江苏省南京市江宁高级中学2023-2024学年高一下学期第二次调研测试数学试题

2023-2024学年第二学期第二次调研测试 高一数学 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,每小题给出的四个选 项中,只有一项符合题目要求 1. 已知复数2·(1+)-2-2()&数单),则斗-( ) A.2 B.3 .C.4 D.5 -.则6-( A. 2 B.3 C.25 D. 2V6 3. 已知m,n为两条不同的直线,&,B为两个不同的平面,则下列结论正确的是( _ A. 若a//B,m//a,则m//{ B. 若m1a,m//n,a//B,则n1.B C. 若mca,nca,m//B,n//p,则a/l _ D. 若mln.mca,ncB,则g1.B ) .- C.7.# 5 已知M是边长为1的正AABC的边AC上靠近C的四等分点;N为AB的中点,则 BM·MN的值是( ) A C.-2 D.- 6.若22sin170'+3tan10-1,则实数a的值为t B.2 C.3 D.4 7. 在校长均相等的三校柱ABC一A.B.C.中,校AA1平面.tBC,已知M是校BB的中 点,N是校AC的中点,则异面直线A.M与BN所成角的正切值为( ) 1 # B.# 过 D# A.1 8. 在AABC中,a.b.c分别是角A.B.C所对的边,乙BAC的平分线交BC于点E; AE=2,(b+c-a)sinB=asinA-bsinA-csinC,则b*+c}的最小值是( - B.32 C.64 A.16 D.128 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项 中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 得0分. 9. 在A4BC中,角A、B.C所对的边分别为a.h.c.且a:b:c=2:3:4,则下列绮叱 正确的是() A. sinA:sin B:sinC-2:3:4 B. AABC是钝角三角形 D. 若c=8,则边AB上的中线长为10 10. 已知向量ā=(1,V2).6-(cos$.sin)(0sBs2π),则下列结论E确的有( A A. 若15.则cos-- B. 存在B,使得+引=同- C. 的最大值为3 D. 若石在ā上的投影向量的模长为,则ā与的夹角为{ 11. 校长为2的正方体ABCD-4.B.C.D中,点E,F,G分别是校AL,4.B; CC.的中点,则下列说法正确的有( _ A. CD 1平面AB.D B. AC与平面4.B.CD所成的角为60· C. 平面EFG截正方体ABCD-A.B.C.D.的截面形状是五边形 2 2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把答案直接填写在答题卡 相应位置上. 12. 知]-=1.且a1(á-2).则ā-3孔-__. 13. 已知虚数z满足:2+-为实数,则2-2=__. 14.ae(o-)(0.-). 且(1+cos2a)(1+sin/g)=sin2acos3.则2tang-tanB的 为__. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步. 15.(本小题满分13分) 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,1),B(-2.2),C(-1,4). (1)以线段AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,求向量AD的坐标和AD (2)设实数1满足(AB一1OC)//BC,求1的值 16.(本小题满分15分) (1) A4BC的面积为15,求AABC的周长 17.(本小题满分15分) 己知四校锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB//DC,AB1AD. DC=2AB=2,AD=3,PB=PC,M.N分别是 PD,BC的中点. 求证:(1)AM/平面PBC; (2) MN1BC. 3 18.(本小题满分17分) 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著,该书以基本定义、公设和 公理作为推理的出发点,第一次实现了几何学的系绕化、条理化,成为用公理化方法建立数 学演绎体系的最早典范.书中第1卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯(勾股定理),证明过 程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形(如图1).某校数学兴趣小组对 上述图形结构作拓广探究,提出了如下问题,请帮忙解答. 问题:如图2,已知AABC满足AC=22·AB=2.设乙BAC=θ(0<θ<x).四边形 ABGF、四边形ACED、四边形BCOP都是正方形. 圈1 图2 (1)当-时,求EO的长度: 2 (2)求AO长度的最大值 _- 19.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=asinx+bcosx,称向量p=(a.b)为f(x)的特征向量,f(x)是p的 特征函数. ,_ (2)设向量=(\5.1)的特征函数为/(x),求当/(x)-且xie(-一)时,sinx的值: 上至少有40个零点,求b-a的最小值 4