第一章空间向量与立体几何5大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一

第一章空间向量与立体几何5大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 5大考点汇总 考点一：空间向量及其运算 考点二：空间向量基本定理 考点三：空间向量及其运算的坐标表示 考点四：用空间向量研究直线、平面的位置关系 考点五：用空间向量研究距离、夹角问题 跟踪训练 考点一：空间向量及其运算 1．在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（    ） A． B． C． D．6 2．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 考点二：空间向量基本定理 5．三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（      ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，为的交点.若，则向量（    ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 考点三：空间向量及其运算的坐标表示 9．在直三棱柱中，已知，，为的中点，点在上，若平面，则三棱锥的外接球的表面积为 . 10．已知向量，，且，则 ． 11．已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示） 12．已知正四面体棱长为2，点分别是，，内切圆上的动点，现有下列四个命题： ①对于任意点，都存在点，使； ②存在，使直线平面； ③当最小时，三棱锥的体积为 ④当最大时，顶点到平面的距离的最大值为． 其中正确的有 ．（填选正确的序号即可） 考点四：用空间向量研究直线、平面的位置关系 13．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 14．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． (1)求； (2)求； (3)若点在棱BC上，且平面，求的长． 15．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D.    (1)求证：平面； (2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由. 16．直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    考点五：用空间向量研究距离、夹角问题 17．如图，在三棱锥中，分别是侧棱的中点，，平面.    (1)求证：平面平面； (2)如果，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 18．如图，在三棱锥中，，其中分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19．如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 20．如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，. (1)证明：. (2)已知平面平面，求二面角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据共面向量定理将所求最小值转化为点到平面的距离，再利用体积求解即可. 【详解】设，由共面向量定理得点为平面内任意一点， 且， 所以， 求的最小值，即求点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由题意知， 四面体的体积， 解得，故所求最小值为6． 故选：D． 2．C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 3．B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 4．B 【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案. 【详解】. 故选：B. 5．D 【分析】设，根据对角线向量的性质列方程求关系，从而可得线线垂直，过作，连接，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角的平面角，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，从而可得球的体积. 【详解】如图所示， 设，则， 由向量的运算及余弦定理可得： 所以， 解得：，故，过作，连接，则， 设，则，解得：，所以点与点重合， 故，，即为二面的平面角， 故三棱锥可放置成如图所示， 为底