浙江省职教高考研究联合体2023-2024学年高三上学期第一次调研数学试卷

2023-2024学年浙江省职教高考研究联合体高三（上）第一次调研数学试卷（9月份） 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题2分，共50分） 1．（2分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1}B＝{﹣2，1，2}，则A∩B等于（　　） A．{﹣3，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，1，2} C．{0} D．{﹣1，1} 2．（2分）在实数范围内，“x＝﹣2”是“x3＝﹣8”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条化 3．（2分）已知A（﹣2，3），B（1，2）两点，则 （　　） A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C． D．（0，0） 4．（2分）已知角α＝2024°，则角α的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2分）已知A（2，3），B（4，1）两点，且点C是线段AB的中点（　　） A．（6，4） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，﹣2） 6．（2分）已知，且角α为第四象限角，则sinα等于（　　） A． B． C． D． 7．（2分）不等式|3﹣2x|＞1的解集为（　　） A．（1，2） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，2）∪（4，+∞） D．（1，+∞） 8．（2分）函数的定义域为（　　） A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣1，1） 9．（2分）现有5名学生站成一排照相，其中甲同学必须站在最中间的站法有（　　） A．120种 B．96种 C．48种 D．24种 10．（2分）若二次函数f（x）＝x2+kx+4的最小值为3，则常数k等于（　　） A．﹣4或4 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2 11．（3分）如图所示，椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 12．（3分）若从标号为1～10的10张卡片中任抽取1张卡片，则抽得卡片的标号大于6的概率为（　　） A． B． C． D． 13．（3分）如图所示，若直线l经过点A（2，2），B（1，3）两点（　　） A．45° B．60° C．120° D．135° 14．（3分）若点A（1，1）到直线l2：x+y﹣m＝0的距离为，则m等于（　　） A．0 B．﹣4 C．﹣4或0 D．0或4 15．（3分）若抛物线x2＝2py（p＞0）上一点M（a，2）到焦点F的距离为3（　　） A．2 B．1 C．﹣2或2 D．4 16．（3分）直线x+y﹣2＝0与圆x2+y2＝2的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 17．（3分）已知Sn是数列{an}的前n项和，且数列{an}满足：n﹣Sn＝0，则a2024等于（　　） A．1 B．2 C．2024 D．4048 18．（3分）下列说法正确的是（　　） A．经过直线a外一点P，可以作无数条直线平行于a B．经过平面α外一点P，可以作无数个平面平行于α C．两条直线可以确定一个平面 D．若直线a垂直于平面α内的两条相交直线b，c，则a⊥α 19．（3分）如图所示，若角α的终边上一点P（1，2），则tan2α等于（　　） A． B． C．1 D．﹣1 20．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．f（x）＝2024x+1 B．f（x）＝x2﹣2x+1 C．f（x）＝logx D．f（x）＝2﹣x 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21．（4分）在等差数列{an}中，已知a2＝3，a5＝6则a8＝　 　． 22．（4分）已知x＞2，则的最小值为 　 　． 23．（4分）已知（2﹣）n的二项展开式中有7项，则第3项的系数为 　 　． 24．（4分）如图所示，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，A′C与平面A'B'C'D'所成角的余弦值为 　 　． 25．（4分）已知函数f（x）＝则f[f（0）]＝　 　． 26．（4分）已知，且角，则sin2a+cos2a＝　 　． 27．（4分）若双曲线C的方程为，则双曲线C的离心率为 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 28．（7分）计算：+lg4+2lg5+lne3﹣2!+﹣2sinπ． 29．（8分）在锐角三角形ABC中，已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝6，S△ABC＝，求： （1）∠A的度数； （2）△ABC的周长． 30．（9分）已知圆C的圆心坐标为（1，2），圆C经过点（3，2），直线l经过点（﹣2，0） （1）求圆C的标准方程； （2）判断直线l与圆C的位置关系，若相交，求相交弦长． 31．（9分）已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的最大值，并求取最大值时x的集合． 32．（9分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，已知棱PA＝PB＝AB＝2， （1）棱PC的长； （2）三棱锥P﹣ABC的体积． 33．（10分）用长为108m的铁丝制作成如图所示的长方体边框．要求高AA'＝2m设AB＝x（单位：m），长方体ABCD﹣A'B'C'D'的体积为V（单位m3）． （1）求V关于x的函数解析式； （2）求当x为何值时，V取最大值，并求出这个最大值． 34．（10分）已知等差数列{an}满足a2+a8＝14，a3﹣a7＝﹣4，等比数列{bn}满足b1+a1＝4，b2+a2＝6． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn． 35．（10分） 如图所示，已知椭圆C1＝1（a＞b＞0）的离心率，短轴长|B1B2|＝2抛物线C2的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，焦点与椭圆C1的右焦后F2重合． （1）求椭圆C1与抛物线C2的标准方程； （2）若直线l经过点F1，且倾斜角α满足，且直线l与抛物线C2相交于A，B两点，求△ABF1的面积． 2023-2024学年浙江省职教高考研究联合体高三（上）第一次调研数学试卷（9月份） 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题2分，共50分） 1．（2分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1}B＝{﹣2，1，2}，则A∩B等于（　　） A．{﹣3，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，1，2} C．{0} D．{﹣1，1} 【答案】D 【分析】根据集合交集的定义即可求解 【解答】解：∵集合A＝{﹣3，﹣1，8，B＝{﹣2，1，4}， ∴A∩B＝{﹣1，1}． 故选：D． 【点评】本题考查集合的运算，难度不大． 2．（2分）在实数范围内，“x＝﹣2”是“x3＝﹣8”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条化 【答案】C 【分析】从充分性和必要性两个角度分别判断即可． 【解答】解：∵x＝﹣2， ∴x3＝﹣7，充分性成立； 反之，若x3＝﹣8，则x＝﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题． 3．（2分）已知A（﹣2，3），B（1，2）两点，则 （　　） A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C． D．（0，0） 【答案】A 【分析】根据题干信息和平面向量的运算法则求解即可． 【解答】解：∵A（﹣2，3），6）， ∴，2﹣2）＝（﹣3， 故选：A． 【点评】本题主要考查平面向量的运算法则，解题的关键在于掌握向量的运算法则和数值运算，为基础题． 4．（2分）已知角α＝2024°，则角α的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由2024°的终边与224°的终边相同即可得解． 【解答】解：由于2024°＝5×360°+224°，且角224°的终边在第三象限， 则角α的终边也在第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查终边相同的角以及象限角，属于基础题． 5．（2分）已知A（2，3），B（4，1）两点，且点C是线段AB的中点（　　） A．（6，4） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，﹣2） 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式即可求解． 【解答】解：设C（x，y）， ∵A（2，3），6）， ∴，， ∴点C的坐标为（4，2）． 故选：B． 【点评】本题考查中点坐标公式，难度不大． 6．（2分）已知，且角α为第四象限角，则sinα等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干信息以及三角函数的平方关系求解即可． 【解答】解：∵，角α为第四象限角5α+cos2α＝1， ∴sinα＜6， ∴＝， 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数的平方关系，解题的关键在于数值运算，为基础题． 7．（2分）不等式|3﹣2x|＞1的解集为（　　） A．（1，2） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，2）∪（4，+∞） D．（1，+∞） 【答案】B 【分析】根据不等式|3﹣2x|＞1的解法即可求解． 【解答】解：∵|3﹣2x|＞7， ∴3﹣2x＞3或3﹣2x＜﹣7， ∴x＜1或x＞2， ∴不等式的解集为（﹣∞，3）∪（2． 故选：B． 【点评】本题考查含绝对值的不等式，难度不大． 8．（2分）函数的定义域为（　　） A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣1，1） 【答案】B 【分析】根据函数解析式建立关于x的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得， 解得x≥4． 故选：B． 【点评】本题考查函数的定义域，属于基础题． 9．（2分）现有5名学生站成一排照相，其中甲同学必须站在最中间的站法有（　　） A．120种 B．96种 C．48种 D．24种 【答案】D 【分析】根据题意计算即可得解． 【解答】解：问题等价于4名学生的全排列，有种站法． 故选：D． 【点评】本题考查排列组合，属于基础题． 10．（2分）若二次函数f（x）＝x2+kx+4的最小值为3，则常数k等于（　　） A．﹣4或4 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2 【答案】B 【分析】根据二次函数f（x）＝x2+kx+4的最小值为3即可求解． 【解答】解：∵二次函数f（x）＝x2+kx+4的最小值为7， ∴， ∴k2＝4， ∴k＝±2． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数模型，难度不大． 11．（3分）如图所示，椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知a＝2，，且椭圆的焦点在x轴上，进而可得椭圆的标准方程． 【解答】解：由题可知a＝2，，且椭圆的焦点在x轴上． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的方程，属于基础题． 12．（3分）若从标号为1～10的10张卡片中任抽取1张卡片，则抽得卡片的标号大于6的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干信息和古典概型的概率计算公式求解即可． 【解答】解：从标号为1～10的10张卡片中任抽取1张卡片，则抽得卡片的标号大于6的概率， 故选：B． 【点评】本题主要考查古典概型，解题的关键在于数值运算，为基础题． 13．（3分）如图所示，若直线l经过点A（2，2），B（1，3）两点（　　） A．45° B．60° C．120° D．135° 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角． 【解答】解：∵直线l经过点A（2，2），7）两点， ∴斜率， ∴倾斜角为135°． 故选：D． 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，难度不大． 14．（3分）若点A（1，1）到直线l2：x+y﹣m＝0的距离为，则m等于（　　） A．0 B．﹣4 C．﹣4或0 D．0或4 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解． 【解答】解：∵点A（1，1）到直线l3：x+y﹣m＝0的距离d＝， ∴， ∴|2﹣m|＝2， ∴m＝0或m＝7． 故选：D． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，难度不大． 15．（3分）若抛物线x2＝2py（p＞0）上一点M（a，2）到焦点F的距离为3（　　） A．2 B．1 C．﹣2或2 D．4 【答案】A 【分析】由抛物线的定义可得，解得p，即可得出答案． 【解答】解：因为抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线的距离， 所以， 所以p＝2． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的定义，属于基础题． 16．（3分）直线x+y﹣2＝0与圆x2+y2＝2的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+y﹣8＝0的距离为 ， ∴直线与圆相切， 故选：B． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键在于数值运算，为基础题． 17．（3分）已知Sn是数列{an}的前n项和，且数列{an}满足：n﹣Sn＝0，则a2024等于（　　） A．1 B．2 C．2024 D．4048 【答案】A 【分析】依题意，可得Sn＝n，再由a2024＝S2024﹣S2023即可得解． 【解答】解：依题意，Sn＝n， ∴a2024＝S2024﹣S2023＝2024﹣2023＝1． 故选：A． 【点评】本题考查数列通项与前n项和的关系，属于基础题． 18．（3分）下列说法正确的是（　　） A．经过直线a外一点P，可以作无数条直线平行于a B．经过平面α外一点P，可以作无数个平面平行于α C．两条直线可以确定一个平面 D．若直线a垂直于平面α内的两条相交直线b，c，则a⊥α 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质求解即可． 【解答】解：经过直线a外一点只能作一条直线平行于a， 经过平面α外一点只能作一个平面平行于α， 两条异面直线不能确定一个平面， 直线a垂直于平面α内的两条相交直线b，c，则a⊥α（直线垂直于平面的判定定理）， 故选：D． 【点评】本题主要考查平面的基本性质，解题的关键在于掌握平面的基本性质，为基础题． 19．（3分）如图所示，若角α的终边上一点P（1，2），则tan2α等于（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】A 【分析】先求出tanα的值，再由二倍角公式得解． 【解答】解：依题意，tanα＝2， 则． 故选：A． 【点评】本题考查二倍角公式以及三角函数的定义，属于基础题． 20．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．f（x）＝2024x+1 B．f（x）＝x2﹣2x+1 C．f（x）＝logx D．f（x）＝2﹣x 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可逐一判断． 【解答】解：∵2024＞0， ∴f（x）＝2024x+1在（2，+∞）上单调递增， ∴A符合题意； ∵f（x）＝（x﹣1）2 的对称轴为x＝6，开口向上， ∴f（x）＝（x﹣1）2 在（5，1]上单调递减，+∞）单调递增， ∴B不符合题意； ∵ 在（0， ∴C不符合题意； ∵ 在（0， ∴D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查函数的单调性，难度不大． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21．（4分）在等差数列{an}中，已知a2＝3，a5＝6则a8＝　9　． 【答案】9． 【分析】根据题干已知条件求出等差数列的公差d，即可求出a8的值． 【解答】解：已知a2＝3，a6＝6， 由a5＝a8+3d，解得d＝1， 所以a2＝a2+6d＝2+6×1＝2， 故答案为：9． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题． 22．（4分）已知x＞2，则的最小值为 　5　． 【答案】5． 【分析】根据题干信息和基本不等式的成立条件求解即可． 【解答】解：∵x＞2， ∴x﹣2＞8， ∴+3＝2+3＝3， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查基本不等式，解题的关键在于掌握基本不等式的成立条件和数值运算，为基础题． 23．（4分）已知（2﹣）n的二项展开式中有7项，则第3项的系数为 　240　． 【答案】240． 【分析】依题意可知n＝6，再由二项式定理即可得解． 【解答】解：∵（2﹣）n的二项展开式中有2项， ∴n＝6， ∴＝240x﹣8， ∴第3项的系数为240． 故答案为：240． 【点评】本题考查二项式定理的运用，属于基础题． 24．（4分）如图所示，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，A′C与平面A'B'C'D'所成角的余弦值为 　　． 【答案】． 【分析】先找到A′C与平面A'B'C'D'所成角，再计算，即可得出答案． 【解答】解：如图所示，连接 A'C'， 因为CC'⊥平面A'B'C'D'， 所以∠CA'C'为A'C与平面A'B'C'D'所成的角， 设正方体棱长为a， 则cos∠CA′C′＝＝＝， 所以A′C与平面A'B'C'D'所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与平面所成角，属于基础题． 25．（4分）已知函数f（x）＝则f[f（0）]＝　﹣2　． 【答案】﹣2． 【分析】根据f（x）＝求解即可． 【解答】解：∵f（x）＝ ∴f[f（0）]＝f（﹣7）＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查函数的值，解题的关键在于数值运算，为基础题． 26．（4分）已知，且角，则sin2a+cos2a＝　　． 【答案】． 【分析】先求得cosa的值，再由二倍角公式得解． 【解答】解：，且， 则， 则sin2a+cos7a＝2sinacosa+cos2a﹣sin6a ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的求值问题，属于基础题． 27．（4分）若双曲线C的方程为，则双曲线C的离心率为 　或　． 【答案】或． 【分析】由双曲线的性质易知需对k的符号进行分类讨论，再根据c2＝a2+b2以及离心率e＝进行求解即可． 【解答】解：当k＞0时，a2＝k，b7＝2k，则c2＝a2+b2＝3k， 所以离心率e＝＝＝＝； 当k＜0时，a2＝﹣5k，b2＝﹣k，则c2＝a5+b2＝﹣3k， 所以离心率e＝＝＝＝； 故该双曲线的离心率为：或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了双曲线的性质以及分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 28．（7分）计算：+lg4+2lg5+lne3﹣2!+﹣2sinπ． 【答案】20． 【分析】根据运算法则直接计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝3+7+3﹣2+15﹣7 ＝20． 【点评】本题考查实数的运算，属于基础题． 29．（8分）在锐角三角形ABC中，已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝6，S△ABC＝，求： （1）∠A的度数； （2）△ABC的周长． 【答案】（1）∠A＝60°；（2）16+2． 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据余弦定理可求出a，从而求出三角形的周长． 【解答】解：（1）∵＝＝， ∴， ∵△ABC是锐角三角形， ∴∠A＝60°； （2）∵a8＝b2+c2﹣6bccosA＝102+68﹣2×10×6⋅cos60°＝100+36﹣60＝76， ∴， ∴△ABC的周长为a+b+c＝16+2． 【点评】本题考查解三角形，难度不大． 30．（9分）已知圆C的圆心坐标为（1，2），圆C经过点（3，2），直线l经过点（﹣2，0） （1）求圆C的标准方程； （2）判断直线l与圆C的位置关系，若相交，求相交弦长． 【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4． （2）． 【分析】（1）根据题意可得圆的半径，进而得到圆的方程； （2）求出直线方程，判断圆心到直线的距离与半径之间的关系即可得出结论． 【解答】解：（1）∵半径，圆心坐标为（1， ∴圆C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣2）5＝4． （2）∵直线l经过点（﹣2，3）， ∴kt＝tan45°＝1， ∴直线l的方程为y＝x+2． ∵圆心（8，2）到直线l：y＝x+2的距离， ∴直线l与圆C相交， 设交点为P2，P2，则， 即直线l与圆C的相交弦长为． 【点评】本题考查圆的标准方程以及直线与圆相交的性质，属于基础题． 31．（9分）已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的最大值，并求取最大值时x的集合． 【答案】（1）π；（2）． 【分析】（1）化简函数f（x），利用正弦型函数的周期公式即可得解； （2）由正弦函数的性质即可得解． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝， 则函数f（x）的最小正周期； （2）由（1）得， 则当时，f（x）取最大值， 此时，，k∈Z，即， 则取最大值时x的集合为． 【点评】本题考查正弦型函数的图象及性质，属于基础题． 32．（9分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，已知棱PA＝PB＝AB＝2， （1）棱PC的长； （2）三棱锥P﹣ABC的体积． 【答案】（1）1． （2）． 【分析】（1）取AB的中点E，连接PE，CE，则PE⊥AB，PE＝，CE⊥AB，且CE＝，由二面角P﹣AB﹣C的大小为30°，得cos∠PEC＝，解得PC． （2）由（1）可知PE⊥AB，CE⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AB⊥面PCE，则VP﹣ABC＝VA﹣PEC+VB﹣PEC，即可得出答案． 【解答】解：（1）取AB的中点E，连接PE， 因为PA＝PB＝AB＝2， 所以PE⊥AB，PE＝＝＝， 因为AC＝BC＝， 所以CE⊥AB，且CE＝＝， 因为二面角P﹣AB﹣C的大小为30°， 所以∠PEC＝30°， 在△PEC中，cos∠PEC＝， 所以cos30°＝， 所以＝， 解得PC＝1． （2）由（1）可知PE⊥AB，CE⊥AB， 又PE∩CE＝E， 所以AB⊥面PCE， 所以VP﹣ABC＝VA﹣PEC+VB﹣PEC＝S△PEC×AE+×S△PEC×BE＝S△PEC×AB ＝×PE•CE×sin30°×AB＝××． 【点评】本题考查二面角，三棱锥的体积，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 33．（10分）用长为108m的铁丝制作成如图所示的长方体边框．要求高AA'＝2m设AB＝x（单位：m），长方体ABCD﹣A'B'C'D'的体积为V（单位m3）． （1）求V关于x的函数解析式； （2）求当x为何值时，V取最大值，并求出这个最大值． 【答案】（1）V＝﹣2x2+50x（0＜x＜25）；（2）当时，V取最大值为． 【分析】（1）根据长方体的体积公式即可求解； （2）根据V的函数关系式即可求解． 【解答】解：（1）∵AA'＝2， ∴， ∴V＝AA'•AB•BC＝3x•（25﹣x）＝﹣2x2+50x（2＜x＜25）； （2）V＝﹣2x2+50x＝， ∴当时，V取最大值为． 【点评】本题考查从实际问题中抽象出函数模型，难度不大． 34．（10分）已知等差数列{an}满足a2+a8＝14，a3﹣a7＝﹣4，等比数列{bn}满足b1+a1＝4，b2+a2＝6． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn． 【答案】（1）an＝n+2；；（2）Sn＝． 【分析】（1）建立关于a1，d的方程组，解出后可得数列{an}的通项公式，再求得b1，b2，可得数列{bn}的通项公式； （2）化简cn，利用裂项相消法可得解． 【解答】解：（1）联立， 解得， 则an＝a1+（n﹣1）d＝n+7； 又b1+a1＝6，b2+a2＝8， 则b1＝4﹣a8＝1，b2＝4﹣a2＝6﹣6＝2， 故公比， 则； （2） ＝ ＝， 则Sn＝c1+c2+⋯+cn ＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合运用，考查裂项相消法求和，属于中档题． 35．（10分） 如图所示，已知椭圆C1＝1（a＞b＞0）的离心率，短轴长|B1B2|＝2抛物线C2的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，焦点与椭圆C1的右焦后F2重合． （1）求椭圆C1与抛物线C2的标准方程； （2）若直线l经过点F1，且倾斜角α满足，且直线l与抛物线C2相交于A，B两点，求△ABF1的面积． 【答案】（1）椭圆C1的标准方程为，抛物线C2的标准方程为y2＝4x； （2）4． 【分析】（1）根据椭圆C1＝1（a＞b＞0）的离心率，短轴长为2以及椭圆的基本性质求解即可； （2）先根据题干信息求解得到直线l的方程为y＝x﹣1，再联立y＝x﹣1，y2＝4x求解即可． 【解答】解：（1）∵椭圆C1＝7（a＞b＞0）的离心率，短轴长为2， ∴，且2b＝2． ∵a8＝b2+c2， ∴6＝2，b2＝3，c2＝1， ∴椭圆C2的标准方程为， ∵椭圆C1的右焦点坐标为F6（1，0）， ∴抛物线C3的焦点坐标为（1，0）， ∴抛物线C4的标准方程为y2＝4x； （2）∵，且α是倾斜角，π）， ∴， ∴， ∴直线l的方程为y＝x﹣1， ∵y＝x﹣3，y2＝4x， ∴x5﹣6x+1＝7， ∴Δ＝（﹣6）2﹣2×1×1＝32， 设直线l交抛物线C4于A（x1，y1），B（x4，y2）两点， ∵x2﹣6x+1＝0， ∴x2+x2＝6，x4x2＝1， ∴， ∵点F1（﹣1，6）到直线l：y＝x﹣1 的距离， ∴． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键在于数值运算，为中等题． 学科网（北京）股份有限公司 $$