第二章 分式与分式方程 综合素质评价卷 2023-2024学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

第二章 分式与分式方程 题　号 一 二 三 总　分 得　分 一、选择题(每题3分，共30分) 1.[2023·烟台龙口市期中]分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　) A. x＝－1 B. x≠－1 C. x≠0 D. x＞－1 2.[2023·威海荣成市月考]分式，，的最简公分母是(　　) A.2x B.2x－4 C.2x(2x－4) D.2x(x－2) 3.[2023·常州]若代数式的值是0，则实数x的值是(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 4.[2024·日照东港区期末]若分式中a，b的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值(　　) A.不变 B.扩大到原来的2倍 C.扩大到原来的4倍 D.扩大到原来的6倍 5.化简÷·的结果是(　　) A.－x2 B.－x3 C.－x2y4 D.－ 6.小敏在做数学作业时，不小心将某式子中除号后边的代数式污染了，即÷*，通过查看答案可知，该式子的计算结果为，则被污染的代数式*为(　　) A. B. C. D. 7.[2024 潍坊期末 新考法 整体代入法]已知－＝2，则代数式的值为(　　) A.3 B.－3 C.2 D.－2 8. [新考向 数学文化]《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改用快马派送，则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为(　　) A.＝2× B.＝2× C.＝2× D.＝2× 9.若关于x的方程＋＝2－有增根x＝－1，则2a－3的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 10.若关于x的不等式组的解集为x＜－2，且关于y的分式方程＋＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为(　　) A.10 B.12 C.13 D.15 二、填空题(每题3分，共18分) 11.[母题教材P22习题T1]式子－a，，，，中，分式有　　　　______个. 12.计算：＋＝　　　　. 13.[2024 临沂期末 新视角 条件开放题]已知三张卡片上面分别写有6，x－1，x2－1，从中任选两张卡片，则卡片上的整式能组成的一个最简分式为　　　　.(写出一个分式即可) 14.[2023·衡阳]已知x＝5，则代数式－的值为　　　　. 15.某厂接到在规定时间内加工1 500顶帐篷支援灾区人民的任务，按刚好在规定时间完成任务的工作效率加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成了任务，则原来每天加工帐篷　　　　顶. 16. [新视角 规律探究题]观察等式：＝1－，＝－，＝－，将这三个等式的两边分别相加，得＋＋＝1－＋－ ＋－＝1－＝. (1)猜想：＝　　　　； (2)分式方程＋＋＝1的解是　　　　. 三、解答题(共72分) 17.(6分)计算： (1)[2023·南通]·－； (2)[2023·襄阳]÷. 18.(8分)解分式方程： (1)－1＝； (2)－＝. 19.(8分)下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式.请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整. 例：先化简，再求值：－，其中a＝100. 解：原式＝－…… 20.(8分)[2023·广东]某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度. 21.(8分)[2023 广州 新视角 条件开放题]已知a＞3，代数式：A＝ 2a2－8，B＝3a2＋6a，C＝a3－4a2＋4a. (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式. 22.(10分)已知关于x的分式方程＋＝2. (1)若该分式方程有增根，求m的值； (2)若该分式方程的解是正数，求m的取值范围. 23.(12分) [新考法 阅读类比法]阅读下面的材料，然后解答问题. 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程化为y－＝0， 方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y＝2或y＝－2. 经检验，y＝2或y＝－2都是方程y－＝0的解. 当y＝2时，＝2，解得x＝－1； 当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝－1或x＝. 上述这种解分式方程的方法被称为换元法. 问题：模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 24.(12分)[2023·济宁改编]为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等. (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 答案及点拨 一、1. B　2. D　3. B　4. C 5. D　【点拨】原式＝··＝－. 6. C　【点拨】被污染的代数式*为÷＝· (1－a)＝·[－(a－1)]＝. 7. B　【点拨】∵－＝2， ∴＝2，∴y－x＝2xy， ∴＝＝＝＝－3. 8. B　【点拨】∵规定时间为x天， ∴慢马所需时间为(x＋1)天，快马所需时间为(x－3)天. 又∵快马的速度是慢马的2倍，送信所要走的路程为900里， ∴＝2×. 9. B　【点拨】方程两边都乘x(x＋1)， 得3(x＋1)＋ax2＝2x(x＋1)－3x， ∵原方程有增根x＝－1， 将x＝－1代入上述整式方程，得a＝3，∴2a－3＝3. 10. C　【点拨】 解不等式①，得x＜－2， 解不等式②，得x＜－. ∵关于x的不等式组的解集为x＜－2， ∴－≥－2，解得a≤5， 方程＋＝2可化为a＋2－y－2＝2(y－1)，解得y＝. ∵关于y的分式方程＋＝2的解为正数， ∴＞0且－1≠0，解得a＞－2且a≠1， ∴－2＜a≤5且a≠1， ∴所有满足条件的整数a的值之和为－1＋0＋2＋3＋4＋5＝13. 二、11.3　12.　13.(答案不唯一) 14.　【点拨】原式＝－＝＝. ∵x＝5，∴＝＝＝. 15.100　【点拨】设原来每天加工帐篷x顶， 根据题意，得＋＋4＝， 解得x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的根. ∴原来每天加工帐篷100顶. 16.(1)－　(2)x＝5 三、17.【解】(1)原式＝·－＝－＝＝1. (2)原式＝÷＝·＝. 18.【解】(1)方程两边同乘x(x＋5)， 得2x2－x(x＋5)＝(x＋5)2， 去括号，得2x2－x2－5x＝x2＋10x＋25， 移项、合并同类项，得－15x＝25，解得x＝－， 经检验，x＝－是分式方程的解， ∴原方程的解为x＝－. (2)方程两边同乘(x－1)(x＋1)， 得x＋1－2(x－1)＝4，解得x＝－1. 经检验，当x＝－1时，x2－1＝0， ∴原分式方程无解. 19.【解】∵第一步进行的是通分， ∴＝＝，∴M＝a， 原式＝－＝＝＝ ＝1－，当a＝100时，原式＝1－＝. 20.【解】设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h， 根据题意，得－＝，解得x＝12. 经检验，x＝12是原分式方程的解， 答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h. 21.【解】(1)A＝2a2－8＝2(a2－4)＝2(a＋2)(a－2). (2)(答案不唯一)选择代数式A，B： ＝＝＝， ＝＝＝. 22.【解】去分母，得2－x－m＝2x－4， 整理，得6－m＝3x， (1)由分式方程有增根，得x－2＝0，即x＝2， 把x＝2代入6－m＝3x，得m＝0. (2)解分式方程，得x＝， 根据分式方程的解为正数，得＞0，且≠2， 解得m＜6且m≠0. 23.【解】原方程化为－＝0， 设y＝，则原方程化为y－＝0， 方程两边同时乘y，得y2－1＝0， 解得y＝1或y＝－1， 经检验，y＝1或y＝－1都是方程y－＝0的解， 当y＝1时，＝1，该方程无解， 当y＝－1时，＝－1，解得x＝－， 经检验，x＝－是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－. 24.【解】(1)设B型充电桩的单价为x万元，则A型充电桩的单价为(x－0.3)万元， 由题意，得＝，解得x＝1.2， 经检验，x＝1.2是原分式方程的解， 则x－0.3＝0.9. 答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元. (2)设购买A型充电桩a个，则购买B型充电桩(25－a)个， 由题意，得解得≤a≤. ∵a为非负整数，∴a可取14，15，16， ∴共有三种方案， 方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个，购买费用为0.9×14＋1.2×11＝25.8(万元)； 方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个，购买费用为0.9×15＋1.2×10＝25.5(万元)； 方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个，购买费用为0.9×16＋1.2×9＝25.2(万元). ∵25.2＜25.5＜25.8，∴方案三所需购买总费用最少. 学科网（北京）股份有限公司 $$