第7章 第5节 空间向量及其运算（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七章　立体几何 第五节　空间向量及其运算 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 大小 方向 相同 相等 相反 相等 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 平行 重合 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 a＝λb 唯一 xa＋yb xa＋yb＋zc 基 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 [0，π] 互相垂直 |a||b|cos 〈a，b〉 |a||b|cos 〈a，b〉 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 ||b|cos 〈a，b〉| |b|cos 〈a，b〉a0. |b|cos 〈a，b〉 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 x1x2＋y1y2＋z1z2 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 法向量 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 l⊥n1 n1∥n2 l⊥m l∥n1 n1⊥n2 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 × × × × 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 3．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 4．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 5．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 6．掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示． 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有____和____的量 相等向量 方向____且模____的向量 相反向量 方向____且模____的向量 名称 定义 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相____或____的向量 共面向量 能平移到同一平面内的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量基本定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得_________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在____的有序实数对(x，y)，使p＝___________． (3)空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________． {a，b，c}叫作空间的一组基，其中a，b，c都叫作__向量． 3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是__________，若〈a，b〉＝ eq \f(π,2) ，则称a与b________，记作a⊥b.规定：零向量与任意向量垂直． (2)两向量的数量积：已知两个空间向量a，b，把_______________________叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝_________________________． (3)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. (4)投影向量与投影数量 ①已知两个非零向量a，b，在空间任取一个点O，作 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量OB1为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于____________________________． ②若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为OB1＝___________________________. 因此，称_______________________为投影向量OB1的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量． 4．空间向量运算的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量表示 坐标表示 数量 积 a·b __________________________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2 垂直 a⊥b⇔a·b＝0 ____________________________ 模 |a| eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋z eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ) 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋z eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) )·\r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋z eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) )) 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称__为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的______，则n⊥α. eq \o(AB,\s\up13(→)) 6．空间位置关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 (1)l∥m或l与m重合⇔l∥m； (2)l∥α或l⊂α⇔________________； (3)α∥β或α与β重合⇔__________________； (4)l⊥m⇔________________； (5)l⊥α⇔__________________； (6)α⊥β⇔________________． 1．判断正误 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　　) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　　) 2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与D1M相等的是(　　) A．－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c B． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c C． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c D．－ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c 答案：C 3．(多选)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(　　) A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c 答案：ABD 4．平面α的法向量为n＝(1，－1，2)， eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝(2，0，－1)，那么直线AB与平面α的关系是________________． 答案：AB∥α或AB⊂α　解析：因为 eq \o(AB,\s\up13(→)) ·n＝0，所以 eq \o(AB,\s\up13(→)) ⊥n，则AB∥α或AB⊂α. 5．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足 eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) eq \o(BC,\s\up13(→)) ，则点M________________(填“属于”或“不属于”)平面ABC. 答案：属于　解析：∵ eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) eq \o(BC,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) ( eq \o(OC,\s\up13(→)) － eq \o(OB,\s\up13(→)) )＝ eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(2,5) eq \o(OC,\s\up13(→)) ， 又 eq \f(1,5) ＋ eq \f(2,5) ＋ eq \f(2,5) ＝1， ∴M，A，B，C四点共面． 即点M∈平面ABC. 6．设μ，ν分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2，2，5)，当ν＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为________________；当ν＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________________． 答案：α⊥β　α∥β 1．(多选)(2023·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN， eq \o(ON,\s\up13(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(OM,\s\up13(→)) ，设 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up13(→)) ＝b， eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝c，则下列等式成立的是(　　) A． eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) c B． eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a C． eq \o(AP,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,4) b－ eq \f(1,4) c－ eq \f(3,4) a D． eq \o(OP,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c BD　解析：对于A，利用向量的平行四边形法则， eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c，A错误； 对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得 eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝ eq \o(ON,\s\up13(→)) － eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(OM,\s\up13(→)) － eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝ eq \f(2,3) ( eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up13(→)) )－ eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up13(→)) － eq \o(OA,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a，B正确； 对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以 eq \o(AP,\s\up13(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝ eq \f(3,4) ( eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a)＝ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c－ eq \f(3,4) a，C错误； 对于D， eq \o(OP,\s\up13(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(AP,\s\up13(→)) ＝a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c－ eq \f(3,4) a＝ eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c，D正确． 2．在空间四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝(－3，5，2)， eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则 eq \o(EF,\s\up13(→)) 的坐标为(　　) A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) B　解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点， 设O为坐标原点，所以 eq \o(EF,\s\up13(→)) ＝ eq \o(OF,\s\up13(→)) － eq \o(OE,\s\up13(→)) ， eq \o(OF,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OD,\s\up13(→)) )， eq \o(OE,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up13(→)) ). 所以 eq \o(EF,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OD,\s\up13(→)) )－ eq \f(1,2) ( eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up13(→)) )＝ eq \f(1,2) ( eq \o(BA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(CD,\s\up13(→)) )＝ eq \f(1,2) [(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝ eq \f(1,2) (－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3). 3．(2023·广东惠州模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若 eq \o(AF,\s\up13(→)) ＝x eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋y eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋zAA1，则x－y＋z等于(　　) A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(3,2) D．2 B　解析：连接DF，DC1， eq \o(AF,\s\up13(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋ eq \o(DF,\s\up13(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) (DD1＋D1C1)＝ eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) (AA1＋A1B1)＝ eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) (AA1＋ eq \o(AB,\s\up13(→)) )＝ eq \o(AD,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) AA1， 则x＝1，y＝ eq \f(1,2) ，z＝ eq \f(1,2) ，则x－y＋z＝1． 考向1　共线向量定理的应用 1．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) A．2， eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,3) ， eq \f(1,2) C．－3，2 D．2，2 A　解析： ∵a∥b，∴b＝ka(k∈R)， 即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2)．)) 2．(多选)(2023·武汉质检)下列说法中正确的是(　　) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若 eq \o(AB,\s\up13(→)) ， eq \o(CD,\s\up13(→)) 共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若 eq \o(OP,\s\up13(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \o(OC,\s\up13(→)) ，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有 eq \o(PA,\s\up13(→)) ＝ eq \o(λPB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(μPC,\s\up13(→)) ( eq \o(PB,\s\up13(→)) ， eq \o(PC,\s\up13(→)) 不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 CD　解析：由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A错误； 若 eq \o(AB,\s\up13(→)) ， eq \o(CD,\s\up13(→)) 共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B错误； 由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若 eq \o(OP,\s\up13(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \o(OC,\s\up13(→)) ，因为 eq \f(3,4) ＋ eq \f(1,8) ＋ eq \f(1,8) ＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有 eq \o(PA,\s\up13(→)) ＝ eq \o(λPB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(μPC,\s\up13(→)) ( eq \o(PB,\s\up13(→)) ， eq \o(PC,\s\up13(→)) 不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得 eq \o(PA,\s\up13(→)) － eq \o(PC,\s\up13(→)) ＝λ( eq \o(PB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(CP,\s\up13(→)) )，即 eq \o(CA,\s\up13(→)) ＝ eq \o(λCB,\s\up13(→)) ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确． 考向2　共面向量定理的应用 3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,3) ( eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up13(→)) ). (1)判断 eq \o(MA,\s\up13(→)) ， eq \o(MB,\s\up13(→)) ， eq \o(MC,\s\up13(→)) 三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由已知 eq \o(OA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝3 eq \o(OM,\s\up13(→)) ， ∴ eq \o(OA,\s\up13(→)) － eq \o(OM,\s\up13(→)) ＝( eq \o(OM,\s\up13(→)) － eq \o(OB,\s\up13(→)) )＋( eq \o(OM,\s\up13(→)) － eq \o(OC,\s\up13(→)) )， 即 eq \o(MA,\s\up13(→)) ＝ eq \o(BM,\s\up13(→)) ＋ eq \o(CM,\s\up13(→)) ＝－ eq \o(MB,\s\up13(→)) － eq \o(MC,\s\up13(→)) ， ∴ eq \o(MA,\s\up13(→)) ， eq \o(MB,\s\up13(→)) ， eq \o(MC,\s\up13(→)) 共面． (2)由(1)知 eq \o(MA,\s\up13(→)) ， eq \o(MB,\s\up13(→)) ， eq \o(MC,\s\up13(→)) 共面且过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内． 4．如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足 eq \o(AM,\s\up13(→)) ＝kAC1， eq \o(BN,\s\up13(→)) ＝k eq \o(BC,\s\up13(→)) (0≤k≤1).判断向量 eq \o(MN,\s\up13(→)) 是否与向量 eq \o(AB,\s\up13(→)) ，AA1共面． 解：∵ eq \o(AM,\s\up13(→)) ＝kAC1， eq \o(BN,\s\up13(→)) ＝k eq \o(BC,\s\up13(→)) ， ∴ eq \o(MN,\s\up13(→)) ＝ eq \o(MA,\s\up13(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(BN,\s\up13(→)) ＝ kC1A＋ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋k eq \o(BC,\s\up13(→)) ＝k(C1A＋ eq \o(BC,\s\up13(→)) )＋ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝ k(C1A＋B1C1)＋ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝kB1A＋ eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up13(→)) －kAB1＝ eq \o(AB,\s\up13(→)) －k(AA1＋ eq \o(AB,\s\up13(→)) )＝(1－k) eq \o(AB,\s\up13(→)) －kAA1， ∴由共面向量定理知向量 eq \o(MN,\s\up13(→)) 与向量 eq \o(AB,\s\up13(→)) ，AA1共面． 【例1】 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1) eq \o(EF,\s\up13(→)) · eq \o(BA,\s\up13(→)) ；(2) eq \o(EG,\s\up13(→)) · eq \o(BD,\s\up13(→)) . 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)选择基底，用基底向量表示 eq \o(EF,\s\up13(→)) ， eq \o(BA,\s\up13(→)) ； (2)用基底表示 eq \o(EG,\s\up13(→)) ， eq \o(BD,\s\up13(→)) 后再进行数量积运算 解：设 eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝b， eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°. (1) eq \o(EF,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) c－ eq \f(1,2) a， eq \o(BA,\s\up13(→)) ＝－a， 所以 eq \o(EF,\s\up13(→)) · eq \o(BA,\s\up13(→)) ＝( eq \f(1,2) c－ eq \f(1,2) a)·(－a)＝ － eq \f(1,2) a·c＋ eq \f(1,2) a2＝－ eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) . (2) eq \o(EG,\s\up13(→)) ＝ eq \o(EB,\s\up13(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up13(→)) ＋ eq \o(CG,\s\up13(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋( eq \o(AC,\s\up13(→)) － eq \o(AB,\s\up13(→)) )＋ eq \f(1,2) ( eq \o(AD,\s\up13(→)) － eq \o(AC,\s\up13(→)) )＝ － eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up13(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c， eq \o(BD,\s\up13(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up13(→)) － eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝c－a. 所以 eq \o(EG,\s\up13(→)) · eq \o(BD,\s\up13(→)) ＝(－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c)·(c－a)＝ eq \f(1,2) a2－ eq \f(1,2) a·b＋ eq \f(1,2) b·c＋ eq \f(1,2) c2－a·c＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) . 【练1】 (2023·湖北襄阳一中模拟)如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值． (1)解：记 eq \o(AB,\s\up13(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝b，AA1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝ eq \f(1,2) . |AC1|2＝(a＋b＋c)2＝ a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝ 1＋1＋1＋2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2))) ＝6， ∴|AC1|＝ eq \r(6) ，即AC1的长为 eq \r(6) . (2)证明：∵AC1＝a＋b＋c， eq \o(BD,\s\up13(→)) ＝b－a， ∴AC1· eq \o(BD,\s\up13(→)) ＝(a＋b＋c)·(b－a)＝ a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0， ∴AC1⊥ eq \o(BD,\s\up13(→)) ，∴AC1⊥BD. (3)解：BD1＝b＋c－a， eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝a＋b， ∴|BD1|＝ eq \r(2) ，| eq \o(AC,\s\up13(→)) |＝ eq \r(3) ， BD1· eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝(b＋c－a)·(a＋b)＝ b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos 〈BD1， eq \o(AC,\s\up13(→)) 〉＝ eq \f(BD1·\o(AC,\s\up13(→)),|BD1||\o(AC,\s\up13(→))|) ＝ eq \f(\r(6),6) ， ∴AC与BD1夹角的余弦值为 eq \f(\r(6),6) . 【例2】 (2023·深圳外国语学校月考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ eq \f(\r(2),2) AD，设E，F分别为PC，BD的中点． (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PDC. 证明：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF. 因为PA＝PD， 所以PO⊥AD. 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. 又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB. 又ABCD是正方形，所以OF⊥AD. 因为PA＝PD＝ eq \f(\r(2),2) AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝ eq \f(a,2) . 以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0)) ，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，0)) ，D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，0)) ， P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(a,2))) ，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，0)) ，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，a，0)) . 因为E为PC的中点，所以E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，\f(a,2)，\f(a,4))) . 易知平面PAD的一个法向量为 eq \o(OF,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，0)) ， 因为 eq \o(EF,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0，－\f(a,4))) ， 且 eq \o(OF,\s\up13(→)) · eq \o(EF,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，0)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0，－\f(a,4))) ＝0， 又因为EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD. (2)因为 eq \o(PA,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，－\f(a,2))) ， eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝(0，－a，0)， 所以 eq \o(PA,\s\up13(→)) · eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，－\f(a,2))) ·(0，－a，0)＝0， 所以 eq \o(PA,\s\up13(→)) ⊥ eq \o(CD,\s\up13(→)) ，所以PA⊥CD. 又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC， 所以PA⊥平面PDC. 又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC. 【练2】 (2022·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D A　解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D， 所以EF⊥平面BDD1， 又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AB＝2， 则B1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，2)) ，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，0)) ，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，0)) ，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，0)) ，A1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，2)) ，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，0)) ，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，0)) ，C1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，2)) ， 则 eq \o(EF,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，0)) ，EB1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，2)) ， eq \o(DB,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，0)) ，DA1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，2)) ，AA1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，2)) ， eq \o(AC,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2，0)) ，A1C1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2，0)) ， 设平面B1EF的法向量为m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1，z1)) ， 则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(EF,\s\up13(→))＝－x1＋y1＝0,m·EB1＝y1＋2z1＝0)) ， 可取m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，－1)) ， 同理可得平面A1BD的法向量为n1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，－1)) ， 平面A1AC的法向量为n2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0)) ， 平面A1C1D的法向量为n3＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，－1)) ， 则m·n1＝2－2＋1＝1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行， 所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误； 因为m与n3不平行， 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误． 【练3】 (2022·山东枣庄模拟)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz. 设DC＝a. (1)连接AC交BD于点G，连接EG. 依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2))) . 因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点， 故点G的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，0)) ， 所以 eq \o(PA,\s\up13(→)) ＝(a，0，－a)， eq \o(EG,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，－\f(a,2))) ， 则 eq \o(PA,\s\up13(→)) ＝2 eq \o(EG,\s\up13(→)) ，故PA∥EG. 又EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a，a，0)，所以 eq \o(PB,\s\up13(→)) ＝(a，a，－a). 又 eq \o(DE,\s\up13(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2))) ， 故 eq \o(PB,\s\up13(→)) · eq \o(DE,\s\up13(→)) ＝0＋ eq \f(a2,2) － eq \f(a2,2) ＝0，所以PB⊥DE， 由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD. $$