奥数第18讲盈亏问题（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学人教版

第18讲 盈亏问题 人们在分配东西时，如果每份分的数量少一些，会出现“物品有多余”的情况，这种情况称之为“盈”；反之，如果每份分的数量多一些，以至出现“物品不足”的情况，那就称为“亏”，根据“一盈”、“一亏”的变化规律，我们可以求出物品的总数或物品所分的份数，这类数学问题一般称它为“盈亏问题”。在我国最早的数学著作《九章算术》中就有过记载。 【模块一：知识点拨】 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈亏)两次分得之差人数或单位数 (盈盈)两次分得之差人数或单位数 (亏亏)两次分得之差人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意：1.条件转换； 2.关系互换。 【模块二：精讲精练】 【例1】 四年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 解析：比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员（人）．共有砖：（块）． 【答案】人，搬块 【例2】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？ 解析：由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒， 两种不同方案一多一少差9+6=15（粒）， 相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒）， 每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒） 【答案】位同学分粒糖 【课堂精炼】 1. 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。若平均分给小朋友，则少4个；若每个小朋友只发4个，则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友一共有多少个苹果？ 解析：若平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数肯定大于4；若每个小朋友只发4个，则老师也能留下4个，说明每个小朋友少拿若干个，就少拿了4＋4=8（个）苹果。因为小朋友人数大于4，所以，只能是每个小朋友少拿了1个，有8÷1=8（个）小朋友，有8×4＋4=36（个）苹果。 解：4＋4=8（个）；8÷1=8（个）；8×4＋4=36（个） 答：有8个小朋友，一共有36个苹果。 2. 秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？ 解析：题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天）， 萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）． 【答案】个萝卜吃天 【例3】王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？ 解析： 本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7把变成买5把，少买了（把），而钱的差额为：（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了（元）. 【答案】小提琴单价元，共带元 【例4】少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个坑没人挖；如果其中2人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖多少树坑？ 解析：如果每人都挖6个树坑，那么少（6－4）×2=4个树坑，两次相差4＋3=7个树坑。这是因为两种分配方案每人挖的相差6－5=1个树坑。 所以，少先队员一共有7÷1=7人，一共挖5×7＋3=38个树坑。 答案：少先队员一共挖38个树坑。 【课堂精炼】 1. 有一些少先队员到山上去种一批树