3.4.1 方差 课件 2023—2024学年 鲁教版（五四制）数学八年级上册

第3章 数据的分析 3.4 数据的离散程度 第1课时 极差、方差、标准差 为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近. 质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下： 甲厂： 75,74,74,76,73,76,75,77,77,74, 74,75,75,76,73,76, 73,78,77,72； 乙厂： 75,78,72,77,74,75,73,79,72,75, 80,71,76,77,73,78,71,76,73,75； 课时导入 把这些数据表示成如图所示. (1)你能从图中估计出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗？ (2)从甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量分别是多少？在图中画出纵坐标等于平均质量的直线 . 感悟新知 (3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？ 最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？ (4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应买哪 个厂的鸡腿？ 感悟新知 实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况，一组数据中最大数据与最小数据的差(称为极差)，就是刻画数据离散程度的一个统计量. 知识点 极差 1 感悟新知 1. 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 2. 极差是刻画数据离散程度的一个统计量，极差表示 的是最大数据与最小数据的“距离”，这个“距离”越 大表明这组数据的离散程度也越大，“距离”越小表 明这组数据的离散程度越小. 3. 极差反映了数据的变化范围，没有提供数据波动的 其他信息，且受极端值的影响较大. 感悟新知 例1 现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加测试，每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同分值中的一种，A班的测试成绩如下表，B班的测试成绩如图. 测试成绩/分 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2 感悟新知 求A，B两班学生测试成绩的极差． 导引：认真读题审题，根据极差的定义求解． 感悟新知 解： A班学生测试成绩的极差为9－0＝9(分)， B班学生测试成绩的极差为6－1＝5(分)． 感悟新知 总结 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．做题时认真审题，准确找出这组数据中的最大值和最小值，是解决此类问题的关键． 感悟新知 1. (中考·齐齐哈尔)下列是某校数学活动小组学生的年龄情况：13，15，15，16，13，15，14，15(单位：岁)．这组数据的中位数和极差分别是(　　) A．15，3 B．14，15 C．16，16 D．14，3 A 感悟新知 2.(中考·黑龙江)近十天每天平均气温(℃)统计如下：24，23，22，24，24，27，30，31，30，29. 关于这10个数据下列说法不正确的是(　　) A．众数是24 B．中位数是26 C．平均数是26.4 D．极差是9 B 感悟新知 做一做 如果丙厂也参与了竞争，从 该厂抽样调查了20只鸡腿， 数据如图所示. (1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？ (2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距. (3)在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？ 知识点 方差、标准差 2 感悟新知 1.定义：方差是各个数据与平均数的差的平方的平均数， 即s2＝ ． 其中， 是x1，x2，…，xn的平均数，s2是 方差． 感悟新知 2.要点精析： (1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要量， 反映的是数据在平均数附近波动的情况； (2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波 动就越大；方差越小，数据的波动就越小． 感悟新知 例2 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株麦苗，测得高度(单位：cm)如下： 甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15； 乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11. 哪种麦苗长势整齐？ 感悟新知 导引： 根据题意，要比较哪种麦苗长势整齐，需比较它们高度的方差，先求出其平均数，再根据方差的公式计算方差，进行比较可得结论． 感悟新知 解： 因为s甲2＜s乙2，所以甲种麦苗长势整齐． 感悟新知 总结 可以用样本的平均数估计总体的平均数，也可以用样本的方差来估计总体的方差． 感悟新知 标准差就是方差的算术平方根. 感悟新知 例 3 王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率为98%，果实现已成熟．为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵树的产量如图的的折线统计图： 感悟新知 (1)分析计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和； (2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？ 感悟新知 导引：(1)因为甲、乙两山的样本的平均数相等，都为40kg，又由甲、乙两山各栽100棵杨梅树，成活率为98%，进而得出甲、乙两山杨梅的产量总和约为2×100×98%×40＝7 840(kg)； (2)由标准差的值的比较，得出乙山的杨梅产量较稳定. 感悟新知 解：(1)甲山上4棵杨梅树的产量分别为50 kg、36 kg、 40 kg、34 kg， 所以甲山杨梅产量的样本平均数为 ＝40(kg)． 乙山上4棵杨梅树的产量分别为36 kg、40 kg、 48 kg、36 kg， 所以乙山杨梅产量的样本平均数为 =40(kg)． 感悟新知 (2)s甲＝ ＝ s乙＝ ＝ 因为s甲＞s乙，所以乙山上的杨梅产量较稳定． 甲、乙两山杨梅的产量总和约为2×100×98%×40＝7 840(kg)． 24(kg) 感悟新知 总结 在比较两组数据时，一般先看平均数，当平均数相同或相近时，可比较两组数据的标准差，标准差越小，数据越稳定． 感悟新知 例4 (1)观察下列各组数据并填空： A：1　2　3　4　5　 ＝________，sA2＝________； B：11　12　13　14　15 ＝_______，sB2＝_______； C：10　20　30　40　50 ＝_______，sC2＝_______； D：3　5　7　9　11　 ＝________，sD2＝________； (2)比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？ 导引：分别求平均数与方差，寻找四者之间的规律， 然后根据规律解决问题． 3 2 8 7 2 200 30 13 感悟新知 (2) A与B比较，B组中各数据比A组中对应各数据多10， 所以 ，而方差不变，即sB2＝sA2. A与C比较，C组各数据为A组中对应各数据的10倍， 所以 A与D比较，D组各数据为A组中对应各数据的2倍多1， 所以 ＝2 ＋1＝2×3＋1＝7， sD2＝22×sA2＝4×2＝8. ＝30，sC2＝102×sA2＝200. 感悟新知 (3)若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2， 那么另一组数据3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数是________，方差是________． 感悟新知 1 (中考·莆田)在一次定点投篮训练中，五位同学投中的 个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不 正确的是(　　) A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2 B 感悟新知 2 (中考·崇左)甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学 测试中，他们成绩的平均分是 ＝85， ＝85， ＝85， ＝85，方差是s甲2＝3.8，s乙2＝2.3， s丙2＝6.2，s丁2＝5.2，则成绩最稳定的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 B 感悟新知 1. 一组数据1，－1，0，－1，1的方差为(　D　) A. 0 B. 0.64 C. 1 D. 0.8 D 随堂检测 演练提升 2. 为迎接中考体育测试，小刚和小亮分别统计了自己最近10 次的跳绳成绩，下列统计量中，能用来比较两人成绩稳定 程度的是(　D　) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 D 随堂检测 演练提升 3. [母题·教材P64随堂练习T2·2023·岳阳]有两个女生小合唱 队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为160 cm，甲队身高方差 ＝1.2，乙队身高方差 ＝2.0， 两队身高比较整齐的是 队.(填“甲”或“乙”) 甲　 随堂检测 演练提升 1．方差是用来衡量一组数据波动大小的重要统计量，反映的是数据在平均数附近波动的情况，对于同类问题的两组数据，方差越大，数据波动就越大，方差越小，数据波动就越小；在统计中常用样本方差去估计总体方差． 2．极差是一组数据中的最大数据与最小数据的差．极差能反映数据的变化范围，是最简单的度量数据波动的量． 3. 标准差就是方差的算术平方根. 课堂小结 结构导图 必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题 作业1 作业2 课后作业 $$