2.5.1 直线与圆的位置关系(1) 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系(1) 1. 能从“数”和“形”两个角度判断直线与圆的位置关系． 2. 会求直线与圆相切的切线方程和切线长． 3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用． 活动一 情境导学 “海上生明月，天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊．在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采． 这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离． 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面研究直线与圆的位置关系． 活动二　直线与圆位置关系的判断　 例1　求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断直线和圆的位置关系． 例2　求实数m的取值范围，使得直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：(1) 相交；(2) 相切；(3) 相离． 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 判定 方法 几何法：比较d与r的大小 d>r d＝r d<r 代数法：依据方程组 解的情况 Δ<0， 方程组无解， 直线与圆相离 Δ＝0， 方程组只有一解， 直线与圆相切 Δ>0， 方程组有两组不同的解， 直线与圆相交 活动三 求直线和圆相切的切线方程与切线长 例3　过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程． 切线方程的求法： 1. 求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系，得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．若k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0. 2. 求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，此时的切线有两条，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数形结合求出． 变式1　例3中，当点P的坐标为(1，3)时，求切线l的方程． 变式2　求例3中的切线长． 直线和圆相切的几何性质： ①d＝r； ②圆心、切点、切线上一点构成直角三角形； ③切线垂直于过切点的半径． 1. (2024焦作期末)若圆C：(x－2)2＋＝a与x轴相切，则实数a的值为(　　) A. 1 B. C. 2 D. 4 2. (2024南京联考)若直线y＝kx＋4(k>0)与曲线y＝有两个交点，则实数k的取值范围为(　　) A. (，＋∞) B. [，＋∞) C. [，2] D. (，2] 3. (多选)在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知圆x2＋y2＝9，直线l：y＝x＋b，若圆上至少有三个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是________． 5. (2024太原期末)已知圆M的方程为x2＋y2－6x－8y＋21＝0，点P(3，m)在圆M内． (1) 求实数m的取值范围； (2) 求过点Q(1，0)，且与圆M相切的直线l的方程． 【参考答案与解析】 2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系(1) 【活动方案】 例1　直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标就是方程组的解， 解这个方程组，得或 所以公共点的坐标为(10，0)，. 因为直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交． 例2　圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2. (1) 若直线与圆相交，则d＜r，即＜2，解得m＜－2或m＞2. (2) 若直线与圆相切，则d＝r，即＝2，解得m＝2或m＝－2. (3) 若直线与圆相离，则d＞r，即＞2，解得－2＜m＜2. 例3　方法一：当切线斜率不存在时，方程为x＝2，与圆不相切， 所以切线斜率存在． 设切线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0， 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1， 得＝1，解得k＝0或k＝， 所以所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0. 方法