衔接作业(3) 正方形的性质与判定-【金牌题库】2024年八年级数学暑假作业（北师大版）

衔接作业(3) 　 正方形的性质与判定 知识点一　 正方形的定义 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形. 知识点二　 正方形的性质 1. 正方形的性质定理 (1)定理 1:正方形的四个角都是直角,四 条边相等. 符号语言:如图①所示, ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A= ∠B = ∠C = ∠D = 90°, AB=BC=CD=DA. (2)定理 2:正方形的对角线相等且互相垂直 平分. 符号语言:如图②所示,∵ 四边形 ABCD 是 正方形,∴ AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 2. 正方形的对称性 (1)正方形是轴对称图形,两条对角线所在 的直线,以及过每一组对边中点的直线都是它 的对称轴. (2)正方形是中心对称图形,对角线的交点 是它的对称中心. 例 1:如图所示,在正 方形 ABCD 中,延长 BC 到 点 E,使 CE = BD,连接 AE 交 CD 于点 F,求∠AFC 的 度数. 解:如图所示,连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC = BD,∠ACB = 45°. ∵ CE = BD,∴ AC =CE, ∴ ∠E= ∠CAE= 1 2 ×45°= 22. 5°. ∴ ∠AFC=∠FCE+∠E=90°+22. 5°=112. 5° . 知识点三　 矩形、菱形、正方形与平行四边形之 间的区别与联系 矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且是 特殊的平行四边形,特殊之处在于:矩形是有一 个角为直角的平行四边形;菱形是有一组邻边 相等的平行四边形;而正方形又是兼具以上两 者特性的更特殊的平行四边形,它既是矩形,又 是菱形. 它们之间的关系如图所示. 矩形、菱形、正方形与平行四边形之间的区 别与联系 类型 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都 是直角 四个角都 是直角 对 角 线 共性 对角线互相平分 特性 对角线 相等 对角线互 相垂直 对角线相等 且互相垂直 对 称 性 共性 中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点 特性 不一定 是轴对 称图形 轴对称图形 有 2 条对称 轴,它们分别 是过 两 组 对 边 中 点 的 直线 有 2 条对称 轴,它们分别 是两 条 对 角 线 所 在 的 直线 有 4 条对称 轴,其中2条 是过两组对 边中点的直 线,另外2条 是两条对角 线 所 在 的 直线 知识点四　 正方形的判定 1. 定理 1: 有一组邻边相等的矩形是正方形. 2. 定理 2: 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 定理 3: 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 定理 4: 对角线相等的菱形是正方形. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 45 例 2:如图所示, 点 A′, B′, C′, D′ 分 别 是 正 方 形 ABCD 四条边上的点, 并且 AA′= BB′ = CC′ = DD′. 求证: 四边形 A′B′C′D′是正方形. 证明:(方法 1)∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ BC=CD=DA=AB, ∠A= ∠B= ∠C= ∠D= 90°. 又∵ AA′=BB′=CC′=DD′, ∴ D′A =A′B=B′C =C′D. ∴ △AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′ (SAS). ∴ D′A′=A′B′=B′C′=C′D′,∠2 = ∠3. ∴ 四边形 A′B′C′D′为菱形. ∵ ∠1+∠2 = 90°. ∴ ∠1+∠3 = 90°. ∴ ∠D′A′B′= 180°-(∠1+∠3)= 90°. ∴ 四边形 A′B′C′D′为正方形. (方法 2) 由方法 1 中证得 △AA′ D′ ≌ △BB′A′, ∴ ∠2 = ∠3,A′D′=B′A′. 又∵ ∠1+∠2 = 90°,∴ ∠1+∠3 = 90°, ∴ ∠D′A′B′= 90°. 同理可证∠D′C′B′ = ∠A′D′C′ = ∠A′B′C′ = 90°, ∴ 四边形 A′B′C′D′是矩形. 又∵ A′D′ = A′B′, ∴ 矩形 A′ B′ C′D′为正 方形. 知识点五　 中点四边形 1. 中点四边形概念 顺次连接任意四边形各边 中点所组成的四边形叫做中点 四边形. 如图所示,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则 四边形 EFGH 就是中点四边形. 2. 常见的中点四边形 (1)任意四边形的中点四边形是平行四边 形. (2)平行四边形的中点四边形是平行四边 形. (3)矩形的中点四边形是菱形. (4)菱形的 中点四边形是矩形. (5)正方形的中点四边形是 正方形. 例 3:如图所示,顺次连 接菱形 ABCD 的各边中点 E, F,G,H,若 AC = a,BD = b,求 四边形 EFGH 的面积. 解:∵ 点 E,F 分别是 AB,BC 边的中点,∴ EF 是△ABC 的中位线,∴ EF= 1 2 AC 且 EF∥AC. 同理,HG= 1 2 AC 且 HG∥AC, ∴ EF=HG 且 EF∥HG, ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形, ∴ EH∥FG,EH=FG= 1 2 BD. 又∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥BD,∴ EF⊥EH, ∴ ∠HEF= 90°,∴ 四边形 EFGH 是矩形. ∴ 四边形 EFGH 的面积 = EF·EH = 1 2 a· 1 2 b= 1 4 ab. 一、选择题。 1. 下列条件可以利用定义说明平行四边形 ABCD 是正方形的是 (　 　 ) A. AB=CD,∠A= 90° B. AB=AD,∠A= 90° C. AB∥CD,∠A= 90° D. 以上均错 2. 如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相 交于点 O. E,F 分别为 AC,BD 上一点,且 OE =OF, 连接 AF, BE, EF. 若 ∠AFE = 25°, 则 ∠CBE 的度数为 (　 　 ) A. 50° B. 55° C. 65° D. 70° 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 55 3. 如图,O 为正方形 ABCD 对角线 AC 的中点, △ACE 为等边三角形. 若 AB = 2,则 OE 的长 度为 (　 　 ) A. 6 2 B. 6 C. 2 2 D. 2 3 4. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 CD, BC 上,且 BF =CE,连接 BE,AF 相交于点 G, 则下列结论不正确的是 (　 　 ) A. BE=AF B. ∠DAF= ∠BEC C. ∠AFB+∠BEC= 90° D. AG⊥BE 二、填空题。 1. ▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AC⊥BD,请添加一个条件: ,使得四 边形 ABCD 为正方形. 2. (枣庄最新中考题)如图,在正方形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 为 BC 上一 点,CE= 7,F 为 DE 的中点,若△CEF 的周长 为 32,则 OF 的长为　 　 　 　 . 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. (广西最新中考题)如图,在边长为 2 的正方 形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 上的动点, M,N 分别是 EF,AF 的中点,则 MN 的最大值 为　 　 　 　 . 三、解答题。 1. 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,G 为线段 AD 上任意一点,CE⊥BG 于点 E,DF⊥CE 于 点 F. 求证:DF=BE+EF. 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,过点 C 的 直线 MN∥AB,D 为 AB 边上一点,过点 D 作 DE⊥BC,交直线 MN 于 E,垂足为 F,连接 CD,BE. (1)求证:CE=AD; (2)当 D 为 AB 的中点时,四边形 BECD 是什 么特殊四边形? 说明你的理由; (3)若 D 为 AB 的中点,则当∠A 的大小满足 什么条件时,四边形 BECD 是正方形? 请 说明理由. (绍兴最新中考题)如图,在正方形 ABCD 中,G 是对角线 BD 上的一点(与点 B,D 不重合),GE ⊥CD,GF⊥BC,E,F 分别为垂足. 连接 EF,AG, 并延长 AG 交 EF 于点 H. (1)求证:∠DAG= ∠EGH. (2)判断 AH 与 EF 是否垂直,并说明理由. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 65 P41~ 42 一、1. B　 2. C　 3. B　 4. D　 5. A　 6. B 二、1. 900　 2. 60°　 3. 800°　 4. 95°　 5. 72°　 6. 12 三、1. 85° 2. 这个正多边形的边数是 9,每个内角的度数是 140°. 3. (1)120°　 (2)存在. 边数是 6,外角度数为 30° 4. 测量∠A 或∠C 的度数,只需看∠A 或∠C 是否等于 100°, 即知是否符合规定. 中考连接　 B P43~ 45 一、1. C　 2. C　 3. C　 4. B　 5. B　 6. D　 7. D　 8. B　 9. C　 10. B 二、1. 2(x+3)(x-3)　 2. 70°　 3. - 3 7 或 3 4. (0,7)　 5. 3　 6. 4 3 三、1. (1)(a-5)(x+2)(x-2) (2) -1<x≤2 2. (1)∠C= 37. 5°　 (2)DC= 7 2 cm 3. 原式= x +2 x-2 ;当 x= 0 时,原式= 0 +2 0-2 = -1. 5. (1)0. 26 元　 (2)74 千米 6. (1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD, ∴ ∠ABF= ∠DEF. ∵ F 为边 AD 的中点,∴ AF=DF. ∵ ∠AFB= ∠DFE,∴ △ABF≌△DEF,∴ DE = AB. 又∵ DE ∥AB,∴ 四边形 ABDE 是平行四边形. (2)EF= 2 5 . P46~ 48 一、1. C　 2. A　 3. C　 4. C　 5. C　 6. A　 7. B 8. A　 9. D　 10. D 二、1. -2　 2. 等腰三角形　 3. x<-3　 4. 120°　 5. 2　 60° 6. (4,6) 三、1. (1)2(x+y) 2(x-y) 2 　 (2) 1 2 <x≤4,整数解为 1,2,3,4 2. 原式= 2x-3,当 x= -1 时,原式= -5 3. (2)①等腰三角形“三线合一” 　 ②AE=DB　 ③两直线平 行,内错角相等 　 ④∠AFE= ∠DFB 4. (1)2　 y 轴　 120°　 (2)∠AEO= 90° 5. (1)甲 15 元,乙 25 元 　 (2)1 090 元 6. (1)S= -4 3 t+32 3 (0≤t≤6)　 (2) 10 3 　 (3) t= 2 或14 3 P50 一、1. B　 2. C　 3. B 二、1. 62　 2. 2 3 　 3. 10　 4. ③ 三、1. AC⊥BD　 四边形 ABCD 是菱形. 证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ BO = DO. ∵ AC⊥ BD,∴ AC 垂直平分 BD, ∴ AB = AD, ∴ 四边形 ABCD 为 菱形. 2. (1)∵ AG∥BC,∴ ∠EAD= ∠DCF. ∵ D 是 AC 边的中点, ∴ AD=CD.又∵ ∠ADE=∠CDF,∴ △ADE≌△CDF(ASA). (2)当四边形 ACFE 是菱形时,AE=AC=CF=EF,由题意,得 AE= t cm,CF= (2t-6)cm. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC= BC= 6 cm. ∴ t= 6,2t-6 = 6,即 t = 6. ∴ 当 t 的值为 6 时,四 边形 ACFE 是菱形. 中考连接 　 (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∠BAD= ∠BCD,∴ ∠BEA= ∠DAE,∵ AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD 的 平分线, ∴ ∠BAE = ∠DAE = 1 2 ∠BAD, ∠BCF = 1 2 ∠BCD, ∴ ∠DAE= ∠BCF= ∠BEA,∴ AE∥FC,∴ 四边形 AECF 是平行 四边形,∵ AE=AF,∴ 四边形 AECF 是菱形; (2)平行线 AB 与 DC 间的距离为 4 3 . P52~ 53 一、1. C　 2. D　 3. C　 4. B 二、1. 10　 2. 110　 3. 5　 4. 22 三、1. 证明:∵ DE∥AC,CE∥BD,∴ 四边形 ODEC 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD, ∴ ∠COD = 90°. ∴ ▱ODEC 是矩形. ∴ OE=CD. 2. 证明:(1)∵ AF∥BC,∴ ∠AFE=∠DCE,∵ 点 E 为 AD 的中点, ∴ AE=DE,在△AEF 和△EDC 中, ∠AFE=∠DCE, ∠AEF=∠DEC, AE=DE, { ∴ △EAF ≌△EDC(AAS),∴ AF=CD,∵ CD=BD,∴ AF=BD; (2)∵ AF∥BD,AF=BD,∴ 四边形 AFBD 是平行四边形, ∵ AB=AC,BD = CD,∴ ∠ADB = 90°,∴ 平行四边形 AFBD 是矩形. 中考连接 　 证明:(1)在△AOB 与△DOC 中, ∠ABO=∠DCO=90°, OB=OC, ∠AOB=∠DOC, { ∴ △AOB≌ △DOC(ASA),∴ OA=OD,又∵ E,F 分别是 AO,DO 的中点,∴ OE= OF;(2)∵ OB=OC,OF = OE,∴ 四边形 BECF 是平行四边形, BC= 2OB,EF = 2OE,∵ E 为 AO 的中点,∠ABO = 90°,∴ EB = EO=EA,∵ ∠A = 30°,∴ ∠BOE = 60°,∴ △BOE 是等边三角 形,∴ OB=OE,∴ BC=EF,∴ 四边形 BECF 是矩形. P55~ 56 一、1. B　 2. C　 3. B　 4. C 二、1. AC=BD　 2. 17 2 　 3. 2 三、1. 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC=CD,∠BCD= 90°, ∴ ∠BCE+∠DCF = 90°,∵ CE⊥BG,DF⊥CE,∴ ∠BEC = ∠CFD= 90°,∴ ∠BCE+∠CBE = 90°,∴ ∠CBE = ∠DCF, 在△BCE 和△CDF 中, ∠BEC= ∠CFD= 90° ∠CBE= ∠DCF BC=CD { ,∴ △BCE≌ △CDF(AAS),∴ BE = CF,CE = DF,∴ CE = CF+EF = BE+ EF,∴ DF=BE+EF. 2. (2)菱形　 (3)∠A= 45° 中考连接 　 (1)证明:在正方形 ABCD 中,AD⊥CD,∵ GE⊥CD,∴ AD∥ GE,∴ ∠DAG= ∠EGH. (2)解:AH 与 EF 垂直,理由如下. 连接 GC 交 EF 于点 O. ∵ BD 为正方形 ABCD 的对 角线, ∴ ∠ADG = ∠CDG = 45°,又∵ DG = DG,AD = CD,∴ △ADG≌△CDG,∴ ∠DAG = ∠DCG. 在正方形 ABCD 中,∠ECF= 90°, 又∵ GE⊥CD,GF⊥BC,∴ 四边形 FCEG 为矩形,∴ OE = OC, ∴ ∠OEC = ∠OCE, ∴ ∠DAG = ∠OEC. ∴ ∠EGH + ∠GEH = ∠OEC+∠GEH= ∠GEC= 90°,∴ ∠GHE= 90°,∴ AH⊥EF. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 06