课时作业(54) 探索性问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(五十四)　探索性问题 [基础保分练] 1．(2023·山东日照期末联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(1，). (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为△BMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)设椭圆C的半焦距为c，由已知可得解得a2＝2，b2＝1，c＝1， 所以椭圆C：＋y2＝1. (2)由已知可得，B(0，1)，F(1，0)， ∴kBF＝－1，∵BF⊥l， 设直线l的方程为y＝x＋m， 代入椭圆方程整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， ∵BN⊥MF，∴·＝－1， 即y1y2＋x1x2－y1－x2＝0， 因为y1＝x1＋m，y2＝x2＋m， 所以(x1＋m)(x2＋m)＋x1x2－(x1＋m)－x2＝0， 即2x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＋m2－m＝0， 所以2×＋(m－1)＋m2－m＝0. 整理得3m2＋m－4＝0，m＝－或m＝1. 又m＝1时，直线l过B点，不符合要求，所以m＝－. 故存在直线l：y＝x－满足题设条件． 2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0，1)做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|＝3. (1)求椭圆E的方程； (2)当k变化时，在x轴上是否存在点M(m，0)，使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)由已知椭圆过点(，1)， 可得解得a2＝9，b2＝4， 所以椭圆的E方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点C(x0，y0)， 由得(4＋9k2)x2＋18kx－27＝0， 所以x0＝＝，y0＝kx0＋1＝. 当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程y＝－(x＋)＋， 将M(m，0)代入得m＝－， 若k＞0，则＋9k≥2＝12，所以－≤m<0； 若k＜0，则＋9k＝－≤－2＝－12，所以0<m≤； 若k＝0，则m＝0. 综上所述，存在点M满足条件，m的取值范围是. 3．(2023·江苏苏州模拟)已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线2x2－2y2＝1的焦点重合，点P(0，)在椭圆C上，动直线l：y＝kx＋m交椭圆C于不同两点A，B，且·＝0(O为坐标原点). (1)求椭圆C的方程； (2)讨论7m2－12k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)因为双曲线2x2－2y2＝1的焦点为(1，0)， 所以在椭圆C中c＝1， 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞0)， 由点P(0，)在椭圆C上得＝1， 解得a2＝4，即a＝2，则b＝＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)7m2－12k2为定值，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·＝0可知x1x2＋y1y2＝0， 联立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－12＝0， 由Δ＝64m2k2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0得，m2＜3＋4k2， x1＋x2＝－，x1x2＝， ∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝ (1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝ (1＋k2)·－km·＋m2＝0， 可化简得 (1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋3m2＋4m2k2＝7m2－12k2－12＝0， 所以7m2－12k2为定值． [技能提分练] 4．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2. (1)求实数m的值及抛物线C的标准方程； (2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由． 解：(1)由题意得，因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm， 由抛物线的定义，得m＋＝2， 则解得 所以抛物线C的标准方程为x2＝4y. (2)由(1)得M(2，1)，设点A，B， 则kMA＝，kMB＝，所以kMAkMB＝×＝－2， 得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；设直线AB方程为y＝kx＋b， 有⇒x2－4kx－4b＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0， 得b＝2k＋9，所以直线AB方程为y＝kx＋2k＋9， 即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2，9)， 又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2，9)， 当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，此时直线l到圆心(2，1)的距离d＝，解得k＝－＝，所以直线AB方程为y＝x＋10. 5．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明k1·k2＝1； (3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)解：设椭圆的半焦距为c，由题意知：＝， 2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2. 又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＋＝1. 由题意设等轴双曲线的标准方程为－＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为－＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝. 因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4. 因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1. (3)解：由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－8＝0， 显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝＝ ＝4. 同理可得|CD|＝4. 则＋＝， 又k1·k2＝1， 所以＋＝(＋)＝＝. 故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|. 因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立． [素养拉分练] 6．已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)过点M(4，4)，O为坐标原点． (1)求抛物线C1的方程； (2)直线l经过抛物线C1的焦点，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦AB的长等于6，求△OAB的面积； (3)抛物线C1上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线C1在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)抛物线C1：x2＝2py(p>0)过点M(4，4)，则p＝2，抛物线C1方程为x2＝4y. (2)设直线l的斜率为k，则l：y＝kx＋1， 由得x2－4kx－4＝0， ∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，所以Δ＝16k2＋16>0，① ∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)则可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 于是|AB|＝|x1－x2|＝ ＝ ＝4(k2＋1)＝6，② 由①②解得k＝±，直线l的方程为y＝±x＋1， 原点O到直线l距离d＝＝， △OAB的面积为S＝×6×＝. (3)已知O，M的坐标分别为(0，0)，(4，4)，抛物线C1方程x2＝4y， 假设抛物线C1上存在点N(t≠0且t≠4)， 使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线C1在点N处有相同的切线． 设经过O，M，N三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 整理得t3＋4(E＋4)t－16(E＋8)＝0，① ∵函数＝y的导数为y′＝， ∴抛物线C1在点N处的切线的斜率为， ∴经过O，M，N三点的圆C在点N处的切线斜率为， ∵t≠0，∴直线NC的斜率存在． ∵圆心的坐标为C，∴×＝－1， 即t3＋2(E＋4)t－4(E＋8)＝0，② ∵t≠0，由①②消去E，得t3－6t2＋32＝0， 即(t－4)2(t＋2)＝0.∵t≠4，∴t＝－2， 故满足题设的点N存在，其坐标为(－2，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$