课时作业(44) 圆的方程（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(四十四)　圆的方程 [基础保分练] 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 C　解析：将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2，3)，半径为4. 2．(2023·云南昆明模拟)若点A，B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1，1)，则直线AB的方程是(　　) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0 D　解析：因为直线OD的斜率kOD＝1，所以直线AB的斜率kAB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 3．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 A　解析：如图所示， 半径为1的圆经过点(3，4)，可得该圆的圆心轨迹为以(3，4)为圆心，1为半径的圆，连接OB，A在OB上且AB＝1，此时圆心到原点的距离最小，由OB＝5，得OA＝4，即圆心到原点的距离的最小值是4. 4．(多选)(2023·广东韶关模拟)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 ABD　解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M内． 5．(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为－ C．的最大值为 D．的最小值为－ CD　解析：由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1，0)为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点(x，y)与点(1，0)连线的斜率，所以设＝k，即kx－y－k＝0，当直线kx－y－k＝0与圆相切时，k取到最值．此时＝1，得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. 6．(2022·全国甲卷) 设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________． 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5　解析：∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴＝＝R， a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1， ∴M(1，－1)，R＝， ⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 7．(2023·湖南衡阳八中月考)已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________． 答案：(0，4)　解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|， 得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2. 半径r＝|CA|＝＝. 故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 由题意知(m－2)2＋()2<10，解得0<m<4. 8．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为________． 答案：4π　解析：以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则可取B(3，0). 设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π. 9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程． 解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r， 则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. ∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1. ∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1. (2)设P点的坐标为(x0，y0)， 则＝，即|x0－y0|＝1. ∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1. ①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1， 得(x0＋1)2－x＝1，∴∴r2＝3. ∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3； ②当y0＝x0－1时，由y－x＝1， 得(x0－1)2－x＝1，∴∴r2＝3. ∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3. 综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3. 10．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； (2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则＝2， 化简可得(x－5)2＋y2＝16，所以曲线C的方程为(x－5)2＋y2＝16. (2)由(1)知，曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示． 由题意知直线l2是此圆的切线， 连接CQ，则|QM|＝＝， 当QM最小时，CQ最小， 此时CQ⊥l1，|CQ|＝＝4， 则|QM|的最小值为＝4. [技能提分练] 11．(2023·重庆八中月考)点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2 C．y2＝2x D．y2＝－2x B　解析：∵|PA|＝1， ∴点P到圆心(1，0)的距离恒为， 设P(x，y)， ∴由两点间的距离公式，得(x－1)2＋y2＝2. 12．(多选)(2023·江苏盐城模拟)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3，0) C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π ABD　解析：圆心坐标为(k，k)，k∈R，在直线y＝x上，A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4， 化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确； 由(2－k)2＋(2－k)2＝4， 化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根， ∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确． 13．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝ C．(x－)2＋y2＝ D．(x＋)2＋y2＝ AB　解析：由已知可得圆心在y轴上，且被x轴所分得的劣弧所对圆心角为， 设圆心的坐标(0，a)，半径为r， 则r sin ＝1，r cos ＝|a|，解得r＝， 即r2＝，|a|＝，即a＝±， 故圆C的方程为x2＋(y±)2＝. 14．(2023·武汉模拟)已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________． 答案：　解析：求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径． 直线AB的方程为＋＝1， 即3x－4y－12＝0， 圆x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1， 圆心为(0，1)，半径为1， ∵圆心到直线AB的距离为 d＝＝， ∴P到直线AB的最小值为－1＝， ∵|AB|＝5， △ABP面积的最小值为×5×＝. 15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)， 则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8. 因为直线y＝x与圆C相切于原点O， 所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x， 于是有解得或 由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0， 所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假设存在点Q符合要求， 设Q(x，y)，则有 解得x＝或x＝0(舍去). 所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长． [素养拉分练] 16．已知圆C：(x－2)2＋y2＝1及点A(0，2)，点P，Q分别是直线x＋y＝0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为__________． 答案： 3　解析：作出点A关于直线x＋y＝0的对称点A′，如图， 设点A′(x0，y0)， 则有 解得 即A′(－2，0)，而C(2，0)， 由圆的性质知，圆外点P与圆C上点Q距离|PQ|满足|PQ|≥|PC|－1(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取等号)，连接A′C交直线x＋y＝0于点O，P为直线x＋y＝0上任意一点， 连接PA，PA′，PC(线段PC交圆C于点Q)， 则(|PA|＋|PQ|)min＝|PA|＋|PC|－1＝|PA′|＋|PC|－1≥|A′C|－1＝3，当且仅当点P在线段A′C上，即与点O重合时取等号，所以|PA|＋|PQ|的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$