衔接作业(2) 矩形的性质与判定-【金牌题库】2024年八年级数学暑假作业（北师大版）

衔接作业(2) 　 矩形的性质与判定 知识点一　 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 例 1:如图所示,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB =DC. 在不添加 任何辅助线的前提下,要想使该四边 形成为矩形,只需再加上的一个条件 是 . 分析:∵ AB∥DC,AB = DC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 根据矩形的定义,只要再有一个 角是直角,就可判定▱ABCD 是矩形,故添加的 条件可以是∠A = 90°或∠B = 90°或∠C = 90°或 ∠D= 90°. 答案:∠A= 90°或∠B= 90°或∠C= 90°或∠D = 90° 知识点二　 矩形的性质 1. 矩形的性质定理 定理 文字语言 图形 符号语言 定理 1 矩形的四个角 是直角 ∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ ∠A=∠B= ∠C=∠D=90° 定理 2 矩形的对角线 相等 ∵ 四 边 形 ABCD 是矩形,AC,BD 是 对角线,∴ AC=BD 　 　 归纳:矩形的边、对角线的性质 边:矩形的对边平行且相等, 邻边互相 垂直. 对角线:矩形的对角线互相平分且相等. 例 2:如图所示,在矩形 AB- CD 中,两条对角线相交于点 O, ∠BOC= 120°,AB = 6,求:(1)对 角线的长; ( 2) BC 的长; ( 3) 矩形 ABCD 的 面积. 解:(1)∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC=BD, OA=OC, OB=OD, ∴ OA=OB. 又∵ ∠BOC= 120°,∴ ∠AOB= 60°, ∴ △AOB 是等边三角形,∴ OA=AB= 6, ∴ BD=AC= 2OA= 2×6 = 12. (2)在 Rt△ABC 中,AB= 6,AC= 12, 由勾股定理,得 BC = AC2 -AB2 = 122 -62 = 108 = 6 3 . (3)S矩形ABCD =AB·BC= 6×6 3 = 36 3 . 2. 矩形的对称性 (1)矩形是轴对称图形,它有 两条对称轴(如图中的直线 l,m), 分别是过每一组对边中点的直线, 它们互相垂直. (2)矩形是中心对称图形,对称中心是两条 对角线的交点. 一、选择题。 1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 (　 　 ) A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 如图,矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯的 截面图,杯中水面与 CD 的交点为 E,当水杯 底面 BC 与水平面的夹角为 27°时,∠AED 的 大小为 (　 　 ) A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 第 2 题图 　 　 　 第 4 题图 3. (上海最新中考题)在四边形 ABCD 中,AD∥ BC,AB = CD. 下列说法能使四边形 ABCD 为 矩形的是 (　 　 ) A. AB∥CD B. AD=BC C. ∠A= ∠B D. ∠A= ∠D 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 25 4. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 点 O,∠ADB= 30°,AB= 4,则 OC= (　 　 ) A. 5 B. 4 C. 3. 5 D. 3 二、填空题。 1. 如图,在△ABC 中,AB = AC,AD⊥BC,垂足为 D,E 是 AC 的中点. 若 DE = 5,则 AB 的长 为 . 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图所示为一农村民居侧面截图,屋坡 AF, AG 分别架在墙体的点 B,C 处,且 AB =AC,侧 面四边形 BDEC 为矩形,若测得∠FBD= 55°, 则∠A= 　 　 　 　 °. 3. 如图,在 Rt△ABC 中,E 是斜边 AB 的中点,若 AB= 10,则 CE= . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. (滨州最新中考题)如图,矩形 ABCD 的对角 线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别是线段 OB,OA 上的点. 若 AE =BF,AB = 5,AF = 1,BE = 3,则 BF 的长为　 　 　 　 . 三、解答题。 1. 如图,已知菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交 于点 O,点 E 是菱形外一点,且 DE∥AC,CE∥ BD,连接 OE. 求证:OE=CD. 2. (内江最新中考题)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 AF∥ BC 交 CE 的延长线于点 F. (1)求证:AF=BD; (2)连接 BF,若 AB = AC,求证:四边形 ADBF 是矩形. (新疆最新中考题) 如图,AD 和 BC 相交于点 O,∠ABO = ∠DCO = 90°,OB = OC. 点 E,F 分别 是 AO,DO 的中点. (1)求证:OE=OF; (2)当∠A= 30°时,求 证:四边形 BECF 是矩形. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 35 P41~ 42 一、1. B　 2. C　 3. B　 4. D　 5. A　 6. B 二、1. 900　 2. 60°　 3. 800°　 4. 95°　 5. 72°　 6. 12 三、1. 85° 2. 这个正多边形的边数是 9,每个内角的度数是 140°. 3. (1)120°　 (2)存在. 边数是 6,外角度数为 30° 4. 测量∠A 或∠C 的度数,只需看∠A 或∠C 是否等于 100°, 即知是否符合规定. 中考连接　 B P43~ 45 一、1. C　 2. C　 3. C　 4. B　 5. B　 6. D　 7. D　 8. B　 9. C　 10. B 二、1. 2(x+3)(x-3)　 2. 70°　 3. - 3 7 或 3 4. (0,7)　 5. 3　 6. 4 3 三、1. (1)(a-5)(x+2)(x-2) (2) -1<x≤2 2. (1)∠C= 37. 5°　 (2)DC= 7 2 cm 3. 原式= x +2 x-2 ;当 x= 0 时,原式= 0 +2 0-2 = -1. 5. (1)0. 26 元　 (2)74 千米 6. (1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD, ∴ ∠ABF= ∠DEF. ∵ F 为边 AD 的中点,∴ AF=DF. ∵ ∠AFB= ∠DFE,∴ △ABF≌△DEF,∴ DE = AB. 又∵ DE ∥AB,∴ 四边形 ABDE 是平行四边形. (2)EF= 2 5 . P46~ 48 一、1. C　 2. A　 3. C　 4. C　 5. C　 6. A　 7. B 8. A　 9. D　 10. D 二、1. -2　 2. 等腰三角形　 3. x<-3　 4. 120°　 5. 2　 60° 6. (4,6) 三、1. (1)2(x+y) 2(x-y) 2 　 (2) 1 2 <x≤4,整数解为 1,2,3,4 2. 原式= 2x-3,当 x= -1 时,原式= -5 3. (2)①等腰三角形“三线合一” 　 ②AE=DB　 ③两直线平 行,内错角相等 　 ④∠AFE= ∠DFB 4. (1)2　 y 轴　 120°　 (2)∠AEO= 90° 5. (1)甲 15 元,乙 25 元 　 (2)1 090 元 6. (1)S= -4 3 t+32 3 (0≤t≤6)　 (2) 10 3 　 (3) t= 2 或14 3 P50 一、1. B　 2. C　 3. B 二、1. 62　 2. 2 3 　 3. 10　 4. ③ 三、1. AC⊥BD　 四边形 ABCD 是菱形. 证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ BO = DO. ∵ AC⊥ BD,∴ AC 垂直平分 BD, ∴ AB = AD, ∴ 四边形 ABCD 为 菱形. 2. (1)∵ AG∥BC,∴ ∠EAD= ∠DCF. ∵ D 是 AC 边的中点, ∴ AD=CD.又∵ ∠ADE=∠CDF,∴ △ADE≌△CDF(ASA). (2)当四边形 ACFE 是菱形时,AE=AC=CF=EF,由题意,得 AE= t cm,CF= (2t-6)cm. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC= BC= 6 cm. ∴ t= 6,2t-6 = 6,即 t = 6. ∴ 当 t 的值为 6 时,四 边形 ACFE 是菱形. 中考连接 　 (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∠BAD= ∠BCD,∴ ∠BEA= ∠DAE,∵ AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD 的 平分线, ∴ ∠BAE = ∠DAE = 1 2 ∠BAD, ∠BCF = 1 2 ∠BCD, ∴ ∠DAE= ∠BCF= ∠BEA,∴ AE∥FC,∴ 四边形 AECF 是平行 四边形,∵ AE=AF,∴ 四边形 AECF 是菱形; (2)平行线 AB 与 DC 间的距离为 4 3 . P52~ 53 一、1. C　 2. D　 3. C　 4. B 二、1. 10　 2. 110　 3. 5　 4. 22 三、1. 证明:∵ DE∥AC,CE∥BD,∴ 四边形 ODEC 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD, ∴ ∠COD = 90°. ∴ ▱ODEC 是矩形. ∴ OE=CD. 2. 证明:(1)∵ AF∥BC,∴ ∠AFE=∠DCE,∵ 点 E 为 AD 的中点, ∴ AE=DE,在△AEF 和△EDC 中, ∠AFE=∠DCE, ∠AEF=∠DEC, AE=DE, { ∴ △EAF ≌△EDC(AAS),∴ AF=CD,∵ CD=BD,∴ AF=BD; (2)∵ AF∥BD,AF=BD,∴ 四边形 AFBD 是平行四边形, ∵ AB=AC,BD = CD,∴ ∠ADB = 90°,∴ 平行四边形 AFBD 是矩形. 中考连接 　 证明:(1)在△AOB 与△DOC 中, ∠ABO=∠DCO=90°, OB=OC, ∠AOB=∠DOC, { ∴ △AOB≌ △DOC(ASA),∴ OA=OD,又∵ E,F 分别是 AO,DO 的中点,∴ OE= OF;(2)∵ OB=OC,OF = OE,∴ 四边形 BECF 是平行四边形, BC= 2OB,EF = 2OE,∵ E 为 AO 的中点,∠ABO = 90°,∴ EB = EO=EA,∵ ∠A = 30°,∴ ∠BOE = 60°,∴ △BOE 是等边三角 形,∴ OB=OE,∴ BC=EF,∴ 四边形 BECF 是矩形. P55~ 56 一、1. B　 2. C　 3. B　 4. C 二、1. AC=BD　 2. 17 2 　 3. 2 三、1. 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC=CD,∠BCD= 90°, ∴ ∠BCE+∠DCF = 90°,∵ CE⊥BG,DF⊥CE,∴ ∠BEC = ∠CFD= 90°,∴ ∠BCE+∠CBE = 90°,∴ ∠CBE = ∠DCF, 在△BCE 和△CDF 中, ∠BEC= ∠CFD= 90° ∠CBE= ∠DCF BC=CD { ,∴ △BCE≌ △CDF(AAS),∴ BE = CF,CE = DF,∴ CE = CF+EF = BE+ EF,∴ DF=BE+EF. 2. (2)菱形　 (3)∠A= 45° 中考连接 　 (1)证明:在正方形 ABCD 中,AD⊥CD,∵ GE⊥CD,∴ AD∥ GE,∴ ∠DAG= ∠EGH. (2)解:AH 与 EF 垂直,理由如下. 连接 GC 交 EF 于点 O. ∵ BD 为正方形 ABCD 的对 角线, ∴ ∠ADG = ∠CDG = 45°,又∵ DG = DG,AD = CD,∴ △ADG≌△CDG,∴ ∠DAG = ∠DCG. 在正方形 ABCD 中,∠ECF= 90°, 又∵ GE⊥CD,GF⊥BC,∴ 四边形 FCEG 为矩形,∴ OE = OC, ∴ ∠OEC = ∠OCE, ∴ ∠DAG = ∠OEC. ∴ ∠EGH + ∠GEH = ∠OEC+∠GEH= ∠GEC= 90°,∴ ∠GHE= 90°,∴ AH⊥EF. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 06