第二部分 专题2 热身2 关于角平分线的方法技巧-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

学可之星 热身2关于角平分线的方法技巧 名师点拨 方法技巧 何时用 辅助线 解题思路 过该点作另一边的垂线，构造双垂直： 构造双垂直遇到角平分线上 运用角的平分线上的点到角的两 (核心：构翻 一点到角的一边 边的距离相等(PA=PB)求解 折全等) 的垂线的问题 延长该垂线段与角的另一条边相交，构造 遇到角的一条边 根据全等得出一个中点(PA= 构造单垂直 翻折全等： 上一点作角平分 学星 PB）和一个等腰三角形 (核心：构翻 线上的垂线的 (△AOB),继而利用相关角或 折全等)】 问题 线段的关系解决问题 在角的另一边上截取等长线段，构造翻折 遇到角平分线上 构造等长线段 全等： 点与角的一边 根据全等得出相关角或线段的 (核心：构翻 上的点连接线段 关系 折全等) 的问题 过该点作角的一边的平行线： 遇到角平分线上 得到等腰三角形（△POQ,简 构造平行线 一点的问题 记：“平分+平行=等腰” 类型1构造双垂直 1,如图，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，CA平分∠BCD,过点A作AE士BD,垂 足为E,猜想线段AC与AE之间的数量关系，并证明你的结论， (1题图) 26领跑-数学】 2.1星·原创11新考向·综合与实践/ 【问题情境】数学活动课上，李老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,BD= CD.求证：AB=AC 同学们纷纷表达了自己的想法： 小琦：题中给出的条件不能直接证明两个三角形全等； 小锦：已知AD平分∠BAC,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，分别作点D到AB, AC的垂线，可以得到线段相等，从而证明三角形全等. 【独立思考】(1)请根据两位同学的思路解容李老师提出的问题： 【实践探究】(2)在原有问题条件不变的情况下，李老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解 答：如图2，过点C作直线I∥AB,作∠ADE=∠BAC,DE交直线L于点E,则AD与ED之间的 数量关系为 星 百之星 之星 学百之星 【问题解决】(3)数学活动小组的同学对上述问题进行研究，改变条件后提出新问题，请你解答：如 图3，在(2)的条件下，若D为BC边上任意一点，探究AD与ED之间的数量关系. 学月之星 学 (2题图1) (2题图2) (2题图3) 类型2构造单垂直 3卖图，在ACD中.近A.AC=2AB点E在我段AD上C平分乙E.未能的值2 (3题图) 领跑-数学27 学可之星 4.星改编/3题变式一变已知垂直条件为构造垂线如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平 分∠ABC,交AC于点D,点E在BD上，且∠CED=30°，在图中找出与CE相等的线段，并 证明。 (4题图) 类型3构造等长线段乙昌 学可2星 学可2星 学可2星 5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD平分∠ABC交AC于点D,延长BD至点E, 使DE=DA,连接CE,求证：BE=CE十AB (5题图) 6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在边AC上，∠ABE=∠C,AD,BE相交于点 F,FG∥AC交BC于点G. (1)求证：BD=BF: 学(2)在图中找一条与CD相等的线段，并证明你的结论 学月之星 学可之星 (6题图) 28领跑-数学 类型4构造平行线 7.如图，在等腰△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在AC的延长线上，且 AD=DE,若AB=6,CE=2,求CD的长. (7题图) 学可2星 学可之星 单可2星 学可之星 学可2星 8./星·原创17题变式一变作平行构造全等为作平行构造相似如图，在△ABC中，AB=3,BC=6,BD 平分∠ABC交AC于点D,过点C作CE⊥BC交BD的延长线于点E,若AD=2,求EBC的长. (8题图) 学可2星 学可之星 学可2星 学可之星 学可之星星 领跑-数学29.DF-$ 'FH-DF-DH=8-5 -3. '. G$AH+ DAH=45$ BAF= GAH$ 在R△EFH中,根据勾股定理,得 又 F= AHG-9 0*,AF-AH,$$$$ EH=EF-FH$= 5-3-4 '.△AFBS2△AHG...AB=AG. 在Rt△EDH中,根据勾股定理,得 又 BAD= GAD=45$.AD=AD DE=EH+DH$= +5$=4$$ '.△ABD△AGD.' ADB- ADG. :AELBD,AHLCD..'AE-AH. *AC-2DE-24T 在Rt△ACH中..CAH-45*. 'AC-v②AH..AC-2AE. (14题图) 15.证明:如图:取AB的中点N:连接PM:PN 目 -AP1BD...乙BPA-乙DPA-90{。 (题图) 之司 .M为AD的中点,N为AB的中点: 2.解:(1)证明:如图1.过点D作DF1AB于点F.DG1AC于 .PM-AD-AM,PN-AB-AN. 点G. . DFB- DGC-90”. '. APM- PAM,乙APN- PAN .AD平分 BAC...DF-DG. .四边形ABCD是矩形. 又BD-CD...Rt△DFB2Rt△DGC ' BAD=PAN+PAM-90” .B- C'AB-AC. '.APN+ APM- MPN-90” (2)AD-ED ' EPF-90*..乙NPE- MPF. ·乙EAF+ EPF-180”..乙AEP+MFP-180 (3)如图2.过点D作DP1AC于点P.DQI7于点Q .乙DQE-乙DPA-90”. 又 AEP+/NEP-180* 由(1).得AB-AC. B- ACB. '.NEP-MFP...△PNEOO△PMF “:AB/.B- BCQ.:. ACB- BCQ .DP-DQ ___ .AB/..'ACE- BAC : ADE= BAC... ACE= ADE. . ACE+ DEO- ADE+DAP. .DAP- DEQ. D 又 DPA- DQE.DP-DQ. '△DPA△DQE.'.AD-ED. 星 司 (15题图) 热身2 关于角平分线的方法技巧 1.解:AC-②AE. 证明:如图:过点A作AF 1.BC交CB的延长线于点F AH1CD交CD的延长线于点H,过点A作AG1AB交 (2题图1) (2题图2) CH的延长线干点G 3.解:如图,延长BA,CE交于点P 'F- AHC= AHG-90* ·四边形ABCD是平行四边形. 又乙BCD-90*,..四边形AFCH是矩形. '.AB=DC.AB/DC.AD/BC ":CA平分乙BCD...AF-AH. :AC1AB...CAB- CAP-90”. :.四边形AFCH是正方形,:./CAF三CAH三45*。 .CA平分BCE...PCA-乙BCA. :BAD-45*.. BAF+ DAH-45* 又AC=AC..'.△PAC△BAC .AG 1AB..'. BAG-90" '. GAD-90{*-乙BAD-45* 领跑-数学9 2冒” :AD/BC...△PAE△PBC. .BC-CF+BF...BE=CE+AB. 2. ·在RtABC中.AC=2AB。..设AB=:则AC=2 根据勾股定理,得BC-AB+AC- a+(2)-5a 5 (5题图) .AE 2 6.解;(1)证明:.AD是BAC的平分线. .DAC- DAB. . ABE= C. BFD= DAB+ ABE, BDF=$$ DAC+C. ..BFD= BDF.'BD=BF (2)BG-CD. (3题图) 证明:如图,在AC上载取AK一AB:连接FK。 .AD是BAC的平分线..DAC=DAB 4.解.CE-BD 又AF-AF...△AFB△AFK 之星 证明,如图,过点C作CF上BD交BD的延长线于点F,交 . ABF- AKF,BF-KF. BA的延长线干点G :乙ABE- C...乙AKF- C.:.FK//CG. . BFG- BFC-90{ 又FG/AC...四边形FKCG是平行四边形...CG-KF. ·BD平分 ABC..GBF=CBF. “ BF-BD..'$BD-CG 又BF=BF..'.△BFG2△BFC '$BD+DG-CG+DG,即BG-CD. .GF-CF- 1CG. :BAD BFC-90 ADB- FDC. ABD= ACG ·△ABC是等腰直角三角形,乙BAC-90”...AB-AC 又BAD-/CAG...△ABD%△ACG (6题图) 7.解:如图:过点D作DF/AB交AC于点F :在Rt△EFC中,乙CED=30”...CF= .CFD= CAB, CDF= B. .AC-BC.. B- CAB. .CE-BD. '. CDF= CFD= B..CD=CF. AD平分BAC.:CAD-BAD :AD-DF:CAD- E'BAD= E. 又 B= EFD,AD=ED. '△ABD△EFD...AB=EF. .AB-6..EF6. 之冒 (4题图) .'CF-2..,CD-CF-FF-CE-6-2-4. 5.证明:如图,在BC上取一点F.使BF-BA,连接DF .BD平分乙ABC.乙ABC-40* . ABD- FBD-20 又BD=BD,BA=BF...△BAD2△BFD. $DA=DF, ADB- FDB, A- BFD=100"$$$$ :DE-DA...DF-DE (7题图) · A-100”.ADB-180*-100*-20-60。 8.解:如图,过点D作DF/AB交BC于点F,过点D作DH上 *. CDE= FDB=60*. CDF=60= CDE BC于点H. 又DC-DC.DF-DE..'.△DFC△DEC .ABD- FDB '$CF=CE, DCF= DCE=100*-60*-40 .BD平分乙ABC...乙ABD=乙FBD 'ECB-80*. . FBD- FDB...FD-FB. ' FBD-20 .E-180-20*-80*=80 设FD-FB-r. '. E- ECB..BC=BE. ·DF//AB...△CDF△CAB. 10 领跑-数学 .ABF-ACF. .△ABD为等边三角形..AB=AD。 BAD-60* '.AD-AC..乙ADF-乙ACG 又DF-CG...△ADF△ACG...AF-AG. *.FD-FB-2. ·ABF= ACF. ADF= ACF.$ ABF= ADF$ .:CD :ABF+ BAD- ADF+ BFD. . /BFD-/BAD-60*. ·DH1BC... DHF- DHC-90” '. BFE+CFE=2CFE=120”.CFE-60” 在Rt△DFH和Rt△DCH中,根据勾股定理,DH{-DF- '.△AFG为等边三角形...AF-FG. FH*.DH*-DC*-HC*. .' CEF-90”.'FCF-90*-60*-30 .4-FH-9-(4-FH)..FH- 11 #1-()-3、 .BH-2+ .DH- 1127 88 :CE 1BC.. BCE-90' BHD- BCE. .DH/CE..'.△BDHCo△BEC 之星 3v15 27 8 (2题图) 8 6 3.解:如图,在DE上取一点F,使DF-DC,连接AF,BF. :DF-DC. ADE- ADC,DA-DA. .FC2v15 .△ADFS△ADC. 3 . AFD-乙ACD,AF-AC “AB=AC.'AF-AB. '.AFB- ABF. .DC1BC..'DCE-90 BAC-90”,AB-AC-22. (8题图) (③题图) .ABC= ACB-45*,BC-4. 热身3 线段和差问题的方法技巧 '. ACD-90*+45=135*= AFD 1.证明:如图,在EP上截取EH一DF,连接BH. . AFE-180*-135*-45*' AFE- AB$C ·△BDE为等腰直角三角形... EBD-90*,EB=DB '. AFB-乙AFE= ABF-乙ABC,即 EFB= EBF$ ·DF 1 BD,EP 1BE.$ HEB- FDB-90. $$EF-BE.设BE-EF-,则CE-4-x,DE=x+1. 又EB-DB.EH-DF...△BEH△BDF. 在Rt△DCE中,根据勾股定理,DC+CE-DE。 'BH-BF, HBE- FBD ·1+(4-x)*-(x十1).解得x= ..BE= 2n。 : EBD- HBE+ HBD-90{. . FBD+ HBD= FBH=9 0$$ 4.证明:如图,在BC上取一点G.使BG-CD,连接AG交BD .AB-AC.BAC-90'.乙ABC-45 于点H. ,星 .HBP= ABC-45 *AB/CD.C-90..C+ABG-180 又BP-BP,BH-BF..'HBP△FBP$ '. ABG- C= FBE-90{。 '.PH-PF...PF+DF-PH+HE-PE. 又AB=EC.BG-CD...△ABG△ECD ._BAG= CED. 又 EFB= $AFH.. $ $FBF= $AHF= EHG=90$ ' AED=45 $ EAH= AED-45”$:'$AH=EH. 又 FAH= GEH, AHF= EHG. '.△AHFS△FHG..'AF-FG :EG=EB+BG=EB+CD..'.AF=EB+CD (1题图) 2.解:EF= 证明:如图,连接BF,在CF上取一点G,使CG-DF,连接AG. 'AB=AC,AE1BC.$BE=CE, ABE= ACE. ## '*FB=FC.. FBE= /FCE. BFE= /CFE (4题图) 领跑-数学 11