8.1成对数据的统计相关性同步练习 (1)-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.1 成对数据的统计相关性 一、单选题 1．对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53 2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．开始吸烟年龄与得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，；每天吸烟的支数与其得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，．用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在一元线性回归模型中，设变量和变量的样本相关系数为，决定系数为，变量和变量的样本相关系数为，决定系数为，且，，则（    ） A．和之间呈正线性相关关系，且 B．和之间呈负线性相关关系，且 C．和之间呈负线性相关关系，且 D．和之间呈正线性相关关系，且 5．为弄清两随机变量、之间的关系，某人经过调研得到一组数据，并计算出、之间的相关系数为， 则随机变量、存在（    ） A．相互独立 B．基本不相关 C．高度正相关 D．高度负相关 6．色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（    ） A．0.6 B．0.4 C． D． 7．在建立两个变量y与x的回归模型中，选择了4个不同的模型，模型1的相关系数为，模型2的相关系数为，模型3的相关系数为，模型4的相关系数为，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 8．中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间和茶水温度的一组数据，经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是．则拟合效果最好的模型是（    ） A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④ 9．对于样本相关系数，下列说法错误的是（　　） A．可以用来判断成对样本数据相关的正负性 B．可以是正的，也可以是负的 C．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越高 D．取值范围是 二、填空题 10．若一组观测值之间满足，且恒为0，则为 ;（参考公式:） 11．相关关系与函数关系的异同 （1）相同点：两者均是指两个变量之间的关系； （2）不同点：①函数关系是一种 的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种不确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；事实上，函数是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系； ②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 12．在散点图中，若所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关系数 ． 三、解答题 13．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某省为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得：，，，，． (1)求这20个县年垃圾产生总量的平均值； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合．（当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱．） 参考公式：相关系数． 14．某省为了坚决打赢脱贫攻坚战，在100个贫困村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第i个贫困村中贫困户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，． (1)试估计该省贫困村的贫困户年平均收入； (2)根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数（精确到0.01）； (3)根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 参考公式： 15．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： （年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 （脂肪 含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 根据上表的数据得到下图的散点图． 根据上表中的样本数据及其散点图，计算样本相关系数（精确到0.01），并描述它们的相关程度． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：相关系数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据相关系数与拟合效果的关系即可求解. 【详解】相关系数越大，拟合效果越好. 故选：A. 2．A 【分析】根据散点图中点的分布的特征，结合线性相关定义可得答案. 【详解】由给出的散点图可以看出，题图①和题图③是正相关，相关系数大于0， 题图②和题图④是负相关，相关系数小于0． 题图①和题图②的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选：A． 3．D 【分析】借助线性相关系数的定义判断即可得. 【详解】由与相对应的数据可得，随的增大而减小，呈负相关，故， 由与相对应的数据可得，随的增大而增大，呈正相关，故， 故. 故选：D. 4．A 【分析】根据相关系数的正负判断正负相关关系，根据相关系数绝对值的大小判断决定系数的大小. 【详解】因为，，故和之间呈正线性相关关系，和之间呈负线性相关关系， 故BD错误， 而，故，故A正确，C错误， 故选：A. 5．D 【分析】根据相关系数的概念判断即可. 【详解】因为、之间的相关系数为，且非常接近， 所以随机变量、高度负相关. 故选：D 6．A 【分析】将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】当时，， 所以该数据的残差为． 故选：A． 7．B 【分析】利用相关系数的绝对值越接近于1，拟合效果越好判断即得. 【详解】4个不同的模型相关系数的绝对值由小到大依次为：， 而相关系数的绝对值越接近于1，拟合效果越好， 所以拟合效果最好的模型是模型2. 故选：B 8．B 【分析】根据残差平方和与模型拟合效果的关系可得出结论. 【详解】对于回归模型，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好，故拟合效果最好的模型是模型②. 故选：B. 9．C 【分析】利用相关系数的概念，结合选项可以判断. 【详解】对于相关系数的定义： 当相关性越强，相关系数就越接近于； 当相关系数的绝对值越小，相关性越弱； 当系数为正数时，为正相关，系数为负数时，为负相关. 故选：C． 10．1 【分析】由恒为0，可得，再结合公式可求. 【详解】由恒为0，知恒成立，即恒成立，故. 故答案为：1 11．确定 【分析】（略） 【详解】（略） 12．1 【分析】根据相关系数的含义分析可得. 【详解】当散点图的所有点都在一条斜率为非0实数的直线上时，它的残差为0，残差的平方和为0，所以它的相关系数为，即． 故答案为：1． 13．(1) (2)理由见解析 【分析】（1）根据直接计算可得； （2）根据所给数据计算出相关系数，即可说明. 【详解】（1）依题意这个县年垃圾产生总量的平均值为（吨）. （2）依题意， 因为与的相关系数接近，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合． 14．(1)1万元； (2)； (3)采用分层抽样，理由见解析. 【分析】（1）根据平均数公式即得； （2）根据相关系数公式即得； （3）根据分层抽样的概念即得. 【详解】（1）该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为: （万元）; （2）样本的相关系数： ； （3）采用分层抽样， 理由如下：由（2）知，各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更准确的脱贫验收估计． 15．，人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 【分析】先求得样本相关系数，再去判断它们的相关程度． 【详解】根据题表中的样本数据知，， 则样本相关系数 ． 由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$