第十章《概率》单元达标高分突破必刷卷(培优卷）-2023-2024学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

第十章《概率》单元达标高分突破必刷卷(培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列说法正确的是（ ） A．袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 2．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 3．《易经》记载了一种占卜方法叫做“筮法”．用50根蓍草进行占卜，先抽去一根蓍草，横放其上，象征“太极”．然后把剩下49根蓍草随意分为两堆，象征“两仪”；接着从右堆中取出一根蓍草放在中间，再将左右两堆中余下的蓍草4根一数，直到最后各剩下不超过4根（含4根）为止，取出两堆剩下的蓍草也放入中间，再将两堆余下蓍草合在一起，记作“一变”．在“一变”中最后放在中间的蓍草总数有：5，9两种可能．其中“5”的概率是多少（    ） A． B． C． D． 4．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 5．某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的是（    ） A．事件发生的概率等于事件发生的频率 B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点 C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则 D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥 7．在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为（    ） A． B． C． D． 8．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ） A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（    ）. A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件 C． D． 10．已知独立的事件、满足，则下列说法错误的是（    ） A．一定小于； B．可能等于； C．事件和事件不可能相互独立； D．事件和事件可以相互独立. 11．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．（） D．小华一共前进2步的概率最大 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．魔方，又叫鲁比克方块，是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋同被称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方（如图所示）可以看作是将一个表面涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开形成27个小正方体．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这27个小正方体中任取1个，则抽到的是中心方块或边角方块的概率为 ． 13．某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 14．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 16．某高校的人学面试中有3道难度相当的题目，甲同学答对每道题目的概率都是0.8，乙同学答对每道题目的概率都是0.7，且甲、乙抽到不同题目能否答对是独立的.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直到第三次答完为止. (1)求在甲、乙两人第一次答题中只有一人通过面试的概率； (2)求甲、乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数的概率. 17．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：      若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)设临界值时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A型手机和B型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）； (2)设且，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值． 18．已知函数，其中且在上有且仅有2个零点，2个极值点． (1)求的最小正周期； (2)设集合且，已知△，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，现从集合A的所有元素中任取一值作为角A的值，求使得△存在的概率． 19．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： （1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数； （2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼. （ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章《概率》单元达标高分突破必刷卷(培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列说法正确的是（ ） A．袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 【答案】D 【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可. 【详解】A选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是，故本项错误； B选项, 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的概率会下雨，故本选项错误；C选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，可能会中奖，故本选项错误；D选项，连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.故选D. 【点睛】本题主要考查了概率的意义，属于中档题. 2．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 故选：D． 3．《易经》记载了一种占卜方法叫做“筮法”．用50根蓍草进行占卜，先抽去一根蓍草，横放其上，象征“太极”．然后把剩下49根蓍草随意分为两堆，象征“两仪”；接着从右堆中取出一根蓍草放在中间，再将左右两堆中余下的蓍草4根一数，直到最后各剩下不超过4根（含4根）为止，取出两堆剩下的蓍草也放入中间，再将两堆余下蓍草合在一起，记作“一变”．在“一变”中最后放在中间的蓍草总数有：5，9两种可能．其中“5”的概率是多少（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用古典概型概率公式和对立事件的概率公式，分别求出试验的基本事件总数和所求事件的对立事件含有的基本事件数代入计算即得. 【详解】不妨用表示剩下49根蓍草去掉1根后，随意分成的两堆中左右堆的蓍草根数， 依题，分堆方法有共49种， 而最后放在中间的蓍草总数为“9”的情况有：共11种， 故最后放在中间的蓍草总数为“5”的情况有种， 故“5”的概率是. 故选：C. 4．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为与为互斥事件，故， 所以 ，故，故. 故选：A 5．某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为“恰有2队完成任务”，即可能是“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，根据相互独立事件及互斥事件的概率可得结果. 【详解】设事件A为“恰有2队完成任务”，有三类：“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，且相互互斥， 则， 故选：B． 6．下列命题中正确的是（    ） A．事件发生的概率等于事件发生的频率 B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点 C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则 D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥 【答案】C 【解析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误. 【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误； 对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，表示一次实验发生的可能性是，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误； 对于C选项，根据概率的计算公式得，，故，故C选项正确； 对于D选项，设，A事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，B事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，显然，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误. 【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例求解即可. 7．在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由目标式得或，结合画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线、的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可得概率. 【详解】由或，如下图阴影部分所示： 由图知：在圆内随机取在阴影部分，而过圆心，且与相互垂直， 所以阴影部分为圆面积的，故概率为. 故选：A 8．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ） A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立 【答案】D 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误； 由，A、D互斥且对立，B错误； 又，，则，C与D不互斥，C错误； 由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（    ）. A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件 C． D． 【答案】AC 【分析】首先分别列举三个时间包含的样本点，再结合互斥，对立时间的定义，以及选项，即可判断选项. 【详解】事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个； 事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个； 事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个. 从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件. 因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 因为，，，所以B错误； 因为事件的所有基本事件共有12个，所以， 所以，故C正确； 因为事件的所有基本事件共有6个，所以， 所以，故D错误. 故选：AC 10．已知独立的事件、满足，则下列说法错误的是（    ） A．一定小于； B．可能等于； C．事件和事件不可能相互独立； D．事件和事件可以相互独立. 【答案】BC 【分析】利用独立事件的定义和性质可判断正确，错误；根据事件与，与，与 ，与都相互独立，利用相互独立事件概率公式计算即可. 【详解】且相互独立，则，,正确. ∵表示事件至少发生一个，表示事件同时发生， ∴， ∴不能等于，错误. 若，则，此时， ∵. ∴. ∴移项得. ∴事件与相互独立，同理可知事件与 ，与也都相互独立. ∴事件和可能相互独立，事件和可能相互独立，错误，正确. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解题的关键是已知独立事件、，可推出事件与，与，与 ，与都相互独立. 11．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．（） D．小华一共前进2步的概率最大 【答案】ACD 【分析】综合应用概率和数列的知识即可解决. 【详解】对于A，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为；第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以，故C正确； 对于D，因为，可得， 即，因为， 所以，即， 可得，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，可得. 当为奇数时，为偶数，则，即， 此时数列单调递增，所以； 当为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减， 所以， 综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故D正确. 故选：ACD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．魔方，又叫鲁比克方块，是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋同被称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方（如图所示）可以看作是将一个表面涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开形成27个小正方体．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这27个小正方体中任取1个，则抽到的是中心方块或边角方块的概率为 ． 【答案】 【分析】通过古典概型运算公式即可求得答案. 【详解】沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个， 2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个， 所以抽到的是中心方块或边角方块的概率是． 故答案为：． 13．某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 【答案】 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式先求出第一轮4个人问题全答对的概率；然后第二轮去全对或恰好有一个问题答错，由互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得出答案. 【详解】该参赛者能进入第二轮答题的概率为 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率： 故答案为：， 14．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 . 【答案】/0.75 【分析】根据题意先求出满足题意的总情况有种，再求出满足有多少种，然后利用古典概率知识即可求解. 【详解】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数， 因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于， 所以、位置填或， 先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果， ①若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； ②若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； ③若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； ④若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； 所以总的结果个数为个， 其中符合的情况有，，，，，共个， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的的关键是对进行合理的分类讨论，从而得到所有的情况，最后根据古典概型即可得到答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 【答案】(1)，平均数为69.5 (2) 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，；根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. （2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以， 解得， 所以前两组的频率之和为， 即，所以； 平均数为， （2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有，，，，，．，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 16．某高校的人学面试中有3道难度相当的题目，甲同学答对每道题目的概率都是0.8，乙同学答对每道题目的概率都是0.7，且甲、乙抽到不同题目能否答对是独立的.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直到第三次答完为止. (1)求在甲、乙两人第一次答题中只有一人通过面试的概率； (2)求甲、乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分甲通过乙不通过和甲不通过和乙通过两种情况，结合相互独立事件的概率公式即可得解； （2）分甲第一次通过乙第二次通过、甲第一次通过乙第三次通过和甲第二次通过乙第三次通过三种情况，结合相互独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）由题意，所求概率为； （2）由题意，有甲第一次通过乙第二次通过、甲第一次通过乙第三次通过和甲第二次通过乙第三次通过三种情况， 当甲第一次通过乙第二次通过时，概率为， 当甲第一次通过乙第三次通过时，概率为， 当甲第二次通过乙第三次通过时，概率为， 所以所求概率为. 17．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：      若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)设临界值时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A型手机和B型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）； (2)设且，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值． 【答案】(1)0.163 (2)136万元 【分析】（1）根据频率分布直方图，I级品中该指标小于或等于60的频率和II级品中该指标大于60的频率，即可求解； （2）由题意分别计算A、B型手机的损失费用可得，结合一次函数的性质即可求解. 【详解】（1）临界值时，I级品中该指标小于或等于60的频率为， II级品中该指标大于60的频率为0.1， 故将1个I级品芯片和1个II级芯片分别应用于A型手机和B型手机， 两部手机有损失的概率为：； （2）当临界值时， I级品中该指标小于或等于临界值的概率为， 可以估计10000部A型手机中有部手机芯片应用错误； II级品中该指标大于临界值的概率为， 可以估计10000部B型手机中有部手机芯片应用错误； 故可以估计芯片生产商的损失费用 又，所以， 即芯片生产商损失费用的最小值为136万元. 18．已知函数，其中且在上有且仅有2个零点，2个极值点． (1)求的最小正周期； (2)设集合且，已知△，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，现从集合A的所有元素中任取一值作为角A的值，求使得△存在的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数式展开，降幂，运用辅助角公式化成正弦型函数，再根据题设条件确定取整计算即得； （2）根据（1）中确定的函数解析式，利用集合中的规定求出集合，再由“边边角”的情形下能组成三角形的条件可确定角的个数，运用古典概型公式即得概率. 【详解】（1）由 ， 设，因，则，如图： 由的图象可知，要使在上有且仅有2个零点，2个极值点，需使， 解得：，因，则，即，故其最小正周期为. （2）由可得，解得：即（*） 由集合A可知，代入（*），化简得：，又且， 故可得：，则有. 因，，若角A的值可使△存在，需使，即， 而满足此条件的角有共6个，故使得△存在的概率为. 19．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： （1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数； （2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼. （ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率. 【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差；百分比位数—数据集中有n个数：当np为整数时，当np不为整数时；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记：“两鱼最终均在水池”； ：“两鱼最终均在水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率 【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为 数据的众数为 数据的极差为 估计这批鱼该项数据的百分位数约为 （2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则 记“两鱼最终均在水池”为事件，则 ∵事件与事件互斥， ∴两条鱼最终在同一水池的概率为 （ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件，依次类推；而两鱼的游动独立 ∴ 记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥 ∴ 即 【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$