4.4数学归纳法限时练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法 限时练 一、单选题 1．用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明“对任意的，都有 ，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 3．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 4．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（    ） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（    ） A．增加了一项 B．增加了两项， C．增加了两项，，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 6．用数学归纳法证明 ，第一步验证（    ） A．n=1 B．n=2 C．n=3 D．n=4 7．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（    ） A．a1＋(k－1)d B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 二、填空题 8．用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为 . 9．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是 ． 三、解答题 10．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 11．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立． 12．设数列的前项和为，并且满足．猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 长水实验中学文山校区高二数学限时练 编号： SX–选修二第01号 使用时间： 2023-1215 组编人：冯光发 审核人签字 1 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据归纳法即可得到答案. 【详解】解：根据数学归纳法可知： 当时， 当时， 相比从到，可知多增加的项为 故选：D 2．D 【分析】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 【详解】在等式中， 当时，， 故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是. 故选：D 3．B 【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出． 【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 4．A 【分析】假设时命题成立，分解的过程中要分析出含有的项即可求解. 【详解】解：假设时命题成立，即：被3整除． 当时， 故选：A． 5．C 【分析】将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解. 【详解】n＝k时，左边为＋＋…＋，① n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，② 比较①②可知C正确. 故选：C 6．C 【分析】由数学归纳法的一般步骤，第一步需要验证取第一个值时命题是否成立. 【详解】由题知，即n的最小值为3， ∴第一步验证n=3时，不等式是否成立. 故选：C 7．C 【分析】只需把公式中的n换成k即可． 【详解】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d. 故选: C 8． 【分析】利用数学归纳法的概念、步骤求解即可. 【详解】当时，不等式为， 当时，不等式为. 故答案为：. 9． 【分析】写出和时的两个式子，作差（或比较）可得． 【详解】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了 ， 故答案为：． 10．，证明见解析 【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可. 【详解】由，可得． 由，可得． 同理可得，，． 归纳上述结果，猜想 下面用数学归纳法证明这个猜想． （1）当时，③式左边，右边，猜想成立． （2）假设当时，③式成立，即， 那么，即当时，猜想也成立． 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立． 11．证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明. 【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立． （2）假设当时，①式成立，即， 根据等差数列的定义，有， 于是 ， 即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立． 12． 【详解】试题分析：分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求；猜想：，由 可知，当n≥2时， ，所以 ，再用数学归纳法进行证明； 试题解析：解：分别令，得， ∵，∴，猜想：，由① 可知，当时 ② ①-②得，即 当时 ∵，∴， （ii）假设当时，，那么当时，,∵， ∴，∴，即当时也成立． ∴，显然时，也成立，故对于一切，均有． 考点：数列通项公式及数学归纳法证明 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$