第二部分 专题2 热身3 线段和差问题的方法技巧-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

之冒 热身3 线段和差问题的方法技巧 名师点拨 辅助线 方法技巧 何时用 解题思路 ①在最长线段AB上截取线段AG等于 FF(或CD) ②在最长线段AB上截取线段BG等于 ①证明线段BG等于 CD(或EF) 遇证明EF+CD-AB 线段CD(或EF) 截长 问题 ②证明线段AG等于 将不共线的 线段EF(或CD) 线段转移到 三之目) 之冒 同一条直线 上,从而转 化成证明几 ①延长线段EF(或FE),在延长线上 条线段的数 截取线段FG(或EH)等于CD ②延长线段CD(或DC).在延长线上 量关系 ①证明EG一AB(或 遇证明EF+CD-AB 截取线段DG(或CH)等于EF FH=AB) 补短 问题 D ②证明CG-AB(或 B DH-AB) 类型1 截长 1.如图,在等腰Rt△ABC中,AB=AC, BAC-90{*},点D在AC边上,以点B为直角顶点,BD为 腰作等腰Rt△BDE,过点D作DF 1BD交BC于点F,过点E作EP |BE交BA的延长线于点 P,连接PF.求证:PF+DF-PE. 四之星 (1题图) 30领跑-数学 2./星·改编/ 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为边作等边△ABD,连接CD,过点A作 AEIBC于点E,AE的延长线交CD于点F.探究EF,AF,DF之间的数量关系,并证明 (2题图) 3./星·改编/ 变式题一变证明三条线段数量关系为题中隐含三条线段数量关系 如图,在等腰Rt△ABC中, BAC=90*},AB=AC-2 ②,过点C作CD BC于点C,且 CD=1:以DA为边,作 ADE 乙ADC,DE交BC于点E,求BE的长 乙司 司 ③题图) 类型2补短 4./星·改编/如图,在梯形ABCD中.AB/CD. C=90*.延长CB至点E,使CE=AB,连接AE, DE,且 AED一45*,求证:AF=EB十CD 词之司 回乙冒 { 2 (4题图) 领跑-数学31 冒 5.如图1:点E在正方形ABCD的边AB 上,EE |EC,且EF=EC,连接AF (1)EAF的度数为 _; (2)如图2,连接FC交BD于点M,交AD于点N.求证:/2AD=AF十2MD (5题图1) (5题图2) 之冒 之星之量 司 6./星·改编/数学课上,老师出示了这样一个问题 如图1.在等腰Rt△ABC中, BAC=90{*},AB=AC,AD=AE.求证: ABE= ACD. 在此问题的基础上,老师补充:如图2,过点A作AFIBE于点G,交BC于点F,过点F作 FP1CD于点H,交BE于点P,试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系,并说明理由 小白通过研究发现, AFB与 HFC之间有某种数量关系; 小明通过研究发现,将三条线段中的两条放到同一条直线上,即截长补短,再通过进一步推理,可 以得出结论. 阅读上面材料,解答下列问题 (1)求证:ABE三乙ACD: (2)猜想之AFB与 HFC之间的数量关系,并证明; (3)探究线段BP,FP,AF之间的数量关系,并证明 # 之司 短乙写 (6题图1) (6题图2) 32领跑-数学.ABF-ACF. .△ABD为等边三角形..AB=AD。 BAD-60* '.AD-AC..乙ADF-乙ACG 又DF-CG...△ADF△ACG...AF-AG. *.FD-FB-2. ·ABF= ACF. ADF= ACF.$ ABF= ADF$ .:CD :ABF+ BAD- ADF+ BFD. . /BFD-/BAD-60*. ·DH1BC... DHF- DHC-90” '. BFE+CFE=2CFE=120”.CFE-60” 在Rt△DFH和Rt△DCH中,根据勾股定理,DH{-DF- '.△AFG为等边三角形...AF-FG. FH*.DH*-DC*-HC*. .' CEF-90”.'FCF-90*-60*-30 .4-FH-9-(4-FH)..FH- 11 #1-()-3、 .BH-2+ .DH- 1127 88 :CE 1BC.. BCE-90' BHD- BCE. .DH/CE..'.△BDHCo△BEC 之星 3v15 27 8 (2题图) 8 6 3.解:如图,在DE上取一点F,使DF-DC,连接AF,BF. :DF-DC. ADE- ADC,DA-DA. .FC2v15 .△ADFS△ADC. 3 . AFD-乙ACD,AF-AC “AB=AC.'AF-AB. '.AFB- ABF. .DC1BC..'DCE-90 BAC-90”,AB-AC-22. (8题图) (③题图) .ABC= ACB-45*,BC-4. 热身3 线段和差问题的方法技巧 '. ACD-90*+45=135*= AFD 1.证明:如图,在EP上截取EH一DF,连接BH. . AFE-180*-135*-45*' AFE- AB$C ·△BDE为等腰直角三角形... EBD-90*,EB=DB '. AFB-乙AFE= ABF-乙ABC,即 EFB= EBF$ ·DF 1 BD,EP 1BE.$ HEB- FDB-90. $$EF-BE.设BE-EF-,则CE-4-x,DE=x+1. 又EB-DB.EH-DF...△BEH△BDF. 在Rt△DCE中,根据勾股定理,DC+CE-DE。 'BH-BF, HBE- FBD ·1+(4-x)*-(x十1).解得x= ..BE= 2n。 : EBD- HBE+ HBD-90{. . FBD+ HBD= FBH=9 0$$ 4.证明:如图,在BC上取一点G.使BG-CD,连接AG交BD .AB-AC.BAC-90'.乙ABC-45 于点H. ,星 .HBP= ABC-45 *AB/CD.C-90..C+ABG-180 又BP-BP,BH-BF..'HBP△FBP$ '. ABG- C= FBE-90{。 '.PH-PF...PF+DF-PH+HE-PE. 又AB=EC.BG-CD...△ABG△ECD ._BAG= CED. 又 EFB= $AFH.. $ $FBF= $AHF= EHG=90$ ' AED=45 $ EAH= AED-45”$:'$AH=EH. 又 FAH= GEH, AHF= EHG. '.△AHFS△FHG..'AF-FG :EG=EB+BG=EB+CD..'.AF=EB+CD (1题图) 2.解:EF= 证明:如图,连接BF,在CF上取一点G,使CG-DF,连接AG. 'AB=AC,AE1BC.$BE=CE, ABE= ACE. ## '*FB=FC.. FBE= /FCE. BFE= /CFE (4题图) 领跑-数学 11 之冒) 一题多解 (AB-AC. 证明:如另解图,延长DC至点M.使MC一EB,连接EM. 6.解:(1)证明:在△ABE和△ACD中,乙A=乙A, ·AB/CD.ECD-90.ECD- ABE- ECM-90 AF-AD. 又AB-FC.FB-MC ..ABES△ACD(SAS)..ABE-ACD. .△ABF△ECM (2) AFB-乙HFC. ..AE-FM.EAB= MEC 证明:'AF 1BE,FP1CD.. BGF- CHF-90°. .EAB+ AED+ FEB-90. '. GBF+ AFB= HCF+ HFC-90{*。$ *. MEC + AED +FEB = .'AB-AC.:'乙ABC-ACB. MED+ AED-90”。 _.--M 由(1),知乙ABE-ACD .AED-45...AFD- MED-45 (另解图) '. GBF= HCF... AFB= HFC$ 又AF-ME.ED=ED...△AED2△MED (3)BP-AF+PF. '. ADE- MDE,AD-MD. 证明:如图:过点C作CMIAC交AF的延长线于点M,延长 :AB/CD... AFD= MDE FP交AC于点N. .ADE- AFD..AF-AD-MD. .ACM-90*. MD-MC+CD-EB+CD.$AF-EB+CD. 'BAC-90*,AB-AC..NCF-45° 之昂 .. MCF- NCF-45* 5.解:(1)135” (2)证明:如图,分别延长AF,CD交于点H .AF 1BE.' AGB-90” 由(1),知乙EAF-135* '. BAF+ ABG-90”. 又 BAF+ FAC-90*.乙FAC- ABG. .四边形ABCD是正方形 .. ABD-45*, BAD- ADC-90$. 又AB-CA. BAE= ACM...△ABE△CAM AB/CD. '.BE-AM.BEA- M '. ABD+ BAF-180*:AH/BD. 由(2),知NFC=乙AFB ·.四边形ABDH是平行四边形. :AFB= MFC.' MFC= NFC *.DH-AB-CD 又FC=FC.MCF= NCF...△MFC△NFC .AH/BD...△CDMCo△CHF. ..FM-FN. M- FNC '. FNC= BEA.:.PN-PE. (5题图) .BP-BE-PE. ' EAF-135*' HAD- EAF- BAD-45$。 '$BP=AM-PE-AF+FM-PE-AF+FN-PN= '. H= ADC- HAD-45* AF+FP. '.△HAD是等腰直角三角形...AH-②AD '.②AD-AF+FH-AF+2MD 二解 解:(1)135 '.乙AGB= FMG- CMD 由(1),知乙EAF-135”。 ·四边形ABCD是正方形. (6题图) '. ABD-45*,AB-CD-AD. ABG 热身4 线段最值问题的方法技巧 乙CDM-45 1.解:如图,在DE上取一点D,使DD。=AB,连接BD. . ABD+ BAF-180*..AF/BD CD. 又AG/FM.'.四边形AGMF是平行四边形. (另解图) 由题意,得AB/DE. .AF-GM. .四边形ABD.D是平行四边形. . AGB= CMD. ABG= CDM,AB=CD '.DA-D.B.'DA+BC-D.B+BC '.△ABG△CDM.',BG-DM 当C.B.D.三点共线时.D.B十BC最小,最小值为CD.的长 在Rt△ABD中,根据勾股定理,AB+AD-BD .AB-DD.-2.DE-6.CE-3...DE-4. .*.BD-②AD. .AB1b.DE/AB,CE/. ·BD-GM+2MD.'.2AD-AF+2MD 'DE1CE.'.F-90. 12 领跑-数学