奥数第21讲整除与有余数除法（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学人教版

第21讲 整除与有余数除法 我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，没有余数，即数的整除性：另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。 【模块一：知识点拨】 这种带有余数的除法叫作有余数除法，可表示为被除数÷除数=商…余数 上面的公式也可表示为：被除数=除数×商+余数 有时为了讨论方便和统一，也将两个整数整除时称作余数为零。可被几个特定值整除的数的特征： (1)能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。 (2)能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。 (3)能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。 (4)能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。 (5)能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。 (6)能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。 (7)能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。 有余数的除法特征： (1)一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 (2)一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 (3)一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。 (4)一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。（如果奇数位数字之和小于偶数位数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求)。 两个简单的性质： (1)若a、b两个整数都能被整数c整除，那么a、b两数之和(a+b)以及a、b两数之差(a -b)也能被c整除： (2)几个整数相乘，若其中有一个因数能被某个整数整除，那么它们的积也能被这个整数整除。 我们一般会遇到以下类型的问题： (1)根据已知条件，求解某个具体的数； (2)根据已知条件，求解一个数的某位数上的值； (3)根据题目要求，写出符合要求的所有数。 【模块二：精讲精练】 【例1】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数。 解析：这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是，而 ，， 所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是． 【答案】 【例2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？” 解析：根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而，所以这个数最小为． 【答案】 【课堂精炼】 1. 某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是多少？ 解析：除以2余1，除以4余1，除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除，所以，所以这个数可以表示为20n+1,n是自然数，所以20n+1中除以3余2的最小数是41. 【答案】 2. 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？ 解析：法一：仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于，所以这个数最小是． 法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数． 【答案】 【例3】是个四位数字。数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 解析： 用1730试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19． 【答案】19 【例4】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？ 解析：，，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，，，所以除数不是58．，，，，所以除数是 【答案】 【课堂精炼】 1. 是一个三位数.它的百位数