奥数第20讲数码问题（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学人教版

第20讲 数码问题 每个数中都要用到数字（数字，又叫数码，指的是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数），在数学学习过程中，常常要研究“数”与“组成它的数码”之间的关系，这类问题叫“数码问题”。 【模块一：知识点拨】 1、一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码； 2、两位数共有90个，组成所有的两位数需要2×90＝180个数码； 3、三位数共有900个，组成所有的三位数需要3×900＝2700个数码 。 4、隐藏的规律： 数字0～9在各数位上出现的次数： 1～99的自然数中：0出现9次；即：10、20……90 1～99的自然数中：1～9各出现了20次； 1-9,1出现1次；10、11-19，1出现11次； 20-99，1出现8次，共出现20次。 1～999的自然数中：0出现了189次； 1～999的自然数中：1～9各出现300次 【模块二：精讲精练】 【例1】 一个两位数，个位数字是十位数字的3倍，如果这个数加上5，则两个数字就相同。求这个两位数。 解析：有这样的3个信息：1.一个两位数；2.个位数字是十位数字的3倍；3.如果这个数加上5，两个数字相同。 根据信息1和2，我们可以确定这个两位数可能是13,26,39。 加上信息3，那么： 13+5=18，两个数字不同； 26+5=31，两个数字不同； 39+5=44，两个数字相同。 结合3个信息，可以确定这个两位数是39。 答案：39 【例2】一本科幻小说有100页，编这本科幻小说的页码一共用了多少次数字“1”？ 解析：（1）个位出现的次数：每10个连续页码出现1次，即1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，一共有10次；（11是看个位上的“1”） （2）十位出现的次数：每100个连续页码出现10次，即10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，一共有10次； （3）百位出现的次数： 100出现了1次。 所以“1”被使用了10+10+1=21（次）。 答：编这本科幻小说的页码一共用了21次数字“1”。 【课堂精炼】 1. 编一本画册的页码原先用了69个数字，后来又增加了8页，那么还要增加多少个数字编页码？ 解析： 方法一：我们可以先算出画册原来用69个数字编到第几页，然后再算出增加页数所用的数字。 （69-9）÷2=30（页），30+9=39（页）， 因此原先编到39页，后来增加8页，是从第40页到第47页，增加了8×2=16（个）数字。 方法二： 先估算这本画册最后一页的页码是几位数。因为编完两位数的页码要用189个数字，而现在只用了69个数字 ，说明最后一页的页码一定是两位数，那么增加8页的页码也都是两位数，因此增加了 2×8=16（个）数字。 2. 编一本《数学趣味故事》的页码，一共用了19个数字“0”，这本书有多少页？ 解析：我们先算一算书的页码从第1到第99页要用几个数字“0”。 （1）个位：用9个“0”，即10，20，30，40，50，60，70，80，90； （2）十位：没有“0”； （3）还可以用10个数字“0”，编第100页用去2个“0”，编第101--108页用去8个“0”，即101，102，103，104，105，106，107，108。 合起来用了19个数字“0”。 答：这本书有108页。 【例3】4个连续自然数的和是206，这四个连续的自然数各是多少呢？ 解析： 方法一：告诉了四个连续的自然数，因此，以最小的自然数作为标准，后面三个自然数依次比第一个数大1，大2，大3。 我们可以先算最小的自然数， 206-1-2-3=200。 200÷4=50。 其余3个自然数分别为：51,52,53。 方法二：我是以最大的自然数作为标准，其余三个自然数依次比最大的那个小1，小2，小3。先算最大的自然数：206+1+2+3=212。 212÷4=53。其余3个自然数分别为：52,51,50。 方法三：因为是四个连续自然数，那么，以最小的自然数为标准，后一个数就依次比前一个数大1，大2，大3。这里和天天的想法差不多。 不过，我们可以把最小的那个自然数看作a,那么，依次为a+1,a+2,a+3。 又因为和是206，那么a+（a+1）+（a+2）+（a+3）=206。 a+a+a+a+6=206。 4a+6=206。 4a=200。 a=50。也就是四个自然数中，最小的为50，后面依次为51,52,53。 【例4】求500~1000的所有自然数之和。 解析：首先求出自然数的个数：（1000－500）÷1＋1＝501个。 然后首尾配对求和（500＋1000）×501÷2＝375750. 这里的除以2，既可以理解成配对的组数，也可以理解成反向再写一组（1000，999，998，……