第8章 第3节 圆的方程（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 第三节　圆的方程 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 定点 定长 (a，b) r 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 圆外 圆上 圆内 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 × × √ 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 课时作业(四十四) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到____的距离等于____的所有点的集合或(轨迹) 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C____________ 半径为__ 方程 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C (－ eq \f(D,2) ，－ eq \f(E,2) ) 半径r＝ eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在____，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在____，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 1．判断正误 (1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　　) (2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　　) 2．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C．1 D．－1 A　解析：由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线2x＋y－1＝0上，即2a＋0－1＝0，解得a＝ eq \f(1,2) .故选A. 3．圆心为点C(8，－3)，且过点A(5，1)的圆的方程是(　　) A．(x－8)2＋(y＋3)2＝5 B．(x＋8)2＋(y－3)2＝5 C．(x＋8)2＋(y－3)2＝25 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25 答案：D 4．(多选)(2023·广东梅州模拟)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8 C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6 ABD　解析：圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，显然C不正确，ABD均正确． 5．当m∈________________时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，半径最大时，圆的一般方程为________________________． 答案：(－1，3)　x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 1．(2024·贵州贵阳模拟)“a<8”是“方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：(方法一)　因为方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆，所以22＋42－4a＞0，解得a<5，所以“a<8”是“a＜5”的必要不充分条件． (方法二)　方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－a表示圆，则需5－a＞0，解得a<5， 所以“a<8”是“a<5”的必要不充分条件． 2．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________________________． 答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(65,9) 或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5))) eq \s\up12(2) ＋(y－1)2＝ eq \f(169,25) 解析：依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过点(0，0)，(4，0)，(－1，1)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－4，,E＝－6，)) 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0， 即(x－2)2＋(y－3)2＝13； 若过点(0，0)，(4，0)，(4，2)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－4，,E＝－2，)) 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0， 即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过点(0，0)，(4，2)，(－1，1)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－\f(8,3)，,E＝－\f(14,3)，)) 所以圆的方程为x2＋y2－ eq \f(8,3) x－ eq \f(14,3) y＝0， 即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(65,9) ； 若过点(－1，1)，(4，0)，(4，2)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝－\f(16,5)，,D＝－\f(16,5)，,E＝－2，)) 易得D2＋E2－4F>0， 所以圆的方程为x2＋y2－ eq \f(16,5) x－2y－ eq \f(16,5) ＝0， 即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5))) eq \s\up12(2) ＋(y－1)2＝ eq \f(169,25) . 3．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A(－a，0)，B(a，0)，动点P满足 eq \f(|PA|,|PB|) ＝λ(其中a和λ是正常数，且λ≠1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为________________. 答案： eq \f(2aλ,|1－λ2|) 　解析：设P(x，y)，由动点P满足 eq \f(|PA|,|PB|) ＝λ(其中a和λ是正常数，且λ≠1)， 所以 eq \r(（x＋a）2＋y2) ＝λ eq \r(（x－a）2＋y2) ， 化简得x2＋ eq \f(2a（1＋λ2）,1－λ2) x＋a2＋y2＝0， 即 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(a（1＋λ2）,1－λ2))) eq \s\up12(2) ＋y2＝ eq \f(a2（1＋λ2）2,（1－λ2）2) －a2， 所以该圆半径r＝ eq \r(\f(a2（1＋λ2）2,（1－λ2）2)－a2) ＝ eq \f(2aλ,|1－λ2|) . 【例1】 (1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 (2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为____________________________． 答案：(1)A　(2)(x－ eq \f(3,2) )2＋(y－2)2＝ eq \f(5,4) 解析：(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1－2,2)，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－4，,y1＝2y＋2，)) 代入x2＋y2＝4， 得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4， 化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1． (2)设P(x，y)，圆心C(1，1). 因为P点是过点A的弦的中点，所以 eq \o(PA,\s\up13(→)) ⊥ eq \o(PC,\s\up13(→)) . 又因为 eq \o(PA,\s\up13(→)) ＝(2－x，3－y)， eq \o(PC,\s\up13(→)) ＝(1－x，1－y). 所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0， 所以点P的轨迹方程为(x－ eq \f(3,2) )2＋(y－2)2＝ eq \f(5,4) . 【变式】 若将本例(2)中点A(2，3)换成圆上的点B(1，4)，其他条件不变，则这些弦的中点P的轨迹方程为________________________． 答案：(x－1)2＋(y－ eq \f(5,2) )2＝ eq \f(9,4) 　解析：设P(x，y)， 圆心C(1，1). 当点P与点B不重合时，因为P点是过点B的弦的中点，所以 eq \o(PB,\s\up13(→)) ⊥ eq \o(PC,\s\up13(→)) . 又因为 eq \o(PB,\s\up13(→)) ＝(1－x，4－y)， eq \o(PC,\s\up13(→)) ＝(1－x，1－y). 所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0. 所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－ eq \f(5,2) )2＝ eq \f(9,4) ； 当点P与点B重合时，点P满足上述方程． 综上所述，点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－ eq \f(5,2) )2＝ eq \f(9,4) . 【练1】 (2023·江苏盐城模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.化简得(x－1)2＋y2＝1． 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1． (2)设线段PQ的中点为N(x，y). 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝ |ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0. 考向1　斜率型、距离型、截距型最值问题 【例2】 (2023·江苏盐城模拟)已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求 eq \f(y－3,x＋2) 的最大值和最小值； (3)求y－x的最大值和最小值． 解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 eq \r(2) . 又|QC|＝ eq \r(（2＋2）2＋（7－3）2) ＝4 eq \r(2) ， ∴|MQ|max＝4 eq \r(2) ＋2 eq \r(2) ＝6 eq \r(2) ， |MQ|min＝4 eq \r(2) －2 eq \r(2) ＝2 eq \r(2) . (2)可知 eq \f(y－3,x＋2) 表示直线MQ的斜率k. 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0. ∵直线MQ与圆C有交点， ∴ eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2)) ≤2 eq \r(2) ， 可得2－ eq \r(3) ≤k≤2＋ eq \r(3) ， ∴ eq \f(y－3,x＋2) 的最大值为2＋ eq \r(3) ，最小值为2－ eq \r(3) . (3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0. 当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值， ∴ eq \f(|2－7＋b|,\r(12＋（－1）2)) ＝2 eq \r(2) ， ∴b＝9或b＝1． ∴y－x的最大值为9，最小值为1． 考向2　利用对称性求最值 【例3】 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，求|PA|＋|PQ|的最小值． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 求出点A关于直线的对称点B，将问题转化为求点B与圆心的距离问题 解：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5， 则圆心C(2，1)，半径r＝ eq \r(5) . 设A关于直线x＋y＋2＝0的对称点B(a，b)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(2＋b,2)＋2＝0，,\f(b－2,a)＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－2，)) ∴B(－4，－2)， 连接A′C交圆C于Q，∴|PA|＋|PQ|的最小值是|BC|－r＝ eq \r(（2＋4）2＋（1＋2）2) － eq \r(5) ＝2 eq \r(5) . 【练2】 (1)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5 eq \r(2) －4 B． eq \r(17) －1 C．6－2 eq \r(2) D． eq \r(17) (2)(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则 eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(PB,\s\up13(→)) 的最大值为________________． 答案：(1)A　(2)12　解析：(1)圆心C1(2，3)，C2(3，4)， 作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)， 连接C1′C2与x轴交于点P， 此时|PC1|＋|PC2|取得最小值，则|PM|＋|PN|也取得最 小值， 为|C1′C2|－1－3＝5 eq \r(2) －4. (2)由题意得 eq \o(PA,\s\up13(→)) ＝(2－x，－y)， eq \o(PB,\s\up13(→)) ＝(－2－x，－y)， 所以 eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(PB,\s\up13(→)) ＝x2＋y2－4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1， 故x2＝－(y－3)2＋1， 所以 eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(PB,\s\up13(→)) ＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12. 易知2≤y≤4，所以当y＝4时， eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(PB,\s\up13(→)) 的值最大，最大值为6×4－12＝12. $$