期末冲刺 04  图形的证明与格点作图分类强化练（八大类）-2023-2024学年七年级数学下学期期末复习重难点突破（苏科版）

期末冲刺04图形的证明与格点作图分类强化练（八大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、经典考点：三角形的双角平分线 1 二、角平分线与平行的完美融合。 2 三、证明过程的补充——重点在于体会如何书写证明过程，做好后，可以自己完全证一遍。 3 四、综合提升——探究类证明题 6 五、超级难点：证明过程的书写 8 六、格点作图。 9 七、难点：作图与证明的融合 12 八、条件重组得命题，并证明。 13 一、经典考点：三角形的双角平分线 1．如图，，分别是，的角平分线，它们相交于点，与相交于点，与相交于点．写出，与的等量关系，并证明．（要写出每一步的依据）    2．三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°． (1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点． 由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________ ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°; ②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°． (3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= _____°； ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系； ③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：． 二、角平分线与平行的完美融合。 3．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E=∠ABE+∠CDE． （2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想． （3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想． 4．【探究结论】 （1）如图1，，E为形内一点，连接、得到，则、、的关系是 （直接写出结论，不需要证明）： 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为 ．   三、证明过程的补充——重点在于体会如何书写证明过程，做好后，可以自己完全证一遍。 5．填写下列推理中的空格．    已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， ______（____________）， 又（____________）， ______（____________）， （____________）． 6．填充证明过程和理由： 已知：如图，，，平分，求证：． 证明： （已知）， （___________）． 又 （已知）， （___________）． 又 平分（已知）， （___________）， ___________（___________）， （___________）．    7．填空： 如图，于D，于，． 求证：平分． 证明：于，于（已知） （垂直的定义） （               ） （                  ） __________（               ） 又（已知） __________（等量代换） 平分（角平分线定义）    8．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（____________）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 9．把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 10．在数学课本中，有这样一道题：已知：如（图1），∠B+∠C＝∠BEC求证：AB∥CD （1）请补充下面证明过程 证明：过点E，做EF∥AB，如（图2） ∴∠B＝∠　 　 ∵∠B+∠C＝∠BEC∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知） ∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换） ∴∠　 　＝∠　 　（等式性质） ∴EF∥　 　 ∵EF∥AB ∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行） （2）请再选用一种方法，加以证明 四、综合提升——探究类证明题 11．【原题重现】 课本第154页例2：如图1，AC、BD相交于点O，求证：． 某数学兴趣小组同学对此题展开了探究讨论． (1)【解法再探】 课本利用“三角形内角和是180°”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，如下思路框图： 完成框图填空：①______，②______，③______； (2)【变式拓展】 小慧同学把图1中线段AC与BD相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，AC、BD相交于点O，∠BAC、∠BDC的角平分线交于点P，，，求∠P的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小明完成以下问题： 小明看到图2中有两个与∠P相关的“8字形”，请你根据（1）的结论写出关于∠P的两个关系式为：①______；②______； 小明进一步思考：设，，由，得，③，由①、③（或②、③）联立、转化、整理可得结论：______； (3)【发现生成】 小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，AC、BD相交于点O，，，，，求的度数（用含，的式子表示）．请你写出解答： (4)若把（3）中的“”都改为“”，则______．（用含，的式子表示） 12．在△ABC中，BD是△ABC的角平分线， E为边AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，EG平分∠AEF交BC于点G． （1）如图1，若∠BAC＝90°，延长AB，EG交于点M，∠M＝α． ①用含α的式子表示∠AEF＝　 　； ②求证：BD∥ME； （2）如图2，∠BAC＜90°，延长DB，EG交于点N，请用等式表示∠A与∠N的数量关系，并证明． 五、超级难点：证明过程的书写 13．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的四个外角． 用两种方法证明∠1+∠2+∠3＋∠4＝360°． 14．如图，是四边形ABCD的外角，已知． 求证： 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． (1)求∠CBE的度数； (2)若∠F＝25°，求证：BEDF． (3)若BEDF，探究∠A、∠F有怎样的数量关系（直接写答案，不用证明） 16．如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗?若是，请证明；若不是，请说明理由． (2)若，，求的度数． 六、格点作图。 17．如图，格点间间距均为1．在网格内将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：    (1)补全； (2)作出中线； (3)画出边上的高线； (4)写出四边形的面积为______． 18．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到 ，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用格点和直尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)利用格点在图中画出边上的高线； 19．如图，在由每个都是小正方形组成的网格纸中，点P是的边上的一点（点O、A、B、C、P均为格点）．请用无刻度的直尺完成下列作图，并标注必要的字母，并描粗相关的格点．    (1)将线段向右平移，使点O与点A重合． ①画出线段平移后的线段； ②与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)在线段上找一点E，且． 20．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． 根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全△A′B′C′； (2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD； (3)利用格点在图中画出AC边上的高线BE； (4)找△ABF（要求各顶点在格点上，F不与点C重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点F共_______个． 21．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； (2)画出的中线（注意标上字母）； (3)在图中存在满足与面积相等的格点Q（与点A不重合）．共计有 个． 22．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图． (1)过点B画出的平行线； (2)将进行平移，使点A经平移后所得的图形是点D，点B与点E是对应点请画出平移后得到的． 23．如图：在正方形网格中有一个格点三角形， （即的各顶点都在格点上），按要求进行下列作图： (1)画出中边上的高； (2)画出将先向左平移2格，再向上平移3格后的 ； (3)画直线，将分成两个面积相等的三角形． 七、难点：作图与证明的融合 24．在中，，平分，交于点为直线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证； (2)当点在边的延长线上时，补全图②，判断与的位置关系并证明． 25．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AE∥BC ，过点C作CF∥AB，AE与CF相交于点D． (1)依题意，补全图形； (2)求证：∠ADC与∠ACB互余． 26．画，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点P，连接．探索与之间的数量关系，并证明你的结论． 八、条件重组得命题，并证明。 27．如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A=∠C，③ADBC． (1)请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题； (2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 28．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末冲刺04图形的证明与格点作图分类强化练（八大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、经典考点：三角形的双角平分线 1 二、角平分线与平行的完美融合。 4 三、证明过程的补充——重点在于体会如何书写证明过程，做好后，可以自己完全证一遍。 8 四、综合提升——探究类证明题 13 五、超级难点：证明过程的书写 18 六、格点作图。 21 七、难点：作图与证明的融合 28 八、条件重组得命题，并证明。 31 一、经典考点：三角形的双角平分线 1．如图，，分别是，的角平分线，它们相交于点，与相交于点，与相交于点．写出，与的等量关系，并证明．（要写出每一步的依据）    【答案】，证明见解析 【详解】解：设，， ∵，分别是，的角平分线，（已知） ∴，，（角平分线的定义） ∵，（对顶角相等） ∴，即，（三角形内角和定理） ∴，（等式的性质） 同理：，即，（三角形内角和定理） ∴，（等式的性质） 将代入得：，整理得：．（等量代换）    2．三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°． (1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点． 由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________ ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°; ②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°． (3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= _____°； ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系； ③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：． 【答案】(1) (2)； (3)； ；证明见解析 【详解】（1）∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°， ∴∠ACD＝∠A+∠B， 故答案为：∠A+∠B； （2）①∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°， ∴∠ACB＝∠DBC-∠A＝70°， 故答案为：70； ②∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)＝∠A+(∠ACB+∠A+∠ABC)＝∠A+180°， ∵∠A＝80°， ∴∠DBC+∠ECB＝260°， 故答案为：260； （3）①连接AP，如图， ∵∠DBP＝∠BAP+∠BPA，∠ECP＝∠CAP+∠CPA， ∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA＝∠BAC+∠BPC， ∵∠BAC＝80°，∠BPC＝150°， ∴∠DBP+∠ECP＝230°， 故答案为：230； ②设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y， 则：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P， ∴2∠A+2∠O＝∠A+∠P． ∵∠O＝50°， ∴∠P＝∠A+100°， 故答案为：∠P＝∠A+100°； ③证明：延长BP交CN于点Q，如图： ∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP， ∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP， ∵由①知：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC， 又∠A＝∠BPC， ∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC， ∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP． ∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP， ∴∠MBP＝∠PQC， ∴． 二、角平分线与平行的完美融合。 3．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E=∠ABE+∠CDE． （2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想． （3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）2∠G=∠ABE+∠CDE 【详解】（1）如图， 过点E作EH∥AB， ∴∠BEH=∠ABE， ∵EH∥AB，CD∥AB， ∴EH∥CD， ∴∠DEH=∠CDE， ∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE； （2）2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°， 理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE， ∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°， ∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-（∠ABE+∠CDE）， ∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线， ∴∠EBD=2∠DBF，∠EDB=2∠BDF， ∴2∠DBF+2∠BDF=180°-（∠ABE+∠CDE）， ∴∠DBF+∠BDF=90°-（∠ABE+∠CDE）， 在△BDF中，∠F=180°-（∠DBF+∠BDF）=180°-[90°-（∠ABE+∠CDE）]=90°+（∠ABE+∠CDE）， 即：2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°； （3）2∠G=∠ABE+∠CDE，理由：如图3， 由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE， ∵BG是∠EBD的平分线， ∴∠DBE=2∠DBG， ∵DG是∠EDP的平分线， ∴∠EDP=2∠GDP， ∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2（∠GDP-∠DBG）， ∴∠GDP-∠DBG=∠BED=（∠ABE+∠CDE） ∴∠G=∠GDP-∠DBG=（∠ABE+∠CDE）， ∴2∠G=∠ABE+∠CDE． 4．【探究结论】 （1）如图1，，E为形内一点，连接、得到，则、、的关系是 （直接写出结论，不需要证明）： 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）或． 【详解】解：（1）如图所示，过点作，    ， ，， ， ． ， ， 故答案为：；   （2）由（1）可知：， 平分， ， ， ， ， ； （3）由（1）知：， 设，则， ， ， ， 又， ， 解得， 又是的外角， ， 的度数为整数， 或， 或， 故答案为：或． 三、证明过程的补充——重点在于体会如何书写证明过程，做好后，可以自己完全证一遍。 5．填写下列推理中的空格．    已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， ______（____________）， 又（____________）， ______（____________）， （____________）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；已知；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；已知；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 6．填充证明过程和理由： 已知：如图，，，平分，求证：． 证明： （已知）， （___________）． 又 （已知）， （___________）． 又 平分（已知）， （___________）， ___________（___________）， （___________）．    【答案】见详解 【详解】证明： （已知）， （两直线平行，同旁内角互补．）． 又 （已知）， （同角的补角相等）． 又 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行．）． 7．填空： 如图，于D，于，． 求证：平分． 证明：于，于（已知） （垂直的定义） （               ） （                  ） __________（               ） 又（已知） __________（等量代换） 平分（角平分线定义）    【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等； 【详解】证明：于，于，（已知） （ 垂直的定义 ） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） 又（ 已知 ） （等量代换） 平分（ 角平分线定义）．    8．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（____________）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【答案】(1)∠A；两直线平行，内错角相等；∠B；两直线平行，同位角相等；平角的定义 (2)见解析 【详解】（1） ∠A （两直线平行，内错角相等）， ∠B （两直线平行，同位角相等）． （ 平角的定义 ）， （2）如图，过点作． 则：，（两直线平行，内错角相等） ∵（ 平角的定义 ）， ∴ 9．把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【详解】证明：（已知） 又（ 对顶角相等 ） （等量代换） 平分（已知） （ 角平分线定义 ） （已知） （ 直角三角形两个锐角互余 ） （等量代换） ADC （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 10．在数学课本中，有这样一道题：已知：如（图1），∠B+∠C＝∠BEC求证：AB∥CD （1）请补充下面证明过程 证明：过点E，做EF∥AB，如（图2） ∴∠B＝∠　 　 ∵∠B+∠C＝∠BEC∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知） ∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换） ∴∠　 　＝∠　 　（等式性质） ∴EF∥　 　 ∵EF∥AB ∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行） （2）请再选用一种方法，加以证明 【答案】（1）BEF，C，FEC，CD；（2）见解析 【详解】（1）证明：过点E，做EF∥AB，如图2． ∴∠B＝∠BEF， ∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）， ∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）， ∴∠C＝∠FEC（等式性质）， ∴EF∥CD， ∵EF∥AB， ∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 故答案为：BEF，C，FEC，CD． （2）如图1中，延长BE交CD于F． ∵BEC＝∠EFC+∠C，∠BEC＝∠B+∠C， ∴∠B＝∠EFC， ∴AB∥CD． 四、综合提升——探究类证明题 11．【原题重现】 课本第154页例2：如图1，AC、BD相交于点O，求证：． 某数学兴趣小组同学对此题展开了探究讨论． (1)【解法再探】 课本利用“三角形内角和是180°”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，如下思路框图： 完成框图填空：①______，②______，③______； (2)【变式拓展】 小慧同学把图1中线段AC与BD相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，AC、BD相交于点O，∠BAC、∠BDC的角平分线交于点P，，，求∠P的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小明完成以下问题： 小明看到图2中有两个与∠P相关的“8字形”，请你根据（1）的结论写出关于∠P的两个关系式为：①______；②______； 小明进一步思考：设，，由，得，③，由①、③（或②、③）联立、转化、整理可得结论：______； (3)【发现生成】 小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，AC、BD相交于点O，，，，，求的度数（用含，的式子表示）．请你写出解答： (4)若把（3）中的“”都改为“”，则______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)①三角形的外角的性质，②，③ (2) (3) (4) 【详解】（1）证明：如图，∵是的外角， （三角形的外角的性质） 故答案为：①三角形的外角的性质，②，③ （2）由（1）可得：①②； 设，，而，， ∠BAC、∠BDC的角平分线交于点P， 同理由（1）得： 即 整理得： （3）设，， ，，而，， 由（1）同理可得： 同理： 整理得： （4）设，， ，，而，， 由（1）同理可得： 同理： 整理得： 12．在△ABC中，BD是△ABC的角平分线， E为边AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，EG平分∠AEF交BC于点G． （1）如图1，若∠BAC＝90°，延长AB，EG交于点M，∠M＝α． ①用含α的式子表示∠AEF＝　 　； ②求证：BD∥ME； （2）如图2，∠BAC＜90°，延长DB，EG交于点N，请用等式表示∠A与∠N的数量关系，并证明． 【答案】（1）①180°﹣2α；②见解析；（2）∠A+2∠N=90°，证明见解析． 【详解】解：（1）①∵∠A＝90°，∠M＝α， ∴∠AEM＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α， ∵EM平分∠AEF， ∴∠AEF＝2∠AEM＝180°﹣2α， 故答案为：180°﹣2α； ②证明：∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠C+∠ABC＝90°， ∴∠CEF＝∠ABC， ∵∠AEF＝180°﹣2α， ∴∠CEF＝2α， ∴∠ABC＝2α， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝ABC＝α， ∴∠ABD＝∠M， ∴BD∥ME； （2）BD是∠ABC的角平分线，EG是∠AEF的角平分线 ∴∠ABC＝2∠DBG= 2∠ABD，∠AEF=2∠GEF=2∠AEN， 设∠ABD=∠DBG＝x，∠AEN=∠GEF＝y，则∠ABC＝2x，∠AEF＝2y， ∵∠ABD+∠A=180°-∠ADB，∠ADB=∠N+∠AEN， ∴x+∠A=180°-∠N-y， ∴x+y=180°-∠A-∠N①； ∵EF⊥BC， ∴∠EFG=90°， ∴∠EGF=∠BGN=90°-∠CEG=90°-y， ∵∠DBG=∠N+∠BGN ∴x=∠N+90°-y②， 联立①②得∠A+2∠N=90°． 五、超级难点：证明过程的书写 13．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的四个外角． 用两种方法证明∠1+∠2+∠3＋∠4＝360°． 【答案】证明见解析 【详解】证法1： ∵∠1+∠BAD=180°， ∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180°， ∠4+∠CDA=180°， ∴∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDA=180°×4=720°． ∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°； 证法2：连接BD， ∵∠1=∠ABD+∠ADB， ∠3=∠CBD+∠CDB， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4=180°×2=360°． 14．如图，是四边形ABCD的外角，已知． 求证： 【答案】证明见解析 【详解】证明： 是四边形ABCD的外角， ， ∵四边形的内角和为 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． (1)求∠CBE的度数； (2)若∠F＝25°，求证：BEDF． (3)若BEDF，探究∠A、∠F有怎样的数量关系（直接写答案，不用证明） 【答案】(1)65° (2)见解析 (3)∠A+∠F=45° 【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°． ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠DBE＝∠CBD＝65°； （2）证明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°． 又∵∠F＝25°， ∴∠F＝∠CEB＝25°， ∴DFBE． （3）解：∵BEDF， ∴∠F=∠BEA， ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠ＤBE＝∠CBD=(∠A+∠ACB)= (∠A+90°)， ∵∠DBE=∠A+∠BEA=∠A+∠F， ∴ (∠A+90°)= ∠A+∠F， ∴∠A+∠F=45°． 16．如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗?若是，请证明；若不是，请说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平分，见解析 (2) 【详解】（1）平分．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 六、格点作图。 17．如图，格点间间距均为1．在网格内将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：    (1)补全； (2)作出中线； (3)画出边上的高线； (4)写出四边形的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)16 【详解】（1）将三角形的三个顶点向左平移4个单位、向下平移2个单位， 如图所示，    即为所求； （2）连接点C与边的中点， 如图，线段即为所求； （3）过点A作延长线的垂线， 如图，线段即为所求； （4）利用割补法有：， 故答案为：． 18．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到 ，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用格点和直尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)利用格点在图中画出边上的高线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）如图，线段即为所求； （3）如图，线段即为所求； 19．如图，在由每个都是小正方形组成的网格纸中，点P是的边上的一点（点O、A、B、C、P均为格点）．请用无刻度的直尺完成下列作图，并标注必要的字母，并描粗相关的格点．    (1)将线段向右平移，使点O与点A重合． ①画出线段平移后的线段； ②与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)在线段上找一点E，且． 【答案】(1)①见解析，②平行，相等 (2)见解析 【详解】（1）解：①如图所示即为所求；    ②与的位置关系是平行，数量关系是相等； 故答案为：平行，相等； （2）解：如图所示点E即为所求， 20．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． 根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全△A′B′C′； (2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD； (3)利用格点在图中画出AC边上的高线BE； (4)找△ABF（要求各顶点在格点上，F不与点C重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点F共_______个． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)6 【详解】（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）如图，线段BD即为所求． （3）如图，线段BE即为所求． （4）如图，满足条件的点F有6个． 21．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； (2)画出的中线（注意标上字母）； (3)在图中存在满足与面积相等的格点Q（与点A不重合）．共计有 个． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）取的中点，连接，如图所示，即为所求； （3）根据平行线间的距离处处相等，过点作的平行线，如图，不与点重合的格点共有3个； 故答案为：3. 22．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图． (1)过点B画出的平行线； (2)将进行平移，使点A经平移后所得的图形是点D，点B与点E是对应点请画出平移后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：（1）如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 23．如图：在正方形网格中有一个格点三角形， （即的各顶点都在格点上），按要求进行下列作图： (1)画出中边上的高； (2)画出将先向左平移2格，再向上平移3格后的 ； (3)画直线，将分成两个面积相等的三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）解：如图所示：CD即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求； （3）解：如图所示：三角形ABC三条中线AF、CE、BO所在直线，即为所求． 七、难点：作图与证明的融合 24．在中，，平分，交于点为直线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证； (2)当点在边的延长线上时，补全图②，判断与的位置关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图见解析，，证明见解析 【详解】（1）证明：∵ ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵的平分线交直线于点 ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，延长交于点， ，， ， ∵分别是的角平分线， ． ， ， ．    25．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AE∥BC ，过点C作CF∥AB，AE与CF相交于点D． (1)依题意，补全图形； (2)求证：∠ADC与∠ACB互余． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图所示：                        （2）∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠B+∠BAD=180°，∠ADC+∠BAD=180°． ∴∠B=∠ADC， 在△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， ∴∠ADC +∠ACB=90°，即∠ADC 与∠ACB互余． 26．画，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点P，连接．探索与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】；；；证明见解析． 【详解】解：由题意画出符合要求的图形，共存在三种情况如下图所示： （1）如图1，当点B、P、C三点共线时，， ∵在中，， ∴； （2）如图2，∵四边形的内角和是， ∴，即； （3）如图3，延长交于D， ∵， ∴， 综上所述，与之间的数量关系存在以下三种情况：；；． 八、条件重组得命题，并证明。 27．如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A=∠C，③ADBC． (1)请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题； (2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如果ABCD，∠A＝∠C，那么ADBC； （2）这个命题是真命题， 证明：∵ABCD， ∴∠B＋∠C＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＋∠A＝180°， ∴ADBC． 28．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析． 【详解】解：（1）有：如果那么； 如果那么； 如果，那么； （2）如图： ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠C=∠CDF， ∴CE∥BF， ∴∠E=∠F， ∴如果那么为真命题； ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∴∠B=∠C， ∴如果那么为真命题； ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠CDF， ∴AB∥CD， ∴如果，那么为真命题． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$