2.5.1 直线与圆的位置关系(2) 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．5.1　直线与圆的位置关系(2) 1. 解决直线与圆相切中的切线方程、切线长、切点弦方程等问题． 2. 理解直线与圆相交的弦长问题． 3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用． 活动一 直线与圆相切的综合问题 例1　已知圆x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程． 探究： 已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，当点M(x0，y0)(异于原点)在圆上、圆外时，研究直线l：x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系． 结论： (1) 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 推论：过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (2) 过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则切点弦AB的方程为x0x＋y0y＝r2. 例2　已知圆C：(x－2)2＋y2＝2. (1) 求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程； (2) 从圆外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且PM＝PO，求使PM 最小的点P的坐标． 活动二　直线与圆相交的综合问题　 例3　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． 　已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程． 1. 直线和圆相交的几何性质： ①d<r(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径)； ②圆心、弦的端点、弦的中点构成直角三角形． 2. 弦长公式(A，B为直线与圆的交点)： ①几何法：AB＝2； ②代数法：计算出两交点，则 AB＝ ＝|x1－x2| ＝|y1－y2| (注：直线的斜率k存在). 例4　已知直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，求弦AB的垂直平分线的方程． 1. 已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为(　　) A. －2 B. －4 C. －6 D. －8 2. (2024泰安期末)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，若当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则实数m的值为(　　) A. ± B. ± C. ±1 D. ± 3. (多选)(2023成都期末)已知曲线C：y＝，直线l：mx＋y＋2＋2m＝0，A为曲线C上的动点，则下列说法中正确的是(　　) A. 直线l恒过定点(0，－2) B. 当m＝－1时，直线l被曲线C截得的弦长为2 C. 若直线l与曲线C有两个交点，则实数m的范围为 D. 当m＝1时，点A到直线l距离的最小值为3－2 4. (2023保定期末)已知函数f(x)＝＋2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 y＝1的对称点在y＝－kx＋1的图象上，则实数k的取值范围是________． 5. 已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1) 求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点； (2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若AB＝，求直线l的倾斜角． 【参考答案与解析】 2．5.1　直线与圆的位置关系(2) 【活动方案】 例1　当点M不在坐标轴上时，由x2＋y2＝r2，可知圆心为原点 (0，0)，所以直线OM的斜率k＝.因为所求切线与直线OM垂直，所以切线的斜率为－，所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝r2.当点M在坐标轴上时，验证可知上面的方程同样适用．综上，所求切线方程为x0x＋y0y＝r2. 探究：①当点M(x0，y0)在圆上时，即x＋y＝r2，圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝＝r，故此时直线与圆O相切． ②当点M(x0，y0)在圆外时，即x＋y>r2，圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝<r，故此时直线与圆O相交． 例2　(1) 由题意，得圆心C的坐标为(2，0)，半径为. 若切线过原点，则设切线方程为kx－y＝0， 则＝，解得k＝±1， 所以切线方程为x＋y＝0或x－y＝0； 若切线不过原点，则设切线方程为x＋y＋c＝0， 则＝，解得c＝－4或c＝0， 所以切线方程为x＋y－4＝0或x＋y＝0. 综上，所求切线的方程为x＋y＝0或x－y＝0或x＋y－4＝0. (2) 设点P的坐标为(x，y). 因为PM＝PO，PM2＋r2＝PC2， 所以x2＋y2＋2＝(x－2)2＋y2，解得x＝， 所以点P的轨迹为直线x＝. 要使PM最小，即使PO最小， 过点O作直线x＝的垂线，垂足为P， 故点P的坐