2.5.2 圆与圆的位置关系 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．5.2　圆与圆的位置关系 1. 掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2. 能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系． 3. 能综合应用圆与圆的位置关系解决问题． 活动一　圆与圆的位置关系　 1. 情境导学 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食． 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系． 2. 探究：圆与圆的位置关系 (1) 几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2) 代数法：通过两圆的方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 活动二　判断圆与圆的位置关系　 例1　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系． 例2　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0. (1) 当m为何值时，圆C1与圆C2外切？ (2) 当m为何值时，圆C1与圆C2内含？ 例3　已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系． 判断圆与圆的位置关系的两种方法： (1) 几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系； (2) 代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题． 活动三　圆与圆的位置关系的综合应用　 例4　求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程． 例5　已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 例6　求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和 x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 思考►►► 经过两圆交点的圆有多少个？它们的方程有什么共同特点？ 相交弦及圆系方程问题的解决 1. 求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． 2. 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 3. 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 1. (2024蚌埠期末)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋m＝0内切，则实数m的值为(　　) A. 29 B. 9 C. －11 D. 19 2. (2024延庆期末)已知圆x2＋y2＝4上的一点A和圆x2＋y2－4x－4y＝0上的一点B，则AB的最大值为(　　) A. 2＋4 B. 2＋2 C. 4 D. 2 3. (多选)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则下列结论中正确的是(　　) A. 公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B. 线段AB的中垂线方程为x＋y－1＝0 C. 公共弦AB的长为 D. 若P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1 4. (2024长沙一模)已知点A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足 PA2＋PB2＋PC2＝13，则实数r的取值范围是________． 5. 已知线段AB的端点B的坐标是(4，2)，端点A在圆C：(x＋2)2＋y2＝16上运动． (1) 求线段AB的中点的轨迹H的方程； (2) 判断(1)中轨迹H与圆C的位置关系． 【参考答案与解析】 2．5.2　圆与圆的位置关系 【活动方案】 例1　方法一：将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①－②，得x＋2y－1＝0，　 ③ 由③，得y＝. 把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④ 方程④的根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>