空间向量与立体几何期末专题复习讲义-2023-2024学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第一册

高二下期期末热点空间向量与立体几何专题 热点解读 立体几何是高考中的必考内容，而空间向量也是立体几何最有效的解题方法之一，从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题，所以对于空间向量与立体几何结合的知识点务必熟练理解运用。 知识导图 解题妙计 1、空间向量的数乘运算 空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a 2、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有 3、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小（2）先求，再利用公式求，最后确定. 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 4、利用空间向量求模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：。 将其推广： 投影向量 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为 模拟预测 1．（2023高二下·江苏·期末）已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（      ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·江苏镇江·期末）一个轴截面为边长为6的正三角形的圆锥，用一个平行于圆锥底面的平面来截该圆锥，截得一个小圆锥和一个圆台，若截得小圆锥的底面面积等于，则截得的圆台体积为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·江苏扬州·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．4 5．（22-23高二下·江苏淮安·期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·江苏连云港·期末）在中，为斜边上异于的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 二、多选题 7、（22-23高二下·江苏淮安·期末）将边长为的正方形ABCD沿BD折成如图所示的直二面角，对角线BD的中点为O，下列说法正确的有（    ） A． B． C．二面角的正切值为 D．点B到平面ACD的距离为 8、（22-23高二下·江苏镇江·期末）已知正方体的边长为1，点分别是棱的中点，下列说法正确的有（    ） A． B．平面 C．平面截正方体的截面面积为 D．到平面的距离为 9、（22-23高二下·江苏盐城·期末）如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则下列说法正确的是（    ） A．当二面角的大小为时，直线与所成角为 B．当二面角的大小为时，直线与平面所成角的正弦值为 C．若，则二面角的余弦值为 D．若，则四面体外接球的表面积为 10、（22-23高二下·江苏扬州·期末）如图，设正方体的棱长为为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当为的中点时，点到平面的距离为 B．当为的中点时，记与平面的交点为，则 C．存在，使得异面直线与所成的角为 D．存在，使得点到直线的距离为 11、（22-23高二下·江苏淮安·期末）在正四棱锥中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值是 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，与所成角可能为 D．当时，与平面所成角正弦值的最大值为 12、（22-23高二下·江苏连云港·期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体的面内（含边界）移动，点为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，平面 B．为定值 C．的最小值为 D．当直线平面时，点的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度为1 三、填空题 13、（22-23高二下·江苏常州·期末）如图，在直三棱柱中，，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 14、（22-23高二下·江苏扬州·期末）已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则 . 15、（22-23高二下·江苏淮安·期末）在三棱柱中，点在线段上，且，若以为基底表示，则 ． 16、（22-23高二下·江苏连云港·期末）将边长为的正方形绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，与在平面的同侧，则异面直线与所成角的正切值为 . 17、（22-23高二下·江苏徐州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，，上，且满足，是的重心，若直线与平面所成角为，则的值为 ． 18、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为．若平面的方程为，则平面的一个法向量为 . 四、解答题 19、（22-23高二下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值. 20、（22-23高二下·江苏盐城·期末）已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥． (1)求与所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 21、（22-23高二下·江苏扬州·期末）如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且. (1)若,求证:平面; (2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 22、（22-23高二下·江苏淮安·期末）如图，正方体的棱长为1，点是对角线上异于，的点，记． (1)当为锐角时，求实数的取值范围； (2)当二面角的大小为时，求点到平面的距离． 23、（22-23高二下·江苏连云港·期末）如图，在三棱锥中，，平面平面. (1)求异面直线与间的距离； (2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 24、（22-23高二下·江苏南通·期末）如图，在正三棱柱中，D为的中点． (1)求证：； (2)若，，求点B到平面的距离． 25、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）在四棱柱中，，，，. (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； (3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由. 26、（22-23高二下·江苏徐州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上． (1)当为棱中点时，求证：； (2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 27、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点） (1)求点到面的距离； (2)求四棱锥外接球的体积； (3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下期期末热点空间向量与立体几何专题 热点解读 立体几何是高考中的必考内容，而空间向量也是立体几何最有效的解题方法之一，从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题，所以对于空间向量与立体几何结合的知识点务必熟练理解运用。 知识导图 解题妙计 1、空间向量的数乘运算 空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a 2、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有 3、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小（2）先求，再利用公式求，最后确定. 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 4、利用空间向量求模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：。 将其推广： 投影向量 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为 模拟预测 1．（2023高二下·江苏·期末）已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案. 【详解】因为， 所以 ， 故，故. 故选：B 2．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出点到平面的距离. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系 ，，，，，， 设平面的法向量为，，令，得 则点到平面的距离为. 故选：A 3．（22-23高二下·江苏镇江·期末）一个轴截面为边长为6的正三角形的圆锥，用一个平行于圆锥底面的平面来截该圆锥，截得一个小圆锥和一个圆台，若截得小圆锥的底面面积等于，则截得的圆台体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的结构特征，结合圆台的体积公式运算求解. 【详解】如图，为圆锥的轴截面，为圆锥底面的圆心， 则， 设截面半径为，则，解得， 可知截面直径，可得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：A. 4．（22-23高二下·江苏扬州·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得到，进而得到方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故选：A. 5．（22-23高二下·江苏淮安·期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 6．（22-23高二下·江苏连云港·期末）在中，为斜边上异于的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意作出相应图形，得到，记，，利用空间数量积的运算性质可得出，从而求得的最小值. 【详解】过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示： ，， 在中，，所以， 记，且，则， 所以，， 因为二面角的大小为，即为向量，的夹角为， ， 且， 所以 ， 则，当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，线段长度的最小值为4. 故选：A. 二、多选题 7、（22-23高二下·江苏淮安·期末）将边长为的正方形ABCD沿BD折成如图所示的直二面角，对角线BD的中点为O，下列说法正确的有（    ） A． B． C．二面角的正切值为 D．点B到平面ACD的距离为 【答案】AC 【分析】由面面垂直可得线面垂直，进而得线线垂直，根据勾股定理即可求解A,假设，进而得到矛盾，即可判断B，根据二面角的几何求法即可求解C,根据等体积法即可判断D. 【详解】因为平面平面,其交线为，且故平面，所以,由,所以,故A正确， 假若，又因为,则平面,进而,而这与矛盾，故不可能成立，故B错误， 取中点为，连接,因为,平面,故可得,进而可得平面,因此,故为二面角的平面角,,故C正确. ，故D错误. 故选：AC 8、（22-23高二下·江苏镇江·期末）已知正方体的边长为1，点分别是棱的中点，下列说法正确的有（    ） A． B．平面 C．平面截正方体的截面面积为 D．到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 所以，所以，故A正确， ,由于，故与不垂直，故与平面不可能垂直，故B错误， 分别取的中点，连接,则六边形即为平面截正方体的截面，由于六边形为边长为的正六边形，所以其面积为，故C正确， 设平面的法向量为，则 ，取，则，所以， 又 所以点到平面的距离为，故D正确， 故选：ACD 9、（22-23高二下·江苏盐城·期末）如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则下列说法正确的是（    ） A．当二面角的大小为时，直线与所成角为 B．当二面角的大小为时，直线与平面所成角的正弦值为 C．若，则二面角的余弦值为 D．若，则四面体外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】过作，且，连接，，即可得到即为直线与所成角，为二面角的平面角，由，即可求出、，即可判断A，取的中点，连接，，即可得到平面，从而得到即为直线与平面所成角，即可判断B，由A、B中，取的中点，连接，，即可得到即为二面角的平面角，即可判断C，四面体的外接球即为四棱锥的外接球，求出外接球的半径，即可判断D. 【详解】对于A、B，如图，过作，且，连接，， 由，，，所以，则为正方形， 则，即为直线与所成角，为二面角的平面角， 当时，易得， 又，，，平面，所以平面， 即面，面，所以，所以为等腰直角三角形， 故，即直线与所成角为，故A正确； 取的中点，连接，，因为为等边三角形，所以， 又面，面，所以， ，平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角，因为，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，过作，且，连接，， 由，，，所以，则为正方形，则， 又，，，平面，所以平面， 所以平面，为二面角的平面角， 若，则，所以，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为， 取的中点，连接，，则，所以， 由三垂线法可知即为二面角的平面角，又，所以， 所以，所以二面角的余弦值为，故C错误； 对于D，四面体的外接球即为四棱锥的外接球， 又平面，平面，所以平面平面， 所以将四棱锥补全为直三棱柱， 则四棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 设外接圆的半径为，则， 设四棱锥的外接球的半径为，则， 所以四棱锥的外接球的表面积， 故四面体外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD. 10、（22-23高二下·江苏扬州·期末）如图，设正方体的棱长为为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当为的中点时，点到平面的距离为 B．当为的中点时，记与平面的交点为，则 C．存在，使得异面直线与所成的角为 D．存在，使得点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断A，利用共线向量与共面向量基本定理判断B，利用异面直线夹角的向量公式判断C，利用点到直线距离的向量公式判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 当为的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 令得，又， 则点到平面的距离为，故A正确； 对于选项B：设，则， 又点M在平面内，则，所以，解得， 所以，，所以，正确； 设，，则，， 若异面直线与所成的角为，则， 平方化简得，解得，又，所以方程无解， 故点不存在，故C错误； ，，，所以， 则点到直线的距离为，平方化简得， 解得或，又，所以，故点存在，故D正确. 故选：ABD 11、（22-23高二下·江苏淮安·期末）在正四棱锥中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值是 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，与所成角可能为 D．当时，与平面所成角正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据向量关系可得为正方形内的点(包括边界)，设，根据正棱锥的性质结合条件可得判断A，根据棱锥的体积公式结合条件可判断B，根据线面角的求法结合条件可判断C，利用坐标法表示出线面角，然后利用导数求最值可判断D. 【详解】由，可得，其中，， 所以为正方形内的点(包括边界)， 在正四棱锥中，，，设，连接， 则平面，， 对A，由题可知，当重合时取等号，故A正确； 对B，当时，，即，故在线段上， 因为，所以三角形的面积为定值，而三棱锥的高为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对C，当时，，故在线段上， 由题可知平面，故平面， 所以为在平面内的射影，， 而在中，，所以，，故与所成角不可能为，故C错误； 对D，当时，，故在线段上， 如图以为原点建立空间直角坐标系，设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，设与平面所成角为， 所以， 设，，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，，故D正确. 故选：ABD. 12、（22-23高二下·江苏连云港·期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体的面内（含边界）移动，点为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，平面 B．为定值 C．的最小值为 D．当直线平面时，点的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度为1 【答案】ABD 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量可判断A；利用等体积法即可判断B；由两点间的距离公式求出，由二次函数的性质可判断C；根据面面平行的判定定理知点轨迹为线段，即可求出的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度即可判断D. 【详解】对于A，以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为正方体的棱长为2， 所以 ，，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则,取，则， 因为，所以， 所以，， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，设点到平面的距离为， 则所以，因为点在正方体的面内（含边界）移动， 又因为平面平面，所以点到平面的距离为定值， 又因为为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，设，， 所以，所以， 所以， 则 ，故C错误； 对于D，连接，由正方体的性质知，，平面，平面， 所以平面，，平面，平面， 所以平面，，所以平面平面， 因为点在正方体的面内（含边界）移动，当，则平面， 则平面，则点轨迹为线段， 取中点，连接，而△为等边三角形，则， 以A为球心，为半径的球截的长度为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 13、（22-23高二下·江苏常州·期末）如图，在直三棱柱中，，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】 【分析】设，由向量垂直的坐标表示可解得t，即可由向量法求得，从而求得结果. 【详解】由题意得，设，则有， ，由得.. 因为，，所以， 故异面直线与夹角的余值为. 故答案为：. 14、（22-23高二下·江苏扬州·期末）已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则 . 【答案】 【分析】 由题可知，，两边平方后，通过空间向量的混合运算可求得. 【详解】 ， ，． 故答案为： 15、（22-23高二下·江苏淮安·期末）在三棱柱中，点在线段上，且，若以为基底表示，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性关系结合图形运算即得. 【详解】在三棱柱中，点在线段上，且， 所以，， 所以 . 故答案为：. 16、（22-23高二下·江苏连云港·期末）将边长为的正方形绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，与在平面的同侧，则异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】设点在下底面圆周的射影为，连接，则，直线与所成角为或其补角，判断出的形状，即可得解. 【详解】设点在下底面圆周的射影为，连接，则， 所以，直线与所成角为或其补角，且， 连接、、，则，，所以，， 又因为，则为等边三角形，且， 因为平面，平面，则，故为等腰直角三角形， 故直线与所成角大小为，其正切值为. 故答案为：. 17、（22-23高二下·江苏徐州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，，上，且满足，是的重心，若直线与平面所成角为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是的重心，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 因为， 所以，令，则， 因为直线与平面所成角为， 所以（）， 所以，化简得， 解得或（舍去） 故答案为： 18、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为．若平面的方程为，则平面的一个法向量为 . 【答案】 (答案不唯一) 【分析】根据若平面方程为，则为该平面的法向量，从而可得答案. 【详解】因为经过点且法向量为的平面方程为 所以若平面方程为， 则为该平面的法向量， 可化为， 所以平面的一个法向量为， 故答案为：(答案不唯一) 四、解答题 19、（22-23高二下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由正三角形的性质可得，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）在正方形中，， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为  是正三角形，是的中点，则， 又，，平面， 所以平面； （2）取中点为，中点为，连接,建立如图所示的空间直角坐标系， , 所以, 设平面的法向量为，则 ，取，则， 由（1）知是平面的一条法向量，, 设平面与平面所成二面角的平面角为， 则 20、（22-23高二下·江苏盐城·期末）已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥． (1)求与所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）解：连接交于点， 因为四边形为正方形，所以，，， 翻折后，仍有，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为正方形的边长为，则， 则点、、、、， 所以，，， 则， 因此，与所成角的余弦值为. （2）解：设平面的法向量为，， 则，取，则， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 因为， 由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为. 21、（22-23高二下·江苏扬州·期末）如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且. (1)若,求证:平面; (2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时可得点分别为的中点,根据已知条件证明四边形为平行四边形,再依据线面平行的判定定理即可证明. （2）以为正交基底空间直角坐标系,写出各个点的坐标,根据直线与平面所成角的正弦值为求出值,再分别求出平面和平面的法向量,根据公式求解即可. 【详解】（1） 当时,,即点分别为的中点, 在直三棱柱中,,所以, 所以四边形为平行四边形,所以,， 又,所以, 所以四边形为平行四边形,则, 又因为平面平面, 所以平面. （2）平面,又,以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系, 则点, 由得, 所以. 设平面的一个法向量,则,即, 取,得, 设直线与平面所成角为,则, 得,解得或,又因为,所以. 而, 所以, 设平面的一个法向量为,则,即, 取,则, 又平面的一个法向量为,得, 观察得二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. 22、（22-23高二下·江苏淮安·期末）如图，正方体的棱长为1，点是对角线上异于，的点，记． (1)当为锐角时，求实数的取值范围； (2)当二面角的大小为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用坐标法，表示出向量，然后结合条件列出不等式，进而即得； （2）利用面面角的向量求法可得，然后利用点到平面的距离的向量求法即得. 【详解】（1）以为单位正交基底，建立空间直角坐标系． 则，，，． 因为，．则． 则，． 由为锐角，则且． 则．又， 所以； （2）设平面的法向量，则且，又， ，所以，． 令，则，． 故平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量．因为二面角为，则， 所以，解得． 因为，则． 则平面的一个法向量，又向量， 所以点到平面的距离． 23、（22-23高二下·江苏连云港·期末）如图，在三棱锥中，，平面平面. (1)求异面直线与间的距离； (2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）法一：根据等腰三角形性质得PO垂直AC，，根据线面垂直的判定定理得面，在面中，作，知为异面直线与间的距离可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，且可得，由异面直线与间的距离向量求法可得答案； （2）方法一：在平面内作，则平面，在平面内作，则，得为二面角的平面角，法一：设点到平面的距离为，利用得可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）法一：取中点，连接，由知， 又平面平面，平面平面，故平面， 连接，则， 又因为为中点，故， 面，故面， 在面中，作，则由知为异面直线与间的距离， 由，知， 即异面直线与间的距离为； 法二：取中点，连接，由知， 又平面平面，平面平面，故平面 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 则， 设，且， 则，令，则， 又，则异面直线与间的距离为； （2）由（1）知平面，可得平面平面， 如图，在平面内作，垂足为，则平面， 在平面内作，垂足为，联结， 平面，所以，且，平面， 所以平面，平面，所以 故为二面角的平面角，即， 设，则，在Rt中，， 在Rt中，由知，得， 法一：设点到平面的距离为，由，得，即， 又， 解得，则与平面所成角的正弦值为； 法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系如图， 则， ， 设平面的法向量为，则由， 知，令，则， 则与所成角的余弦值为， 则与平面所成角的正弦值. 24、（22-23高二下·江苏南通·期末）如图，在正三棱柱中，D为的中点． (1)求证：； (2)若，，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，即可得到线线垂直， （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）在正三棱柱中， 平面， 因为平面，所以； 在正三角形中，，D为中点， 所以； 又因为，平面， 所以平面； 因为平面， 所以． （2）连接，交于点O， 在正三棱柱中，侧面为平行四边形，所以O为的中点， 所以B到平面的距离等于到平面的距离； 设到平面的距离为， 因为，，所以正三角形的边长为， 所以，的面积为， 所以三棱锥的体积． 又， 在中，，， 所以， 所以， 从而，即． 所以点B到平面的距离为． 25、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）在四棱柱中，，，，. (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； (3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）直接利用空间向量线性运算可得，再根据已知关系，，进行化简可得出结果. （2）可设，不为)，由题意可化简得到，将代入并结合题意可化简得出，即可证明出四点共面. （3）先假设面面，根据棱柱的性质，可得出平面，进而得出，反之当，可判断出平面，平面，得出平面平面=，得出当时，直线是面和面的交线，反之不行，从而得出结果. 【详解】（1）= ==； （2）设，不为)， = 则，，共面且有公共点，则四点共面； （3）假设面面，在四棱柱中， ，面，面，则平面， 又面，面面，则； 反过来，当时，因为，则， 则确定平面 则平面， 又因为平面， 所以平面平面=， 所以是直线是面和面的交线的充要条件； 所以，当时，直线是面和面的交线； 当不平行时，直线不是面和面的交线 26、（22-23高二下·江苏徐州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上． (1)当为棱中点时，求证：； (2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）以为正交基底建立空间坐标系，设，由，即可证明； （2）分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以，又因为平面，，平面， 所以，．以为正交基底建立空间坐标系， 则，，，，． 当为棱中点时，，设， 则，， 所以，所以． （2）当为棱中点时，，设， 则，，，． 设平面的法向量为，则 取，则是平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则 取，则是平面的一个法向量． 设平面与平面所成角为， 则． 令，则， 所以当，即时，取最大值． 所以平面与平面所成的二面角余弦值的最大值为． 27、（22-23高二下·江苏宿迁·期末）如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点） (1)求点到面的距离； (2)求四棱锥外接球的体积； (3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）由已知可证得平面平面，取中点 ，连接 ，则有两两垂直，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解， （2）连接，则四边形的外接圆圆心在的中点，外接圆的圆心为的三等分点，过点圆心分别作两面垂线，则垂线交点即为球心，连接，求出其长度可得外接球的半径，从而可求出外接球的体积， （3）由，表示出点的坐标，然后利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，求出其最大值可得答案. 【详解】（1） 由，，，得 ，， 因为垂直平分， 所以， 所以为平面与平面的二面角的平面角， 所以 ，，所以为等边三角形， 取中点 ，连接 ，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 因为 所以为二面角的平面角， 所以， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设的一个法向量为 ，则 ，令，则 又， 所以点到面的距离； （2） 连接，由，则四边形的外接圆圆心在的中点， 为正三角形，则外接圆的圆心为的三等分点， 过点圆心分别作两面垂线，则垂线交点即为球心， 如图所示，连接，则即球的半径. 在中，， 则， 在中，， 所以由勾股定理得， 则球的体积 ； （3） 设，由得， 所以，得， ， 所以， 设直线与平面所成角为（）， 则 所以当时，取得最大值， 此时直线与平面所成角最大， 即当时，直线与平面所成角最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$