第二讲 万有引力定律综合应用 讲义 -2023-2024学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

2024春季班 第二讲：万有引力定律综合 1、万有引力定律 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物质的质量m1、m2的乘积成正比，与他们之间距离r的二次方成反比。 公式：，G为比例系数，叫做引力常量，。 注意：公式适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力常量。 2、万有引力定律的应用 （1）行星表面和轨道重力加速度问题。 表面重力加速度：=mg，所以； 轨道上的重力加速度： ，所以。 （2）天体的质量M，密度ρ的估算。 ① 已知周期T和轨道半径r 由 得； 又。（R为天体的半径） ② 已知天体表面的重力加速度g和天体的半径R （3）卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系。 ①由G=m，得V=； （r越大，v越小）。 ②由，得T=2π； （r越大，T越大）。 ③由G= mrω2，得ω=； （r越大，ω越小）。 ④由可得：； (r越大，a向越小)。 （4）地球同步卫星和宇宙速度。 ①地球同步卫星 地球同步卫星，是相对于地面是静止的、和地球自转具有相同周期的卫星，T=24h。同步卫星必须位于赤道上空且距离地面的高度是一定的。地球同步卫星的周期为1天（24小时），离地高度约为3.6×104km，其轨道位于地球赤道的正上方。 ②宇宙速度 第一宇宙速度：v1=7.9km/s，是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度。 人造地球卫星的运行半径最小为r=6.4×103km，运行周期最小为T=84.8分钟，运行速度最大为v=7.9km/s。 第二宇宙速度：v2=11.2km/s，在地面附近发射飞行器，使其克服地球引力离开地球所需的最小速度。 第三宇宙速度：v3=16.7km/s，在地面附近发射飞行器，能够挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度。 （5）双星问题。 两个天体以同一点做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，两天体的角速度和向心力相同。 （6）天体问题综合问题。 天体运动问题的基本思路： （1）把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式： （2）在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即 ∴——黄金代换公式。 例1、如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星。下列说法正确的是 （ BD ） A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度 B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度 C．b、c运行周期相同，且小于a的运行周期 D．由于某种原因，a的轨道半径缓慢减小，a的线速度将变大 例2、地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则 （ AD ） A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度 B．a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度 C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度 D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度 例3、探测器探测到土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定 ( AD ) A．若v∝R，则该环是土星的一部分 B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群 C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分 D．若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群 例4、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是 (　BD　) A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 例5、经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2=3∶2，下列说法中正确的是 （ C ） A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2 B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2 C．m1做圆周运动的半径为L D．m2做圆周运动的半径为L 例6、银河系的恒星大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，到C点的距离为，的距离为，且，已知引力常数为G，下列说法正确的是（ ACD ） A．两星向心力相等 B．S1质量大于S2质量 C．两星作圆周运动角速度相等 D．S2质量为 例7、如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？ 解析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和．其中完整的均质球体对球外质点m的引力这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2之和，即F=F1+F2．因半径为R/2的小球质量M/为 则 所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力 例8、在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。 解析：以g＇表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m＇表示火星表面出某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有 ① ② 设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有 ③ ④ 由以上各式解得 ⑤ 1、在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是 （ A ） A．它们的质量可能不同 B．它们的速度可能不同 C．它们的向心加速度可能不同 D．它们离地心的距离可能不同 2、可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件 （ CD ） A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆 B．与地球表面上某一经度线是共面的同心圆 C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的 D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的 3、设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动。则与开采前相比 ( BD ) A．地球与月球的万有引力将变大 B．地球与月球的万有引力将变小 C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短 4、“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是 （ B ） A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比 B．两颗卫星的线速度一定相等 C．天体A、B的质量可能相等 D．天体A、B的密度一定相等 5、航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件.1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果，探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时 （ AC ） A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大 B．探测器运行的轨道半径将变大 C．探测器飞行的速率将变大 D．探测器飞行的速率将变小 6、人造地球卫星在环形轨道上绕地球运转，它的轨道半径、周期和环绕速度的关系是 （ B ） A．半径越小，速度越小，周期越小 B．半径越小，速度越大，周期越小 C．半径越大，速度越大，周期越小 D．半径越大，速度越小，周期越小 7、两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者重心连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是 （ BD ） A．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比 B．它们做圆周运动的线速度与其质量成反比 C．它们所受向心力与其质量成反比 D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比 8、据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运用周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 （ B ） A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月球运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度 9、两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1，则下列判断正确的是 （ D ） ① 两行星密度之比为4∶1 ② 两行星质量之比为16∶1 ③ 两行星表面处重力加速度之比为8∶1 ④ 两卫星的速率之比为4∶1 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 10、我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看作是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，下列判断中正确的是 （ BC ） A．飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径 B．飞船的运行速度大于同步卫星的运行速度 C．飞船运动的向心加速度大于同步卫星运动的向心加速度 D．飞船运动的角速度小于同步卫星的角速度 11、A、B两颗行星，各有一颗卫星，卫星轨道接近各自的行星表面，如果两行星的质量比为MA：MB=p，两行星的半径比为RA：RB=q，则两卫星的周期之比为 （ D ） A． B．q C．p D．q 12、2007年10月24日18时05分，我国成功发射了“嫦娥一号”探月卫星，11月5日进入月球轨道后，经历3次轨道调整，进入工作轨道。若卫星在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g，则 ( AC ) A．月球表面处的重力加速度g月为 B．月球的质量与地球的质量之比为 C．卫星在距月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期T月为 D．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 13、同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则 （ AD ） A．a1∶a2=r∶R B．a1∶a2=R2∶r2 C．v1∶v2=R2∶r2 D．v1∶v2=∶ 14、设地球半径为R0，质量为m 的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面重力加速度为g，则（ABC ） A．卫星的线速度为 B．卫星的角速度为 C．卫星的加速度为 D．卫星的周期为2 15、一宇航员站在某星球表面上，以水平速度v0抛出一物体，抛出点离星球表面高h，经时间t物体落到星球表面，已知该星球半径为R，忽略星球的自转，下列说法正确的是 （ AC ） A．该星球的质量为 B．该星球的质量为 C．该星球的第一宇宙速度为 D．该星球的第一宇宙速度为 16、我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为 （ D ） A． B． C． D． 17、据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道，关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是 ( BC ) A．运行速度大于7.9 km/s B．离地面高度一定，相对地面静止 C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 18、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （ ABC ） A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 19、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。 解析：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律，可得M1：G＝M1（）2 l1　 ∴M2＝。对M2：G＝M2（）2 l2　　∴M1＝ 两式相加得M1＋M2＝（l1＋l2）＝。 20、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计） ⑴求该星球表面附近的重力加速度g/； ⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。 [解析]⑴小球在地球上做竖直上抛运动，有。小球在星球上做竖直上抛运动，有， 故。 ⑵地（星）球表面物体所受重力大小近似于万有引力，即，得， 可解得：M星:M地＝112:542＝1:80 【答案】 1:80 21、我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。 ( A B C O O' D E )解：如图，O和O/　分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO/　与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在 运动时发出的信号被遮挡。 设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G ，根据万有引力定律有 　　　　　 ① ② 式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③ 设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有 ④ 式中， α＝∠CO/ A ，β＝∠CO/ B。由几何关系得 rcosα＝R－R1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤ r1cosβ＝R1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑥ 由③④⑤⑥式得 　　　　 　　　　　　　　　　 ⑦ 第 9 页 共 9 页 第2讲：万有引力定律综合 学科网（北京）股份有限公司 $$