专题十八 圆的基本性质-【领跑】2024年中考数学一轮复习基础梳理

学可之星 m专题十八 圆的基本性质M ①知识点梳理 链接教材人教：九上第二十四章P78~P91:北师：九下第三章P64一P84. 顶点在圆心的角◆定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端 1在同圆或等圆中，相 定义 点O旋转一周，另一个端点4所形成的图形 等的圆心角所对的弧相。定理 到定点O的距离等于定长的点的集合 等，所对的弦也相等 1D:∠AOB=LCOD 2在同圆或等圆中，如 弦一连接圆上任意两点的线段 24B=CD. 果两条弧相等，那么它 们所对的圆心角相等， 。推论 圆心角 直径。经过圆心的弦 学可2星 所对的弦也相等 弧·圆上任意两点间的部分 3AB=CD. 3在同圆或等圆中，如果 两条弦相等，那么它们所 半圆一愿的任意一条直径的两个端点把圆 对的圆心角相等，所对的 。推论 相关摄念 分成两条孤，每一条弧都叫做半圆 优弧和劣弧分别相等 优弧◆大于半圆的弧，表示：C 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角◆定义 劣弧◆小于半圆的孤，表示：C 等园·能够重合的两个圆 BC=BC. 一条弧所对的圆 周角等于它所对。定理 等弧◆在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 的圆心角的一半 轴对称图形。任何一条直径所在 直线都是圆的对称轴 同弧或等弧所对的圆周角相等◆推论 圆周角 对称性 中心对称图形。圆心是它的对称中心 BC-BC. BC=EC, 定理。 ①垂直于弦的直径平分弦 垂径 并且平分弦所对的两条弧 定理 推论◆ 2平分孩（不是直径）的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 ,AB是⊙O的直径， 半圆（或直径）所对 的园周角是直角 ①-CD是⊙O的直径，CD1AB. ￥∠ACB=90° 90°的圆周角所对 ·推论 的弦是直径 学 44 学月2 2CD是⊙O的直径，AE-E 月2星 ·四边形BCD足⊙O 的内接四边形， 圆内接四边 性质 圆内接 如果一个四边形的所有顶点都在同一个 形的对角互补 四边形 定义◆ 圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形 2.命题点精炼 命题点一垂径定理 1.新课标·渗透传统文化1我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材 埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。 问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这 根木材，锯口深ED为1寸，锯道长AB为1尺(1尺=10寸).这根圆形木材的 直径是 寸 (1题图) 112领跑-数学 2.如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E,OC=2,OE=2. (1)求弦AB的长： (2)求∠CAB的度数. (2题图) 3.1新课标·新增尺规作图/1人教九上P82例2变式1赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400 年，历经洪水冲击、地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40m,主拱高CD约为10m. (1)如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O:(保留作图痕迹) 学(2)如图2，求桥弧AB所在圆的半径R.学曰之 学可2星 学可2星 赵州板 (3题图1) (3题图2) 命题点二弧、弦、圆心角 4.1人教九上P85练习2变式1如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,若∠BOC=40°，则∠AOE的度 数为 A.30 B.40 C.50 D.60° 5.如图，在⊙O中，若AB-2AC则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是 A.AB=AC B.AB=2AC C.AB>2AC D.AB<2AC 学可2星 82 学可之星 (4题图) (5题图) 6.如图，在⊙0中，AB=AC,∠ACB=60°，BC=23 (1)求证：△ABC是等边三角形： (2)求⊙O的半径. (6题图) 领跑-数学113 学可之星 命题点三圆周角定理 7.1星·改编/如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，若∠ABD=52°，则∠C的度数为() A.349 B.38 C.48 D.56 8.如图，在⊙O中，C为弦AB的中点，连接OC,OB,若∠COB=56°，点D在AB上，则∠ADB的 度数为 () A.112 B.122° C.124° D.134 9./2022营口中考1如图，点A,B,C,D在⊙O上，AC⊥BC,若AC=4,∠ADC=30°，则BC的长为 () A.43 B.8 C.42 D.4 10.(北师九下P82想一想变式/如图，四边形ABCD内接于⊙O,点E在DC的延长线上.若∠BCE= 105°，则∠BOD的度数是 学可Z星 学可2星 (7题图) (8题图) (9题图) (10题图) 3.易错点警示 易错点考虑不全造成漏解 1.已知⊙O的直径CD=100cm,AB是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为M,且AB=96cm,则AC的 长为 ( A.36cm或64cm B.60cm或80cm C.80 cm D.60 cm 2./新考向·开放性试题/排水管的截面为如图所示的⊙O,半径为5m,已知现在水面位 0 于圆心O的下方，且水面宽AB=6m,如果水面上涨，水面宽变为8m,那么水面 上涨了 (2题图) 4.综合练习 (温馨提示：此版块为针对前面重要命题点以及前面未涉及的低考频命题点的综合练习) 1.2023营口大石桥市三模1如图，AB为⊙O的弦，点C,D在⊙O上，OC⊥AB,垂足为E,若 学∠ADC22.5°，0C=2,则AB的长为学日之星 学日之星 学（之）星 A.2 B.22 C.3 D.23 2./2023大连二模/如图，在⊙O中，AD是⊙O的直径，弦AB的长为10cm,若∠ACB=45°，则AD 的长为 () A.5√2cm B.10√2cm C.15√2cm D.20√2cm 3.12022沈阳沈河区一模/如图，AB,BC为⊙O的两条弦，连接OA,OC,点D在AB的延长线上，若 ∠CBD=62°，则∠AOC的度数为 ( A.130 B.124 C.1149 D.100 (1题图) (2题图) (3题图) 114领跑-数学 4./全国视野·新考法！如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧 分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为 5./新考向·创设真实情境/如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用， 彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18dm,C为AB的中 点，D为拱门的最高点，圆心O在线段CD上，CD=27dm,则拱门所在圆的半径为 (4题图) (5题图1) (5题图2) 6.1人教九上P83练习2变式1如图，在⊙O中，AB,AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB, OE⊥AC,垂足分别为D,E 学1)求证：四边形ADOE是正方形： 学可2星 学可2星 学可2星 (2)若AC=2cm,求⊙O的半径. (6题图) 7.人教九上P%9习题4变式1如图，在⊙0中，AB=CD,弦AB与CD相交于点M.孕可之冒 (1)求证：AC=BD: (2)连接AC,BD,AD,若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD=90° (7题图) 学之星 学百之星 单之星 曾之星 受目之星 8./2023大连二模/如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，且OD∥BC,AC分别与BD,OD相交 于点E,F (1)求证：D为AC的中点： (2)若DF=4,AC=16,求⊙O的直径 (8题图) 领跑-数学115学可之星 又AD=DE,.四边形AFED是菱形. ⑧专题十八圆的基本性质 (2)如图，过点D作DG⊥AF于点G. .∠AGD=90. 2命题点精炼 ∠DAB=60°，.∠ADG=90°-60°=30° 1.26 1 2.解：(1)如图，连接OB, 六AG=2AD=2X4=2 :半径OC过弦AB的中点E,OA=OB.OC=2, 在Rt△ADG中，根据勾股定理，得 :.OCLAB.AE=BE.OB=OC=2. DG=√AD-AG=√/-22=23. 在R△OBE中，OE=2, 由(1)，知四边形AFED是菱形. ∴根据勾股定理，得BE=√OB一OE=√22-(W2)一2. .AF=AD=4. 学SmAF·DGX2=8 AB=2BE=22 学之星 (2题图) (8题图) 9.解：(1)如图即为所求. (2)由(1).得BE=OE,(C⊥AB. ,.△BOE是等腰直角三角形. .∠BOC=45 :C=c∠CAB=7∠B0C=2. 3.解：(1)如图1.点0即为所求. 州 (9题图) (2)证明：四边形ABCD是菱形， 学ACLD:∠c0D-90可Z星 学之星 学可之星昌 AC⊥CF.∴.∠ACF=90 (3题图1) ∴.∠COD+∠ACF=180° (2)如图2，由(1)中的作图可知，△AOD为直角三角形，D是 .DOCF.∴∠ODE=∠FCE. AB的中点，AB=40,CD=10. E是CD的中点，，DE=CE AD=含AB=20, 又∠DEO=∠CEF, ,CD=10,(OC=R,∴.()D=R-10 .△ODE≌△FCE..DO=CF. 在R△AOD中，根据勾股定理，OA2=AD2+OD°， 又DOCF, ∴.R2=202+(R-10)2 .四边形OCFD是平行四边形， 解得R=25. 又∠COD=90,∴.四边形OCFD是矩形. ∴桥弧AB所在圆的半径R约为25m 28 领跑-数学 (2)如图，连接OA ,AC=2cm,OE⊥AC,∴AE=1cm. 由(1)，知四边形ADOE是正方形. ..OE=AE=1 cm. (3题图2) 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 4.D5.D OA=AE+OE=√+1下=2(m). 6.解：1)证明：：AB=AC,AB=AC 又∠ACB=60°，.△ABC是等边三角形. ∴.⊙O的半径是2cm. (2)如图，过点O作OD⊥CB,垂足为D. DB-B 学释c是等边号角彩之目 学可2星 学日6燃图 学可之星目 ∠CAB=60°. 7.证明：(1)：AB=CD..AB=CD :BC=BC,.∠COB=2∠CAB=120 :.AC+CB-CB+BD...AC=BD. 1 0C=0B.∠0BD=2(180-120)=30. (2)如图，连接AD。 ..OB=20D :AC=BD.∴∠ADC=∠BAD. 在R△OBD中，根据勾股定理，OB=OD2+DB2. ∴.∠AMC=∠MAD+∠MDA=2∠BAD. .(20D)=0D+(3)2. :AD是⊙O的直径，.∠ACD=90 解得0D-1。 学 学可之星昌 ∴.∠CAB+∠AMC=90. .0B=20D=2,即⊙0的半径为2. ∴∠CAB+2∠BAD=90 (7题图) 学可之星 之 学与 8解.0)证明：AB是O0的轻：∠C=9n学曰之星 7.B8.C9.A10.150 :OD∥BC,.∠OFA=∠C=90 3.易错点警示 :.OFLAC...AD-CD. 1.B2.1m或7m :D为AC的中点 4.综合练习 1.B2.B3.B (2OFLAC.AF-TAC-8. 4.52.5°5.15dm ,DF=4,.OF=OD-4=OA-4. 6.解：(1)证明：OD⊥AB,OE⊥AC,AB⊥AC, 在R△AFO中，根据勾股定理，OA=AF+OF, ÷∠AD0=∠A=∠AB0=90,AD=AB,AE=AC .042=82+(0A-4)2..0A=10 .AB=20A=20. .四边形AD)E是矩形 AB=AC,.AD=AE..四边形ADOE是正方形. 领跑-数学29