第7章 第3节 直线、平面平行的判定与性质（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七章　立体几何 第三节　直线、平面平行的判定与性质 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 平面外 交线 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 相交直线 平行 相交 交线 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 × × × √ 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明． 1．直线与平面平行的判定定理与性质定理 判定定理 性质定理 文字 语言 如果______一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与____平行 判定定理 性质定理 图形 表示 符号 表示 l⊄α，a⊂α，l∥a⇒l∥α l∥α，l⊂β，α∩β＝a⇒l∥a 2.平面与平面平行的判定定理与性质定理 判定定理 性质 性质定理 文字 语言 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 两个平面平行，则其中一个平面内的直线____于另一个平面 如果两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行 判定定理 性质 性质定理 图形 表示 符号 表示 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β α∥β，a⊂α⇒a∥β α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 1．判断正误 (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　　) 2．如果直线a∥平面α，直线b∥平面α，那么直线a与b(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交或异面 D．异面 答案：C 3．(多选)(2023·山东济宁期末)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β BC　解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n或m，n异面或m，n相交，A错误； 若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确； 若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确； 若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误． 4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 答案：A 5．已知平面α和直线a，b，且a∥b，a∥α，则b与平面α的位置关系可能是________________． 答案：b∥α或b⊂α 6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________________． 答案：平行四边形　解析：∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理可得EH∥FG， ∴四边形EFGH的形状是平行四边形． 1．(2022·上海高三二模)设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线，则“α∥β”的一个充分不必要条件是(　　) A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且l∥m C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m C　解析：l⊂α，m⊂α且l∥β，m∥β，若l，m是平行直线，则它们可能都平行于α，β的交线，所以A不正确；l⊂α，m⊂β，且l∥m，可得l，m可能都平行于α，β的交线，所以B不正确；l⊥α且l∥m，可得m⊥α，再由m⊥α，m⊥β，得到α∥β，所以l⊥α，m⊥β且l∥m是α∥β的一个充分不必要条件，所以C正确；由l∥α，m∥β，且l∥m，可能有l，m都平行于α，β的交线，所以D不正确． 2．(2023·广州模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　) A．MF∥EB B．A1B1∥NE C．四边形MNEF为平行四边形 D．四边形MNEF为梯形 D　解析：由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误； 由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误； ∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1， BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN， 故四边形AMNB为平行四边形， ∴MN∥AB. 又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴MN∥平面ABC. 又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF， ∴MN∥EF，∴EF∥AB， 显然在△ABC中，EF≠AB， ∴EF≠MN， ∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确． 【例1】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH. 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理等学科素养 思路 点拨 连接AC交BD于点O，O为BD中点→连接OM→证明PA∥平面BMD→PA∥GH 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点， 又M是PC的中点， 所以AP∥OM. 又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，所以PA∥平面BMD. 又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH. 【练1】 (2023·山东临沂模拟)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． (1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形， 所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)解：l∥m，证明如下： 由(1)知AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l， 所以l∥AM. 同理，AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m， 所以m∥AM，所以l∥m. 考向1　面面平行的判定与性质 【例2】 如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1． 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又∵G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB， ∴A1G綊EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 【变式】 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD. ∵D为BC的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1． 又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1． 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1． 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 考向2　平行的综合问题 【例3】 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)EF∥HG→EF∥平面ABD→EF∥AB→AB∥平面EFGH； (2)设EF＝x(0<x<4)，利用平行线成比例关系用x表示FG，从而将四边形的周长表示为关于x的一次函数关系求范围 (1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB， 又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理可证，CD∥平面EFGH. (2)解：设EF＝x(0<x<4)，∵EF∥AB，FG∥CD， ∴ eq \f(CF,CB) ＝ eq \f(x,4) ，则 eq \f(FG,CD) ＝ eq \f(BF,BC) ＝ eq \f(BC－CF,BC) ＝1－ eq \f(x,4) ， ∴FG＝(1－ eq \f(x,4) )CD＝6－ eq \f(3,2) x. ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴四边形EFGH的周长 l＝2(FE＋FG)＝2(x＋6－ eq \f(3,2) x)＝12－x. 又∵0<x<4，∴8<l<12， 即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12). 【练2】 (2023·湖南益阳模拟)如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点． 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO. 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG. 又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN. 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG. 又DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BDE， 所以平面BDE∥平面MNG. $$