第7章 微专题系列之数学探究——确定球心巧解“切”“接”问题（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七章　立体几何 微专题系列之数学探究——确定球心巧解“切”“接”问题 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 课时作业(三十六) 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 球与其他几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养． 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是 类型1　由球的定义确定球心 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心． 1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； 2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； 3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； 4．正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到． 【例1】 若正三棱柱ABC­A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为________________． [思维过程] 明确目标→求球的表面积． 提取信息→已知正三棱柱的底面边长和侧棱长． 建立联系→确定球心位置，构造直角三角形，利用勾股定理求球的半径，从而求球的表面积． 思路导引→如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中点O即为外接球的球心． 由题意得， 在Rt△OAH中，AH＝ eq \f(2\r(3),3) ，OH＝ eq \f(1,2) ， 则外接球的半径R＝OA＝ eq \r(AH2＋OH2) ＝ eq \r(\f(19,12)) ， 表面积S＝4πR2＝ eq \f(19π,3) . 则外接球的半径R＝OA＝ eq \r(AH2＋OH2) ＝ eq \r(\f(19,12)) ， 表面积S＝4πR2＝ eq \f(19π,3) . 答案： eq \f(19π,3) 【练1】 已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝ eq \r(2) ，∠BAC＝120°，AA1＝2，则球O的表面积为________________． 答案：12π　解析：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为D，E，则三棱柱外接球的球心为DE的中点O，连接OC，CD，设外接球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r， 在△ABC中，AB＝AC＝ eq \r(2) ，∠BAC＝120°， 由余弦定理得BC＝ eq \r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2－2×\r(2)×\r(2)×（－\f(1,2)）) ＝ eq \r(6) ， 由正弦定理可得2r＝ eq \f(\r(6),sin 120°) ＝2 eq \r(2) ，所以r＝ eq \r(2) ， 在△OCD中，OC2＝OD2＋CD2，则R2＝r2＋1＝3， 所以球O的表面积S＝4πR2＝12π. 类型2　构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 【例2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 eq \r(3) ，则其外接球的体积是________________． [思维过程] 明确目标→求三棱锥外接球的体积． 提取信息→三棱锥三个侧面两两垂直且侧棱长均为 eq \r(3) . 建立联系→补形为正方体，确定球心，求出外接球半径，从而求外接球的体积． 思路导引→三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 eq \r(3) ， 则可将三棱锥补形成正方体．从而其外接球的直径为3，半径为 eq \f(3,2) ， 故所求外接球的体积V＝ eq \f(4π,3) ×( eq \f(3,2) )3＝ eq \f(9π,2) . 答案： eq \f(9π,2) 【练2】 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．8π B．6π C．11π D．5π B　解析：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF.三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，即为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为 eq \r(1＋1＋4) ＝ eq \r(6) . ∴球的半径为 eq \f(\r(6),2) ，∴球的表面积为4π·( eq \f(\r(6),2) )2＝6π.故选B. 类型3　由球的性质确定球心 【例3】 正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为 eq \r(3) ，侧棱长为2，则球O的表面积为________________． [思维过程] 明确目标→求球的表面积． 提取信息→正三棱锥内接于球O，底面边长及侧棱长均已知． 建立联系→设出外接球的半径，确定球心位置，构造直角三角形，利用勾股定理求解外接球的半径，进而求体积． 思路导引→如图，设三棱锥A­BCD的外接球的半径为r，M为正△BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝ eq \r(3) ， AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝ eq \r(3) ，又OA＝OD＝r， 所以( eq \r(3) －r)2＋1＝r2，解得r＝ eq \f(2\r(3),3) ， 所以球O的表面积S＝4πr2＝ eq \f(16π,3) . 答案： eq \f(16π,3) 【练3】 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2 eq \r(3) ，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________________． 答案： eq \r(2) －1　解析：如图，在正三棱锥P­ABC中，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． ∵AB＝2 eq \r(3) ， ∴S△ABC＝3 eq \r(3) ，DE＝1，PE＝ eq \r(2) ，∴S△PBC＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(3) × eq \r(2) ＝ eq \r(6) .∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝ eq \f(1,3) ×3 eq \r(3) ×1＝ eq \r(3) . 设内切球半径为R， 又V＝VO­ABC＋VO­PBC＋VO­PAC＋VO­PAB＝ eq \f(1,3) S△ABC·R＋3× eq \f(1,3) S△PBC·R＝( eq \r(3) ＋ eq \r(6) )R＝ eq \r(3) ，可得R＝ eq \r(2) －1． $$