第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 逆时针 重合 0 [0，π) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 (1，k) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 y＝kx＋b y－y0＝ k(x－x0) 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 × × × √ 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第八章　解析几何 谢谢观看！ 课标解读 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式). 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按______方向绕着交点旋转到和直线l首次____时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常倾斜角用α表示． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__． (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是___________． 2．直线的斜率 (1)定义：称k＝________(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝__________＝tan α. ②若k是直线l的斜率，则v＝___________是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝ eq \f(y,x) . eq \f(y2－y1,x2－x1) eq \f(y2－y1,x2－x1) 3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截 式 纵截距、斜率 ____________ 与x轴不垂 直的直线 点斜 式 过一点、斜率 ______________ ______________ 两点 式 过两点 _______________ 与两坐标轴均不垂直的直线 eq \f(y－y1,y2－y1) ＝ eq \f(x－x1,x2－x1) 名称 几何条件 方程 适用条件 截距 式 纵、横截距 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般 式 — Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 1．判断正误 (1)直线的倾斜角越小，其斜率就越小．(　　　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　　) 2．设直线l的方程为x sin θ－y＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A．[0，π] B．[0， eq \f(π,4) ] C．[ eq \f(π,4) ， eq \f(3π,4) ] D．[0， eq \f(π,4) ]∪[ eq \f(3π,4) ，π) 答案：D 3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 4．(多选)下列说法正确的是(　　) A．有的直线斜率不存在 B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 eq \f(3π,4) D．截距可以为负值 答案：ABD 5．直线x＝－2与直线 eq \r(3) x－y＋1＝0的夹角为________________________． 答案： eq \f(π,6) 　解析：由于直线x＝－2的斜率不存在，倾斜角为 eq \f(π,2) ，直线 eq \r(3) x－y＋1＝0的斜率为 eq \r(3) ，倾斜角为 eq \f(π,3) ，故夹角为 eq \f(π,6) . 6．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 D　解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2. 2．(2024·青岛模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A．k≥ eq \f(1,2) B．k≤－2 C．k≥ eq \f(1,2) 或k≤－2 D．－2≤k≤ eq \f(1,2) D　解析：直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)， ∴kPA＝ eq \f(3－1,1－2) ＝－2，kPB＝ eq \f(－1－1,－2－2) ＝ eq \f(1,2) . 又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交， ∴－2≤k≤ eq \f(1,2) . 3．直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________________． 答案： eq \b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) )　解析：直线l的斜率k＝ eq \f(1＋m2,3－2) ＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1．又y＝tan α在(0， eq \f(π,2) )上是增函数，所以 eq \f(π,4) ≤α< eq \f(π,2) . 1．(多选)(2023·广东湛江模拟)过点(－3，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是(　　) A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0 AB　解析：当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点(－3，1)的坐标代入得k＝－ eq \f(1,3) ，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,a) ＝1，将点(－3，1)的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0. 2．(2024·重庆凤鸣山中学月考)已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0 B　解析：因为B(3，1)，C(1，3)，所以kBC＝ eq \f(3－1,1－3) ＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1，1)，所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0. 3．(2023·江苏扬州模拟)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________________． 答案：2x＋3y－5＝0　解析：联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.)) ∴直线过点(1，1). ∵直线的方向向量v＝(－3，2)， ∴直线的斜率k＝－ eq \f(2,3) ， 则直线的方程为y－1＝－ eq \f(2,3) (x－1)， 即2x＋3y－5＝0. 考向1　直线过定点问题 【例1】 已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________________； (2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________________； (3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________________. 答案：(1)(0，3)　(2)(－3，0)　(3)(3，0) 解析：(1)当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0). 考向2　与直线方程有关的最值问题 【例2】 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 (方法一)设直线方程的点斜式，分别求出A，B两点的坐标，进而表示出三角形的面积，再利用基本不等式求最值，从而求出直线l的方程． (方法二)设出直线方程的截距式，利用直线过定点，得到定值，利用基本不等式求出三角形面积的最小值后再求直线l的方程 解：(方法一)　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A(2－ eq \f(1,k) ，0)，B(0，1－2k)， S△AOB＝ eq \f(1,2) (1－2k)·(2－ eq \f(1,k) )＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋（－4k）＋（－\f(1,k)）)) ≥ eq \f(1,2) ×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－ eq \f(1,k) ， 即k＝－ eq \f(1,2) 时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－ eq \f(1,2) (x－2)，即x＋2y－4＝0. (方法二)　设直线l： eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1，且a>0，b>0.因为直线l过点M(2，1)，所以 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，则1＝ eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ≥2 eq \r(\f(2,ab)) ，故ab≥8，故S△AOB的最小值为 eq \f(1,2) ×ab＝ eq \f(1,2) ×8＝4，当且仅当 eq \f(2,a) ＝ eq \f(1,b) ＝ eq \f(1,2) 时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l： eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,2) ＝1，即x＋2y－4＝0. 【变式】 在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：由本例方法二知， eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)( eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) )＝3＋ eq \f(a,b) ＋ eq \f(2b,a) ≥3＋2 eq \r(2) ， 当且仅当 eq \f(a,b) ＝ eq \f(2b,a) ，即a＝2＋ eq \r(2) ，b＝1＋ eq \r(2) 时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋ eq \r(2) y－2－ eq \r(2) ＝0. 【练】 (2024·南京一中月考)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程． (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，)) ∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1). (2)解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－ eq \f(1＋2k,k) ，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，)) 解得k>0； 当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞). (3)解：由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0)) ，B(0，1＋2k). 依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，)) 解得k>0. ∵S＝ eq \f(1,2) ·|OA|·|OB|＝ eq \f(1,2) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k))) ·|1＋2k|＝ eq \f(1,2) · eq \f(（1＋2k）2,k) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4)) ≥ eq \f(1,2) ×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k＝ eq \f(1,k) ，即k＝ eq \f(1,2) 时等号成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. $$