课时作业(37) 空间点、直线、平面的位置关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

课时作业(三十七)　空间点、直线、平面的位置关系 [基础保分练] 1．(2023·上海大同中学三模)下列命题正确的是(　　) A．三个点确定一个平面 B．三条相交直线确定一个平面 C．对于直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c D．对于直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c C　解析：不在一条直线上的三个点确定一个平面，故A错误；如正方体一个顶点出发的三条棱所在直线确定三个平面，故B错误；根据空间中平行线间的传递性可得若a∥b，b∥c，则a∥c，故C正确；若a⊥b，b⊥c，则a，c可能相交、平行或异面，故D错误． 2．(2023·江苏南通月考)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是(　　) A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面 B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行 C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直 D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行 A　解析：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交、垂直或异面垂直，故A正确； 对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误； 对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误． 3．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 A　解析：连接A1C1，AC，因为A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线． 4．(多选)(2024·山东实验中学月考)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　 ) BD　解析：A中，直线GH∥MN； B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面； C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； D中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN， 因此GH与MN异面． 5．(2022·江西南昌二模)如图是某正方体的展开图，其中A，B，C，D，E，F分别是原正方体对应棱的中点，则在原正方体中与AB异面且所成角为60°的直线是(　　) A．CD B．DE C．EF D．CE C　解析：由题设展开图，可还原成如下正方体及各点的空间位置， 结合选项及正方体的性质知，与AB异面的直线有EF，CE，其中只有EF与AB所成角为60°. 6．(多选)(2023·潍坊质检)如图，已知二面角A­BD­C的大小为，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，＝＝，且AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是(　　 ) A．E，F，G，H四点共面 B．FG∥平面ADC C．若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线 D．若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3 ACD　解析：由＝＝知EF綊BD. 又GH綊BD，∴EF∥GH， 因此E，F，G，H共面，A项正确； 假设FG∥平面ADC成立，因为平面ABC∩平面DAC＝AC，所以FG∥AC， 又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与＝矛盾，B项错误； 因为FG⊂平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC， 因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线，C正确； 易知S△BCD＝cos ·S△ABD＝×6＝3，D正确． 7．在三棱锥S ­ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________． 答案：平行　解析：如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN. 由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN， ∴在△SMN中，＝， ∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线， ∴MN∥BC，∴G1G2∥BC. 8．平面α过正方体ABCD ­A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线CD1所成的角为________． 答案：60°　解析：如图所示，易知l∥BD，又CD1∥BA1，所以直线l与直线CD1所成的角即为直线BD与直线BA1所成的角．在等边三角形A1BD中，∠A1BD＝60°，即异面直线l与直线CD1所成的角为60°. 9.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱锥P­ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2， 三棱锥P­ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC， 所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos ∠ADE＝＝＝. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 10．(2024·四川广元月考)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面，若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若PC＝2，求三棱锥P­ACE的体积． 解：(1)存在PA的中点G满足条件．证明如下： 连接GE，GD，则GE是三角形PAB的中位线， 所以GE∥AB. 又AB∥DC，所以GE∥DC， 所以G，E，C，D四点共面． (2)因为E是PB的中点， 所以V三棱锥P­ACE＝V三棱锥C­PAE＝V三棱锥C­PAB＝V三棱锥P­ABC. 因为四边形ABCD是直角梯形，所以△ABC中AB边上的高h＝AD＝1，所以S△ABC＝AB·h＝1，V三棱锥P­ABC＝PC·S△ABC＝，∴V三棱锥P­ACE＝. [技能提分练] 11.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是(　　) A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 D　解析：连接EH，FG，如图所示． 依题意，可得EH∥BD，FG∥BD， 故EH∥FG， 所以E，F，G，H共面． 因为EH＝BD，FG＝BD， 故EH≠FG， 所以EF与GH必相交．设其交点为M，由M∈EF，故点M在平面ACB上．故点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上． 12.(多选)(2023·太原模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是(　　) A．GH与EF平行 B．BD与MN为异面直线 C．GH与MN成60°角 D．DE与MN垂直 BCD　解析：如图，还原成正四面体A­DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM， 易知GH与EF异面，BD与MN异面． 又△GMH为等边三角形， ∴GH与MN成60°角， 易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE. ∴B，C，D正确． 13.(多选)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下列结论正确的是(　　) A．直线BE与直线CF异面 B．直线BE与直线AF异面 C．直线EF∥平面PBC D．平面BCE⊥平面PAD BC　解析：将平面展开图还原成直观图如图所示． ∵E，F分别为PA，PD的中点，∴EF∥AD.又四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴EF∥BC，∴B，C，F，E四点共面，∴直线BE与直线CF共面，不是异面直线，故A错误；∵E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，点E不在直线AF上，B∉平面PAD，∴直线BE与直线AF为异面直线，故B正确；∵EF∥BC，BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，故C正确；假设平面BCE⊥平面PAD，即平面BCFE⊥平面PAD，又平面BCFE∩平面PAD＝EF，作PM⊥EF，垂足为M，可得PM⊥平面BCE，但由题中条件无法证得PM⊥平面BCE，故假设不成立，故D错误． 14．(2023·江苏淮安模拟)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A1D1，C1D1的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为(　　 ) A. B． C．1 D．2 B　解析：如图，分别取BC，AA1，CC1的中点为H，M，N，连接EH，HN，GN，FM，ME，易得FG∥EH，GN∥ME，HN∥FM， 则点E，F，G，H，M，N共面， 且FG＝EH＝GN＝ME＝HN＝FM＝＝， 即经过E，F，G三点的截面图形为正六边形EHNGFM. 连接MN，EG，FH，AC，且相交于点O， 因为MN＝AC＝＝， 所以OE＝OH＝ON＝OG＝OF＝OM＝， 则截面图形的面积为×6＝. 15．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则异面直线DP与CB1所成角的取值范围是________． 答案：(　解析：连接DA1，DB(图略)，则CB1∥DA1，所以∠A1DP为异面直线DP与CB1所成的角，当点P与B重合时，∠A1DP最大，为；当点P与A1无限接近时，∠A1DP趋近于零，当∠A1DP＝0时，DP∥CB1，矛盾．故异面直线DP与CB1所成角的取值范围是(. [素养拉分练] 16.如图，在侧棱长为3的正三棱锥A­BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于2，求动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度． 解：设动点P在三棱锥表面形成的曲线是，，，，如图所示， 则BE＝BH＝2.在直角三角形BAH中， cos ∠HBA＝＝， ∴∠HBA＝，∠HBG＝－＝， ∴＝2×＝π，同理＝π. 在直角三角形HAE中，∠HAE＝，AH＝AE＝＝，∴＝×＝. 在等边三角形BCD中，∠CBD＝， ∴＝2×＝. 则所求曲线的长度为π＋π＋π＋π＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $$