第7章 第4节 直线、平面垂直的判定与性质（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七章　立体几何 第四节　直线、平面垂直的判定与性质 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 任意 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 两条相交直线 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 平行 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 直二面角 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 垂线 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 交线 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 × × × × 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的____一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. “任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线____ 线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须是相交的. 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面垂直 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 1．判断正误 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　　) 2．(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　　) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β BD　解析：A项，如图①，a⊂α，b⊂β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错误； B项，如图②，a⊂α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B正确； C项，如图③，a⊂α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错误； D项，如图④，由两平面垂直的性质定理可知D正确． 3．(多选)下列命题正确的是(　　) A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 答案：AC 4．(多选)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　) A．α⊥γ，β∥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 答案：AD 5．已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________． 答案：平行、相交或异面　解析：若a，b，c在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． 6．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________________心． 答案：(1)外　(2)垂　解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心． INCLUDEPICTURE "6T0067.TIF" 　　　　 图1　　　　　　　　 　 　图2 (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB. 因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC. 又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心． 1．(多选)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　) A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β ABD　解析：若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β，故B正确；若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确． 2．(多选)在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，下列结论正确的是(　　) A．异面直线SB与AC所成的角为90° B．直线SB⊥平面ABC C．平面SBC⊥平面SAC D．点C到平面SAB的距离是a ABC　解析：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故A正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故B，C正确；取AB的中点E，连接CE(图略)，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为 eq \f(1,2) a，故D不正确． 考向1　线面垂直的判定与性质 【例1】 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝ eq \f(5,4) ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝ eq \r(10) .求证：D′H⊥平面ABCD. 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 利用线面垂直的判定定理证明．折叠后EF⊥D′H，再通过勾股定理证明D′H⊥OH，进而证明D′H⊥平面ABCD 证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF，得 eq \f(AE,AD) ＝ eq \f(CF,CD) ，故AC∥EF，因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝ eq \r(AB2－AO2) ＝4. 由EF∥AC，得 eq \f(OH,DO) ＝ eq \f(AE,AD) ＝ eq \f(1,4) ，所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2， 故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD. 【练1】 (2023·深圳模拟)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P­ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 考向2　面面垂直的判定与性质 【例2】 (2023·衡水中学模拟)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1． (1)证明：平面PAB⊥平面PBC； (2)求四棱锥P­ABCD的体积． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)利用勾股定理证明BC⊥PB，进而利用面面垂直的判定定理证明； (2)利用面面垂直的性质定理，求出点P到平面ABCD的距离，进而再求体积 (1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝ eq \r(3) . 因为PC＝2，BC＝1，PB＝ eq \r(3) ， 所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB. 因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB. 又PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. (2)解：在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示． 由(1)知BC⊥平面PAB. 因为BC⊂平面ABCD， 所以平面PAB⊥平面ABCD. 【练2】 (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F­ABC的体积． (1)证明：由于AD＝CD，E是AC的中点， 所以AC⊥DE. 由于 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,BD＝BD，,∠ADB＝∠CDB，)) 所以△ADB≌△CDB， 所以AB＝CB，故AC⊥BE. 由于DE∩BE＝D，DE，BE⊂平面BED， 所以AC⊥平面BED. 由于AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. (2)解：依题意AB＝BD＝BC＝2，∠ACB＝60°，△ABC是等边三角形， 所以AC＝2，AE＝CE＝1，BE＝ eq \r(3) ， 由于AD＝CD，AD⊥CD，所以△ACD是等腰直角三角形，所以DE＝1． 又DE2＋BE2＝BD2，所以DE⊥BE. 因为AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 因为△ADB≌△CDB，所以∠FBA＝∠FBC， 因为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝BF，,∠FBA＝∠FBC，,AB＝CB，)) 所以△FBA≌△FBC， 所以AF＝CF，所以EF⊥AC. 由于S△AFC＝ eq \f(1,2) ·AC·EF，所以当EF最短时，△AFC的面积为最小值． 过E作EF⊥BD，垂足为F， 在Rt△BED中， eq \f(1,2) ·BE·DE＝ eq \f(1,2) ·BD·EF， 解得EF＝ eq \f(\r(3),2) ， 所以DF＝ eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(1,2) ，BF＝2－DF＝ eq \f(3,2) ， 所以 eq \f(BF,BD) ＝ eq \f(3,4) . 过F作FH⊥BE，垂足为H，则FH∥DE， 所以FH⊥平面ABC，且 eq \f(FH,DE) ＝ eq \f(BF,BD) ＝ eq \f(3,4) ， 所以FH＝ eq \f(3,4) ， 所以VF­ABC＝ eq \f(1,3) ·S△ABC·FH＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) × eq \f(3,4) ＝ eq \f(\r(3),4) . $$