18.2.1矩形的性质定理及其应用复习讲义　2023—2024学年人教版八年级数学下册

矩形的性质定理及其应用复习讲义 题型 A 有关 “性质定理论证型”的应用问题 知识点概述 (1)矩形定义——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. (2)矩形性质: ① 具有平行四边形的所有性质； ② 四个角都是直角； ③对角线相等； ④矩形是以对边的中点连线所在直线为对称轴的轴对称图形； ⑤两条对角线把矩形分割为四个面积相等的等腰三角形. 【解说】 矩形的性质定理依据平行四边形的性质定理及通过三角形全等都可以得到证明. 【例1】 如图8-2-1,已知四边形ABCD 是矩形,对角线 AC、BD 相交于点O.求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°; (2) AC=BD. 【解析】 (1) 因为四边形ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 是平，且有一个角是直角，不妨设 所以 .所以. (2) 在 Rt△ABC 和 中，因为 ，所以ABC≌Rt△DCB,所以 AC=BD. 题型B 有关 “性质定理求解型”的应用问题 知识点概述 这是一类已知四边形是矩形的基础求解问题. 【解说】 (1)矩形性质应用的主要特征表现在： ① 矩形中有四个直角三角形，它们都是全等三角形；有四个等腰三角形(两对全等三角形)；当已知对角线的夹角为( 时，其中两个等腰三角形为等边三角形； ② 矩形中一定有一个直角，因此，可利用直角三角形的性质求线段的长度； ③ 矩形边、对角线之间有相等关系，可以借助全等三角形探求线段之间的关系，进行有关证明. (2)矩形的一个重要内容是“折叠问题”，依据轴对称变换性质证之. (3)证明题要牢固掌握证两线垂直的方法. (4)在有关矩形的计算型求解过程中，要充分利用矩形的性质，必要时要构造出矩形，然后方可进行求解计算. 题型B﹣I 线段求解型问题 知识点概述 有关矩形的线段求解，必须明确矩形的对边相等、对角线互相平分且相等. 【解说】 (1)化归成直角三角形求解，充分利用直角三角形及矩形的性质求解. (2)方程、整体思想方法的应用. 【例2】 如图8﹣2﹣2所示,点E 为矩形ABCD 的边AB 的中点,DF⊥CE 于点F,若AB=6,BC=4,求DF 的长. 【解析】 因为AE=EB,所以 所以在Rt△CBE 中,CB=4(已知),CE=5(勾股数组). 连接DE,过 E 作EG⊥CD,在△CDE中, 由三角形面积公式 DF×EC=EG×CD,所以 题型B﹣2 周长求解型问题 知识点概述 依据矩形周长=2×(长+宽)进行计算. 【解说】 “整体变换”求长与宽的和即为矩形周长之半. 【例3】 如图8-2-3,在矩形ABCD 中,E 为AD 边上的一点,EF⊥CE,交 AB 于点F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,求AE 的长. 【解析】 因为四边形ABCD 是矩形,所以∠A=∠D=90°. 因为EF⊥CE,所以∠1+∠2=90°.又因为∠1+∠AFE=90°, 所以∠2=∠AFE.在Rt△AFE 和Rt△DEC中,∠A=∠D=90°,∠AFE=∠2,EF=CE,所以 Rt△AFE≌Rt△DEC,所以AE=DC. 因为,矩形的周长为16,AD=AE+DE,DE=2,所以2AE+DE=8,所以AE=3. 【例4】 如图8﹣2﹣4,矩形ABCD 的周长为20cm,两条对角线相交于点O,过点OAC 的垂线EF,分别交AD、BC 于点E、F,连接CE,则△CDE 的周长为( ). A. 5cm B. 8cm C. 9 cm D. 10 cm 【解析】 因为O是矩形对角线的交点,EF⊥AC,则EF 平分AC,CE=AE,所以△CDE 的周长为 CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD. 20cm,则AD+CD=10 cm. 题型B﹣3 面积求解型问题 知识点概述 一般地，依据矩形面积公式 S矩形=长×宽或割补法进行计算. 【解说】 “整体变换”求长与宽的积即为矩形面积. 【例5】 如图8-2-5,将矩形纸片 ABCD 沿对角线BD 折叠,C点折到点( 交于E,设AB=a,BC=b,求重叠部分的面积. 【解析】 设DE=x,则BE=x,AE=b-x.在Rt△ABE 中,由 即 解得 题型B﹣4 角度求解型问题 知识点概述 有关矩形角度的求解，一般地，均需要借助平行线三线八角性质定理解之. 【解说】 有时须先证明四边形是矩形后，借助矩形两条对角线构成两对全等的等腰三角形求解. 【例6】 如图8-2-6,在矩形ABCD 中,DF 平分∠ADC 交AC 于点E,交 BC 于点,∠BDF=15°,求∠DOC 与∠COF 的度数. 【解析】 因为DF 平分∠ADC,所以∠FDC=45°. 又因为∠BDF=15°,所以∠BDC=∠FDC+∠BDF=60°. 在矩形 ABCD 中，由矩形的对角线相等且互相平分，得=OC.所以△DOC 是等边三角形.所以∠DOC=60°. 又因为在 Rt△DCF 中,∠FDC=45°,所以CF=CD=OC, 所以∠COF=∠CFO.又因为∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°, 所以 题型 C 有关 “性质定理证明型”的应用问题 知识点概述 这是一类已知四边形是矩形的基础证明问题. 【解说】 (1)首先需要借助已知矩形的性质，然后再依据题给其他条件做出正确推理. (2)此类问题常常需要借助三角形全等证之，但要充分利用矩形的性质，不要盲目利用“三角形全等法”，因为矩形的许多性质都是由三角形全等法导出的. 题型C﹣I 线段相等型证明问题 【例7】 如图8-2-7,已知四边形 ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点 P 在矩形上方，点 Q在矩形内.求证： (1)∠PBA=∠PCQ=30°; (2) PA=PQ. 【解析】 (1) 因为四边形ABCD 是矩形, 所以∠ABC=∠BCD=90°. 因为△PBC 和△QCD 都是等边三角形, 所以∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°, 所以∠PBA=∠ABC--∠PBC=30°,∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°, 所以∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°,所以∠PBA=∠PCQ=30°. (2) 因为四边形ABCD 是矩形,所以AB=DC. 因为△PBC和△QCD 都是等边三角形,所以PB=PC,QC=DC=AB. 因为AB=QC,PB=PC,∠PBA=∠PCQ,所以△PAB≌△PQC,所以PA=PQ. 题型C﹣2 线段和差型证明问题 【例8】 如图8-2-8,已知△ABC 是等腰三角形,AB=AC,D 是BC 边上任意一点,且DE⊥AB,DF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H,求证:DE+DF=CH. 【解析】 过点 D 作DG⊥CH,垂足为G. 因为DE⊥AB,CH⊥AB,所以∠AHC=∠AED=∠DGH=90°,所以四边形 DGHE 是矩形,所以DE=GH,DG∥AB,所以∠B=∠GDC.又因为AB=AC,所以∠GDC=∠B=∠ACB.又因为∠DGC=∠CFD=90°,DC=DC.所以△DGC≌△CFD.所以CG=DF.因为CH=GH+CG,所以DE+DF=CH. 题型 C−3 线段倍分型证明问题 【例9】 如图8-2-9所示,矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于O,AE⊥BO 于点E,且BE=OE,求证:AC=2AB. 【解析】 在矩形ABCD 中,AO=OC=BO=OD,因为AE⊥BO,BE=EO, 所以AB=AO(等腰三角形三线合一定理的逆定理)，所以AC=2AB. 题型 D 有关 “性质定理实际型”的应用问题 知识点概述 这是一类涉及矩形性质定理的联系实际的应用问题. 【解说】 综合性地运用题给条件及图形性质定理解之即可. 【例10】 小明家准备建造长为28 m的蔬菜大棚，示意图如图8-2-10(1)所示，它的8--2-10(2)所示的四边形ABCD,已知AB=3m,BC=6m,∠BCD=45°,⊥BC,D 到BC 的距离DE 为 1 m.矩形棚顶 及矩形 由钢架及塑料薄，造价为每平方米120元，其他部分(保温墙体等)造价共9250元，则这个大棚的总?(精确到1元) (下列数据可供参考： 【解析】 注意到非规则图形的面积一般须构造直角三角形、矩形等规则图形求解，其“割补法”. 过D 作DF⊥AB 于点 F.因为AB⊥BC,所以DF∥BC.又因为DE⊥BC,所以DE∥AB,所以四边形BEDF 是矩形.所以DE=BF=1,DF=BE.又因为∠BCD=45°,所以 又 BC=6,所以DF=BE=5.在 Rt△AFD 中,AF=2,DF=5,所以 所以S四边形ADD'A'= ×28≈150.9,S四边形所以总造价为((150.9+39.6)×120+9250=32110(元). 题型E 有关 “性质定理作图型”的应用问题 知识点概述 利用矩形性质的作图问题常常需要因题而异. 【解说】 (1)构造矩形. (2)利用矩形是轴对称图形，过对角线交点的直线平分矩形面积. 【例11】 (1) 如图8-2-11(1),O是矩形ABCD 对角线的交点,过 O 点作一直线分别交BC、AD 于点M、N.求证:四边形ABMN 的面积等于四边形CDNM 的面积. (2)现有如图8﹣2﹣11(2)所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案(不写作法，保留作图痕迹或简要的文字说明). 【解析】 (1)连接AC,则O为AC 的中点,在矩形ABCD 中,因为 所以 又. ，所以 所以 又 所以 所以 又 所以 所以四边形ABMN 的面积等于四边形CDNM 的面积. (2) 分割方案有多种,如图8-2-1(3)。 学科网（北京）股份有限公司 $$