÷0-需-多FH=2ND ∴∠FNC=∠BEA..PN=PE. (5题图) .BP=BE-PE. ∠EAF=135,.∠HAD=∠EAF-∠BAD=45 ..BP=AM-PE=AF+FM-PE=AF+FN-PN= .∠H=∠ADC-∠HAD=A5 AF+FP. ∴△HAD是等腰直角三角形.∴AH=2AD ∴.2AD=AF+FH=AF+2MD 一题多解 解：(1D135° 下(2正明：如另解图，过点A作AG/M交BD于点G.学目它星 学可之星 '∠AGB=∠FMG=∠CMD, 由(1)，知∠EAF=135. :四边形ABCD是正方形， (6题图) ∴.∠ABD=45°，AB=CD=AD,∠ABG 热身4线段最值问题的方法技巧 ∠CDM=45 1,解，如图，在DE上取一点D1,使DD,=AB,连接BD1 ,∠ABD+∠BAF=180°..AF∥BD CD. 又AGFM,∴四边形AGF是平行四边形， .AF-GM. (另解图) 由题意，得AB∥DE ∴四边形ABD,D是平行四边形. ∠AGB=∠CMD,∠ABG=∠CDM,AB=CD, ..DA=D B...DA+BC=D B+BC. .△ABG≌△CDM..BG-DM 在Rt△ABD中，根据勾股定理，AB2+AD=BD, 当C,B,D,三点共线时，D,B+BC最小，最小值为CD,的长 :AB=DD,=2,DE=6,CE=3,∴.D1E=4. :.BD=AD. AB⊥b,DE∥AB,CE∥h, BD=GM+2MD.2AD=AF+2MD. DE⊥CE..∠E=90. 12 领跑-数学 在Rt△CD,E中，根据勾股定理，得 CD1=√CE+D1E=√3+F=5. .MN-EN-5-5. DA+AB+BC的最小值为5+2=7. ∴.C'M=C'N+MN=5+33. ,BC+AM=AC+AM≥CM, ∴.BC+AM的最小值为5+35. (1题图) 2.解：如图，在DA上取一点D1·使DD,=CB,连接BD1 OD,OD,交⊙O于点B1,D1O的延长线交⊙O于点B. .CB∥DD1,DD1=CB=1. 四边形CBD,D是平行四边形.DC=BD, (3题图) :AD=7,∴AD1=AD-DD1=6 4.解：如图，作点A关于直线1的对称点D,过点A作AC⊥BW 厚86伞a有之目 于点C,过点D作DE⊥BN交BN的延长线于点E,连接 ZPD.BD,MD.Z星 5学Z4 ∴.根据勾股定理，得OD,=√OA+AD=√3+6=35. ∴.∠ACB=∠ACE=∠E=90°，PA=PD,∴.AC∥DE. 又AM⊥1.BN⊥， B,D1=35-3.B:D1=35+3 .∠AMN=∠DMN=∠MNC=90.AM∥BN. ,.DC的最小值为35-3，最大值为35+3 .∠ADE=90 ∴.四边形AMNC和四边形ADEC均为矩形. .AM=CN=1.AC=DE.AD=CE. ,BC=BN-CN=4-1=3. 在R△ACB中，根据勾股定理，得AC=√AB一= 学之目 学与-3=4.∴DE= ,AM=DM.∴.CE=AD=2 学日之星 .BE=BC+CE=5. (2题图) 在R△BDE中，根据勾股定理，得 3.解：如图，过点A作AC‘∥BC,且A'C=BC,连接C'C.过点 C'作C'V⊥c于点V. BD=√DE+BE=+=√T. PA+PB=PD+PB≥BD ∴.BC+AM=AC'+AM,四边形CABC为平行四边形 当C',A,M三点共线且垂直EF时，过点C作CH⊥CV于 .PA十PB的最小值为√41 点H,设CM交VE于点N..CHe. CC'∥AB..∠C'CH=∠ABG. 过点B作BI⊥b于点I. 学根据题意，得B1=2,∠BA1-5,之星 学2星 学可之星目 ∴.CC'=AB=22. b∥e,.∠C'CH=∠ABG=∠BAI=45 D ..E ∴.△C'HC为等腰直角三角形. ..C'H-CH-2. (4题图) ∠CHV=∠HVG=∠CGV=90, 5,解：如图，分别取AB,CD的中点H,K,连接HN,HK,CF,CV .四边形HVGC是矩形. N是AM的中点，∴.HN是△ABM的中位线： .HV=CG=4.VG=CH=2. .HN∥BM. ∴.C'V=4+2=6,EV=EG+VG=8+2=10. :四边形ABCD是矩形，.ABCD,AB=CD,∠B=90 '∠C'VN=∠NME=90°，∠C'NV=∠ENM ..HB=CK.HB//CK. ∴.∠VC'N=∠MEN=30. .四边形HBCK是矩形 :在R△C'N中，am∠VCN- ∴HK∥BC.H.N.K三点共线 CV :∠HKC=90'=∠HKD,DK=CK,∴.DN=CN. N=CV×1an30=6× 3-2 'CN-FN≤CF, ∴.当DN-FN=CN-FN=CF时，DN-FN有最大值. ∴.C'N=45,EN=EV-VN=10-25. AD=2AB=6.BC=2CG.AD=BC. 领跑-数学13 学可之星 .CD=AB=3.CG=3 (2)√29 CD=3CE...CE=1. 详解 :四边形CEFG是矩形，∴EF=CG=3,∠FEC=90 如图2，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE,过点 在R1△CEF中，根据勾股定理，得 E作EH⊥CA交CA的延长线于点H,连接FP,EC. CF=√CE+EF=√+3=√10. .AF=AP,PB=FE,∠FAP=∠EAB=90°. .DN-FN的最大值为√/O .△AFP是等腰直角三角形 ∴.FP=2PA. :∠BAC=45°，∠EAH=180°-45°-90°=45. 又∠H=90°，.∠EAH=∠AEH=45 :AE=AB=22,∴EH=AH=2. :.HC=AH+CA=2+3=5. 在Rt△EHC中，根据勾股定理，得 (5题图) CE=√EH+HC=√/2+5=29 6.解：如图.作点A关于射线PM的对称点A'.作点B关于射 线PN的对称点B,连接A'C,AB',BD,PA',PB ②PA+PB+PC=FP+FE+PC≥CE 厚22公驾即-” ·2PA+PB+PC的最小值为2四 学月2 AB=4,P为AB的中点，AP=AP=BP=B'P=2 ∠MPN=120°， ∴.∠APC+∠BPD=6O°，即∠APC+∠B'PD=60° ∴∠A'PB=60°.∴△A'PB是等边三角形 ∴A'B'=A'P=2. (7题图2) AC-3.BD-AC=3.8D- 8.解：如图，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE,连接 :CD<AC+Ag+BD-昌CD的最大值为号 FP,ED,FD,过点E作EH⊥BC于点H,EH交AD于点G. ∴，AP=AF,PD=EF,∠PAF=60°，AE=AD,∠EAD=60°. .△AFP和△EAD均是等边三角形. .∠AED=60°，PA=FP 四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC. EG LAD.AG=AD=1. (6题图) 在R:△EAG中，根据勾股定理，得 7.解：(1)5 EG=√AE-AG=/2-1下=√. 详解 ,AD∥BC,AB⊥BC,EH⊥BC, 如图1.将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE,连接 (8题图) .AB=GH=2. PF.BE. ,△4PC≌△AFE.∠CAE∠PAF=60 学目 .EH=EG+GH=3十2，曰 PA+PD+PQ-FP +EF +PQ>EH. 学2星星 .AC=AE=3.AP=AF,CP=EF. ∴.△AFP是等边三角形..PA-PF ∴.PA+PD+PQ的最小值为+2. ∠BAC=30,∴.∠EAB=∠B.AC+∠CAE=30+60°=90 热身5一边一角构全等 在Rt△EAB中，根据勾殷定理，得 1.证明：如图，在AC上截取AE=DC,连接BE BE=√AE+AB=V3+4=5. :∠A=∠CDF,AB=DF,AE=DC, PA+PB+PC-PF+PB+EF>BE, ∴.△BAE2△FDC. .PA+PB+PC的最小值为5 ,∠BEA=∠FCD.BE=FC, ,∠BEC=∠BCE, .BE=BC...BC=FC. (7题图1) (1题图) 14 领跑-数学