课时作业(38) 直线、平面平行的判定与性质（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(三十八)　直线、平面平行的判定与性质 [基础保分练] 1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面 D　解析：充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立． 2．(2022·四川南充二模)过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，若所得交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(　　) A．平行或交于同一点 B．相交于同一点 C．相交但交于不同的点 D．平行 A　解析：当直线l与平面α平行时，可得l∥a，l∥b，l∥c，…，则a∥b∥c∥…；当直线l与平面α相交时，设l∩α＝O，则直线a，b，c，…都是过O点的直线．所以这些交线的位置关系为都平行或相交于同一点． 3．(多选)(2023·山东滕州模拟)已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线．给出下列命题，其中正确的命题是(　　 ) A．若m上两点到α的距离相等，则m∥α B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β C．若α∥β，m⊄β，且m∥α，则m∥β D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n BC　解析：对于A，若直线m在平面α内，m上有两点到α的距离相等且为0，此时m不与α平行，所以A错误； 对于B，因为m∥β，所以存在直线l⊂β使得m∥l，因为m⊥α，所以l⊥α，又l⊂β，所以β⊥α，所以B正确； 对于C，m∥α，故存在l⊂α使得m∥l，因为α∥β，所以l∥β，因为m∥l，m⊄β，所以m∥β，所以C正确； 对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误． 4.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点，又M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，故OM∥PD.又OM⊄平面PCD，OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为点M在PB上，所以OM与平面PBA、平面PBC相交，所以④⑤错误．故正确的结论为①②③，共有3个． 5．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是(　　 ) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值 AD　解析：根据棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的特征，结合题中图形易知A正确； 由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误； 因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误； 当容器倾斜如题图③所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH­BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确． 6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________；直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________． 答案：相交　平行　解析：在平面AA1D1D中，四边形AA1MD是梯形，且AA1，MD是两腰，则直线MD与直线AA1相交，所以直线MD与平面A1ACC1相交；在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，MD⊂平面AA1D1D，所以MD∥平面BCC1B1. 7．已知①②两个命题，①⇒l∥α；②⇒l∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为__________． 答案：l⊄α　解析：①由线面平行的判定定理知l⊄α；②由线面平行的判定定理知l⊄α. 8．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，а分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，求S△A′B′C′∶S△ABC的比值． 答案：4∶25　解析：∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2.又PA∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25. 9.如图，在四面体A­BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD. 证明：如图所示，取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OP，OF，FQ. ∵AQ＝3QC，∴＝＝3， ∴QF∥AD，且QF＝AD. ∵O，P分别为BD，BM的中点， ∴OP∥AD，且OP＝DM. ∵M为AD的中点，∴OP＝AD， ∴OP∥QF且OP＝QF，四边形OPQF是平行四边形， ∴PQ∥OF. ∵PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD. [技能提分练] 10．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是(　　) A． B． C．1 D．2 A　解析：如图所示，E，F，G，M分别是AA1，A1D1，B1C1，BB1的中点， 则EF∥AD1，EM∥AB，所以EF∥平面ABD1，EM∥平面ABD1，且EF∩EM＝E，所以平面ABD1∥平面EFGM，故点P的轨迹为矩形EFGM. 因为MB1＝B1G＝，所以MG＝， 所以S钜形EFGM＝1×＝. 11.(多选)(2023·广东佛山模拟)《九章算术·商功》记载了一个古代数学名词“堑堵”．即两底面为直角三角形的直棱柱，亦即长方体的斜截平分体．如图所示，在堑堵(即直三棱柱)ABC­DEF中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AD＝4，G是FC的中点，则下列说法正确的是(　　 ) A．BE与AG的夹角为 B．平面ABC内存在直线平行于平面AEG C．△AGE为直角三角形 D．点D到平面AGE的距离为 BC　解析：∵BE∥CG， ∴∠AGC即为BE与AG所成的角(或其补角)， ∵G为CF的中点，CF＝AD＝4，AC＝2，∴AC＝CG，又CF⊥平面ABC， ∴∠AGC＝，A错误； 取AB，EA的中点M，N，连接MN，MC，GN， 则MN∥CG，MN＝CG， ∴四边形MNGC为平行四边形，∴MC∥NG， ∵MC⊄平面AGE，NG⊂平面AGE， ∴MC∥平面AGE，而MF⊂平面ABC，B正确； 依题意可知，AG＝2，EG＝2，EA＝2， ∴AG2＋EG2＝EA2，∴AG⊥GE， ∴△AGE为直角三角形，C正确； 设点D到平面AGE的距离为h， 则由VD­AGE＝VE­ADG可得h·×2×2＝×2××2×4，则h＝，D错误． 12．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________(填序号). 答案：①或③　解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确． 13．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示． (1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论． 解：(1)点F，G，H的位置如图所示． (2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体， 所以BC∥FG，BC＝FG. 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，所以四边形BCHE为平行四边形， 所以BE∥CH. 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH. 同理BG∥平面ACH. 又BE∩BG＝B，BE，BG⊂平面BEG， 所以平面BEG∥平面ACH. 14．(2023·重庆一中月考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥平面BB1D1D； (3)平面BDF∥平面B1D1H. 证明：如图． (1)取B1B的中点M， 连接HM，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形， ∴HD1∥MC1. 又MC1∥BF，∴BF∥HD1. (2)取BD的中点O，连接OE，OD1，则OE綊DC. 又D1G綊DC，∴OE綊D1G， ∴四边形OEGD1是平行四边形，∴EG∥D1O. 又D1O⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D， ∴EG∥平面BB1D1D. (3)由(1)知BF∥HD1，由题意易证B1D1∥BD. 又B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B， ∴平面BDF∥平面B1D1H. 15．如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2. (1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值； (2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值． 解：(1)取AD的中点N，连接CN，MN，OM，ON， 因为四边形ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD的中点，所以AO∥CN， 所以异面直线AO与CM所成角就是CN与CM所成的锐角或直角． 因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC， 在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，所以NO⊥平面BCM. 又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM. 在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，所以MN＝. 又M是圆周上的点，且∠CBM＝30°，所以CM＝1. 在△MCN中，CN＝，由余弦定理可得 cos ∠MCN＝＝， 所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为. (2)连接PB，PD，连接BD和AC交于点Q，连接PQ， 因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，所以CM∥PQ. 由矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，所以PQ为△AMC的中位线，所以P为AM的中点． 又AP＝λPM，所以λ的值为1. [素养拉分练] 16．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图①，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE.又因为BE⊂平面BDFE，AM⊄平面BDFE，所以AM∥平面BDFE.同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，BD＝，EF＝B1D1＝，DF＝BE＝，等腰梯形BDFE如图②， 过F，E作BD的垂线，垂足分别为G，H，则四边形EFGH为矩形，所以FG＝＝＝， 故所得截面的面积为×(＋)×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$