奥数第6讲利用等差规律计算（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学人教版

第6讲 利用等差规律计算 在小学数学运算中，常出现一类有规律的数列求和问题，这就是等差数列求和规律。 等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个固定数字的一种数列。 例如：等差数列2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。 首项：等差数列中的第一个数字，即为首项，例如上面的等差数列中2即为首项。 末项：等差数列中的最后一个数字，即为末项，例如上面的等差数列中20即为末项。 公差：等差数列中相邻两个数字的差值即为公差，例如上面的等差数列中2(10-8)即为公差。 项数：等差数列中数字的总数即为数列的项数，例如上面的等差数列中一共有10个数字，共10项。 【模块一：知识点拨】 等差数列公式 【模块二：精讲精练】 【例1】计算： 解析：原式 答案: 【例2】计算： 解析： 答案： 【课堂精炼】 1计算： 解析：原式 答案： 2.计算： 解析：原式 答案： 3.计算：___________． 解析：与公式相比，缺少偶数项，所以可以先补上偶数项． 原式 答案： 【例3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 解析：根据题意可知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？ 由刚刚推导出的公式——第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）=205，由项数=（末项-首项）÷公差+1即可求出第999项是多少.解：（999-3）÷2+1=996÷2+1=498+1=499（个） 答：499个 【例4】编号为的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？ 解析：根据中项公式可得:第5个盒子中糖果的粒数为：351÷9=39(粒)，相邻两盒的差，既公差，利用"数差÷项数差"得:=(39−11)÷(5−1)=28÷4=7(粒)， 则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖． 答案：35 【课堂精炼】 （1） 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色．如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 解析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中{a}_{1}=1，d=2，{a}_{n}=15，所以n=15-1÷2+1=8， 所以，白色方格数是：1+2+3+...+8=1+8×8÷2=36；黑色方格数是：1+2+3+...+7=1+7×7÷2=28． 答案：28 （2）小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？ 解：根据自然数连加的公式：n（n+1）÷2．如果连加到n，结果应当为n（n+1）÷2，因为漏加一项，变为1000，所以n（n+1）÷2大于1000，探讨得出n大于45 显然是连加到45了，其中漏加的数为加到45的和减去1000。 解答：解：1+2+…+44==990； 1+2+…+45==1035； 990＜1000＜1035， 漏加之数为：1035-1000=35 答案：35 【例5】点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。那么，这本书一共有多少页？ 【解析】 每天看的页数组成等差数列，公差是4，首项是30，末项是70， 要求这本书一共多少页，应该先求出点点总共看了多少天。 天数(项数)=(末项−首项)÷公差+1=(70−30)÷4+1=11 总页数=(30+70)×11÷2=100×11÷2=550， 所以，这本书一共有550页。 答：550页 【课堂精炼】 （1）小明想把55枚棋子放在若干个盒子里，按第一个盒子里放1枚，第2个盒子里放2枚，第3个盒子里放3枚，……，这样下去，最后刚好将棋子放完，那么小明用了多少个盒子呢？ 解析：按前面的规律，每个盒子里放的不一样，55-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10=0,共用了10个盒子。 答：一共用了10个盒子。 （2）黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13，…．擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998．那么，擦去的奇数是多少? 解析：这是道关于奇偶性和等差数列的题目，弄清数列中的规律是解题的关键；要解答本题，从1开始的若