衔接作业(1) 菱形的性质与判定-【金牌题库】2024年八年级数学暑假作业（北师大版）

新课衔接篇 衔接作业(1) 　 菱形的性质与判定 知识点一　 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 例 1:如图所示,在△ABC 中,∠C = 90°,AD 平分∠BAC,ED⊥BC,DF∥AB. 求证:四边形 A E F C D B AFDE 是菱形. 证明:∵ DE⊥BC, ∴ ∠EDB = 90°. 又∵ ∠C=90°,∴ ∠C=∠EDB, ∴ DE∥AC. 又∵ DF∥AB, ∴ 四边形 AFDE 是平行四边形. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠FAD= ∠EAD. 又∵ DF∥AB,∴ ∠EAD= ∠ADF, ∴ ∠FAD= ∠ADF. ∴ AF=DF. ∴ 平行四边形 AFDE 是菱形(有一组邻边 相等的平行四边形是菱形) . 知识点二　 菱形的性质 1. 菱形的性质定理 定理 文字语言 图示 符号语言 定理 1 菱形的四边 相等 ∵ 四边形 ABCD是菱形, ∴ AB=BC=CD=DA 定理 2 菱形的对角 线互相垂直 ∵ 四边形 ABCD是菱形, ∴ AC⊥BD 　 　 2. 菱形的对称性 (1)菱形是轴对称图形,两条对角线所在直 线都是它的对称轴. (2)菱形是中心对称图形,对角线的交点是 它的对称中心. 归纳:(1)菱形是特殊的平行四边形,它具 有平行四边形的一切特征. 具体如下: ①边:对边平行且四条边相等; ②角:对角相等,邻角互补; ③对角线:互相垂直,互相平分,每一条对 角线都平分一组对角. (2)菱形的周长等于边长的 4 倍. (3)如果菱形的一个内角为 60°,那么这个 菱形的两边与较短对角线可构成等边三角形. 此时,两条对角线把菱形分成四个全等的含 30° 角的直角三角形. 例 2:如图所示,四边形 ABCD 是菱形,对角 线 AC,BD 相交于点 O,且 AB= 2. (1)求菱形 ABCD 的周长; (2)若 AC= 2,求 BD 的长. 解:(1) ∵ 四边形 ABCD 是 菱形,AB = 2,∴ 菱形 ABCD 的 周长= 2×4 = 8. (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC= 2,AB= 2, ∵ AC⊥BD,AO = 1,∴ BO = AB2 -AO2 = 22 -12 = 3 ,∴ BD= 2BO= 2 3 . 知识点三　 菱形的判定 元素 判定 文字语言 符号语言 图示 边 对 角 线 定义法 有一 组 邻 边 相等 的 平 行 四边 形 叫 做 菱形 在 ▱ABCD 中, ∵ AB = BC, ∴ ▱ABCD 是菱形 定理 四边 相 等 的 四 边 形 是 菱形 ∵ AB = BC = CD =DA,∴ 四边形 ABCD 是菱形 定理 对角 线 互 相 垂直 的 平 行 四 边 形 是 菱形 ▱ABCD 中, ∵ AC ⊥ BD, ∴ ▱ABCD是菱形 　 　 例 3:如图所示,在▱ABCD 中,作对角线 BD 的垂直平分线 EF,垂足为 O,分别交 AD,BC 于 E,F,连接 BE,DF. 求证:四边形 BFDE 是 菱形. 分析:结合平行四边形 ABCD 的性质,可证 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 94 四边形 BFDE 四边相等或为平行四边形且一组 邻边相等. 已知 EF 垂直平分 BD,也可证 OE = OF,根据对角线互相垂直平分得四边形 BFDE 是菱形. 证明:(方法 1)∵ EF 为 BD 的垂直平分线, ∴ BF=DF,EF⊥BD. ∴ ∠DBF= ∠BDF. 又在▱ABCD 中,∠EDB= ∠DBF, ∴ ∠EDB= ∠BDF. 在△EOD 和△FOD 中, ∠EDB= ∠BDF, OD=OD, ∠EOD= ∠FOD= 90°, ì î í ï ï ïï ∴ △EOD≌△FOD(ASA),∴ ED=FD. 同理 BE=BF,∴ BE=ED=BF=DF. ∴ 四边形 BFDE 是菱形(四边相等的四边 形是菱形) . (方法 2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ DE∥BF. ∴ ∠DEF= ∠BFE,∠EDB= ∠FBD. 又∵ EF 垂直平分 BD, ∴ BO=OD,BE=ED. 在△EOD 和△FOB 中, ∠OED= ∠OFB, ∠EDO= ∠FBO, DO=BO, ì î í ï ï ïï ∴ △EOD≌△FOB(AAS) . ∴ ED=FB,∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. 又∵ BE=ED, ∴ ▱BFDE 是菱形(一组邻边相等的平行 四边形是菱形) . (方法 3)∵ 在▱ABCD 中,O 为对角线 BD 的中点, ∴ BO=DO,∠EDO= ∠FBO. 在△EOD 和△FOB 中, ∠EDO= ∠FBO, OD=OB, ∠EOD= ∠FOB, ì î í ï ï ïï ∴ △EOD≌△FOB(ASA) . ∴ OE=OF. 又∵ OB = OD. ∴ 四边形 BFDE 是平行四 边形. ∵ EF⊥BD,∴ 四边形 BFDE 为菱形(对角 线互相垂直的平行四边形是菱形) . 知识点四　 菱形的面积 1. 菱形是平行四边形,它的面积可用平行四 边形的面积公式来计算.菱形的面积=底×高. 2. 菱形的对角线互相垂直,它的面积可转 化成三角形的面积来计算. 若 a,b 分别表示两 条对角线长,菱形的面积等于两条对角线长乘 积的一半,即菱形的面积 S = 1 2 ab. 例 4:如图所示,在菱形 ABCD 中,点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点,且在△AOB 中, OA= 12,OB= 5,求菱形 ABCD 两对边之间的距 离 h. 分析:由已知,菱形的边长可求,依据被对 角线分成的四个小直角三角形的面积之和等于 菱形的边长×h,建立等量关系求 h 即可. 解:在 Rt △AOB 中,OA = 12,OB = 5,易得 AB= 13,所以 S△AOB = 1 2 OA·OB= 1 2 ×12×5 = 30, 所以 S菱形ABCD = 4S△AOB = 4×30 = 120. 又因为菱形两组对边之间的距离相等, 且 S菱形ABCD = AB · h = 13h = 120, 所以 h = 120 13 . 一、选择题。 1. 如图,要使▱ABCD 成为菱形,则需添加的一 个条件是 (　 　 ) A. AC=AD B. BA=BC C. ∠ABC= 90° D. AC=BD 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,添加下列条件不能 ∙∙ 判定▱ABCD 是菱形的 只有 (　 　 ) A. AC⊥BD B. AB=BC C. AC=BD D. ∠1 = ∠2 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 05 3. 如图,菱形 ABCD 的对角线长分别为 2 和 5,P 是对角线 AC 上任意一点(点 P 不与点 A,C 重合),且 PE∥BC 交 AB 于点 E,PF∥CD 交 AD 于点 F,则阴影部分的面积是 (　 　 ) A. 2 B. 2. 5 C. 3 D. 3. 5 二、填空题。 1. 如图,在菱形 ABCD 中,M,N 分别在 AB,CD 上, 且 AM = CN,MN 与 AC 交于点 O,连接 BO. 若 ∠DAC=28°,则∠OBC 的度数为　 　 　 　 度. 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. (甘肃最新中考题) 如图, 菱形 ABCD 中, ∠DAB= 60°,BE⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为 B,D,若 AB= 6 cm,则 EF= 　 　 　 　 cm. 3. 如图,将一个长为 10cm,宽为 8 cm 的长方形 纸片对折两次后,沿所得长方形两邻边中点 的连线(虚线)剪下,再打开,得到菱形的面积 为 cm2 . 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,点 E, F 分别在线段 AD 及其延长线上,且 DE=DF, 给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB= AC. 从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱 形,你认为这个条件是 (填序号) . 三、解答题。 1. 求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 小红同学根据题意画出了图形,并写出了已知 和求证的一部分,请你补全已知和求证,并写 出证明过程. 已知:如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 交 于点 O, . 求证: . 2. 如图,在等边三角形 ABC 中,BC = 6 cm. 射线 AG∥BC,若 E 从点 A 出发沿射线 AG 以 1 cm / s 的速度运动,同时点F 从点B 出发沿射线BC 以 2 cm / s 的速度运动,设运动时间为 t s. (1)连接 EF,当 EF 经过 AC 边的中点 D 时, 求证:△ADE≌△CDF; (2)当 t 为何值时,四边形 ACFE 是菱形? (云南最新中考题)如图,平行四边形 ABCD 中, AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD 的平分线,且 E,F 分别在边 BC,AD 上,AE=AF. (1)求证:四边形 AECF 是菱形; (2)若∠ABC = 60°,△ABE 的面积等于 4 3 ,求 平行线 AB 与 DC 间的距离. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 15 P41~ 42 一、1. B　 2. C　 3. B　 4. D　 5. A　 6. B 二、1. 900　 2. 60°　 3. 800°　 4. 95°　 5. 72°　 6. 12 三、1. 85° 2. 这个正多边形的边数是 9,每个内角的度数是 140°. 3. (1)120°　 (2)存在. 边数是 6,外角度数为 30° 4. 测量∠A 或∠C 的度数,只需看∠A 或∠C 是否等于 100°, 即知是否符合规定. 中考连接　 B P43~ 45 一、1. C　 2. C　 3. C　 4. B　 5. B　 6. D　 7. D　 8. B　 9. C　 10. B 二、1. 2(x+3)(x-3)　 2. 70°　 3. - 3 7 或 3 4. (0,7)　 5. 3　 6. 4 3 三、1. (1)(a-5)(x+2)(x-2) (2) -1<x≤2 2. (1)∠C= 37. 5°　 (2)DC= 7 2 cm 3. 原式= x +2 x-2 ;当 x= 0 时,原式= 0 +2 0-2 = -1. 5. (1)0. 26 元　 (2)74 千米 6. (1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD, ∴ ∠ABF= ∠DEF. ∵ F 为边 AD 的中点,∴ AF=DF. ∵ ∠AFB= ∠DFE,∴ △ABF≌△DEF,∴ DE = AB. 又∵ DE ∥AB,∴ 四边形 ABDE 是平行四边形. (2)EF= 2 5 . P46~ 48 一、1. C　 2. A　 3. C　 4. C　 5. C　 6. A　 7. B 8. A　 9. D　 10. D 二、1. -2　 2. 等腰三角形　 3. x<-3　 4. 120°　 5. 2　 60° 6. (4,6) 三、1. (1)2(x+y) 2(x-y) 2 　 (2) 1 2 <x≤4,整数解为 1,2,3,4 2. 原式= 2x-3,当 x= -1 时,原式= -5 3. (2)①等腰三角形“三线合一” 　 ②AE=DB　 ③两直线平 行,内错角相等 　 ④∠AFE= ∠DFB 4. (1)2　 y 轴　 120°　 (2)∠AEO= 90° 5. (1)甲 15 元,乙 25 元 　 (2)1 090 元 6. (1)S= -4 3 t+32 3 (0≤t≤6)　 (2) 10 3 　 (3) t= 2 或14 3 P50 一、1. B　 2. C　 3. B 二、1. 62　 2. 2 3 　 3. 10　 4. ③ 三、1. AC⊥BD　 四边形 ABCD 是菱形. 证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ BO = DO. ∵ AC⊥ BD,∴ AC 垂直平分 BD, ∴ AB = AD, ∴ 四边形 ABCD 为 菱形. 2. (1)∵ AG∥BC,∴ ∠EAD= ∠DCF. ∵ D 是 AC 边的中点, ∴ AD=CD.又∵ ∠ADE=∠CDF,∴ △ADE≌△CDF(ASA). (2)当四边形 ACFE 是菱形时,AE=AC=CF=EF,由题意,得 AE= t cm,CF= (2t-6)cm. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC= BC= 6 cm. ∴ t= 6,2t-6 = 6,即 t = 6. ∴ 当 t 的值为 6 时,四 边形 ACFE 是菱形. 中考连接 　 (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∠BAD= ∠BCD,∴ ∠BEA= ∠DAE,∵ AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD 的 平分线, ∴ ∠BAE = ∠DAE = 1 2 ∠BAD, ∠BCF = 1 2 ∠BCD, ∴ ∠DAE= ∠BCF= ∠BEA,∴ AE∥FC,∴ 四边形 AECF 是平行 四边形,∵ AE=AF,∴ 四边形 AECF 是菱形; (2)平行线 AB 与 DC 间的距离为 4 3 . P52~ 53 一、1. C　 2. D　 3. C　 4. B 二、1. 10　 2. 110　 3. 5　 4. 22 三、1. 证明:∵ DE∥AC,CE∥BD,∴ 四边形 ODEC 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥ BD, ∴ ∠COD = 90°. ∴ ▱ODEC 是矩形. ∴ OE=CD. 2. 证明:(1)∵ AF∥BC,∴ ∠AFE=∠DCE,∵ 点 E 为 AD 的中点, ∴ AE=DE,在△AEF 和△EDC 中, ∠AFE=∠DCE, ∠AEF=∠DEC, AE=DE, { ∴ △EAF ≌△EDC(AAS),∴ AF=CD,∵ CD=BD,∴ AF=BD; (2)∵ AF∥BD,AF=BD,∴ 四边形 AFBD 是平行四边形, ∵ AB=AC,BD = CD,∴ ∠ADB = 90°,∴ 平行四边形 AFBD 是矩形. 中考连接 　 证明:(1)在△AOB 与△DOC 中, ∠ABO=∠DCO=90°, OB=OC, ∠AOB=∠DOC, { ∴ △AOB≌ △DOC(ASA),∴ OA=OD,又∵ E,F 分别是 AO,DO 的中点,∴ OE= OF;(2)∵ OB=OC,OF = OE,∴ 四边形 BECF 是平行四边形, BC= 2OB,EF = 2OE,∵ E 为 AO 的中点,∠ABO = 90°,∴ EB = EO=EA,∵ ∠A = 30°,∴ ∠BOE = 60°,∴ △BOE 是等边三角 形,∴ OB=OE,∴ BC=EF,∴ 四边形 BECF 是矩形. P55~ 56 一、1. B　 2. C　 3. B　 4. C 二、1. AC=BD　 2. 17 2 　 3. 2 三、1. 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC=CD,∠BCD= 90°, ∴ ∠BCE+∠DCF = 90°,∵ CE⊥BG,DF⊥CE,∴ ∠BEC = ∠CFD= 90°,∴ ∠BCE+∠CBE = 90°,∴ ∠CBE = ∠DCF, 在△BCE 和△CDF 中, ∠BEC= ∠CFD= 90° ∠CBE= ∠DCF BC=CD { ,∴ △BCE≌ △CDF(AAS),∴ BE = CF,CE = DF,∴ CE = CF+EF = BE+ EF,∴ DF=BE+EF. 2. (2)菱形　 (3)∠A= 45° 中考连接 　 (1)证明:在正方形 ABCD 中,AD⊥CD,∵ GE⊥CD,∴ AD∥ GE,∴ ∠DAG= ∠EGH. (2)解:AH 与 EF 垂直,理由如下. 连接 GC 交 EF 于点 O. ∵ BD 为正方形 ABCD 的对 角线, ∴ ∠ADG = ∠CDG = 45°,又∵ DG = DG,AD = CD,∴ △ADG≌△CDG,∴ ∠DAG = ∠DCG. 在正方形 ABCD 中,∠ECF= 90°, 又∵ GE⊥CD,GF⊥BC,∴ 四边形 FCEG 为矩形,∴ OE = OC, ∴ ∠OEC = ∠OCE, ∴ ∠DAG = ∠OEC. ∴ ∠EGH + ∠GEH = ∠OEC+∠GEH= ∠GEC= 90°,∴ ∠GHE= 90°,∴ AH⊥EF. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 06