奥数第15讲用枚举法解应用题（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学人教版

第15讲 用枚举法解应用题 养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿，边拿边数，筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了．这种计数的方法就是枚举法．一般地，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的．这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。 运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏．为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 【模块一：知识点拨】 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一 一列举问题解答。 运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点： 一是分类要全，不能造成遗漏； 二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 利用枚举法解应用题的做题方法： 1. 按顺序枚举：从小到大，从少到多，从前到后...... 题目中没给出顺序的，要学会自己创造顺序。 2. 注意“有顺序”和“无顺序”的区别：两大问题；有顺序的题需要更加细心，看清题目要求；有顺序的题需要更加耐心，逐一列举别遗漏！ 3. 学会逆向思维：通过问题的反面来枚举，这是一种简化问题的手段，高效、快速且不易出错，做完信心倍增。这也是方法带来的思维提升。 【模块二：精讲精练】 【例 1】 用3.5.6三张数字卡片，可以排成几个不同的三位数？其中最小的三位数是多少？最大的三位数是多少？ 解析：解答如下： 组成三位数，先把百位上的数字确定，再确定十位和个位上的数字。百位上的数字可以为3，为5，为6。 第一类，当百位上的数字为3，有356，365； 第二类，当百位上的数字为5，有563，536； 第三类，当百位上的数字为6，有653，635。 所以可以组成这六个三位数。 要想知道哪个三位数最大或者最小，就需要最高位上的数字最大或者最小。百位上最大为6，所以组成的最大三位数是653。百位上最小为3，所以组成的最小的三位数是356。 【例2】小白有面值为5角，8角的邮票各两枚，他用这些邮票能够付多少种不同的邮资呢？（小提示：邮资就是寄信的时候，所需邮票的钱数。） 解析：第一类：用1枚邮票时有5角和8角两种； 第二类：用2枚邮票时有1元，1元3角和1元6角3种； 第三类：用3枚邮票时有1元8角和2元1角2种； 第四类：用4枚邮票时有2元6角1种。因此就是2+3+2+1=8（种） 【课堂精炼】 1. 用3张10元和2张50元一共可以组成多少种币值？ 解析：一张的：10元、50元； 二张的：20元、60元、100元； 三张的：30元、70元、110元； 四张的：80元、120元； 五张的：130元； 共有：11种 答案：共有11种。 2. 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地经乙地到丙地有多少条路可以走？ 解析：通过图示可知：由甲地到丙地要分两步完成：①从甲地到乙地；②从乙地到丙地。因此，从甲到乙，如果走A路线，就有三条路线，分别是AC,AD,AE。从甲到乙，如果走B路线，也有三条路线，分别是BC,BD,BE。3+3=6（条） 也可以用乘法：2×3=6（条） 答案：从甲地经乙地到丙地有6条路可以走。 【例3】在10和31之间有多少个数是3的倍数？ 解析：解：由尝试法可求出答案： 3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21 3×8=24 3×9=27 3×10=30 可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个。 注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法： 10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数； 1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数； 333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数。 由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围。 【例4】小虎给4个小朋友写信。由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了。4个好朋友收到的都是给别人的信。问小虎装错的情况共有多少种可能？ 解析：把4封信编号：1，2，3，4。 把小朋友编号，友1，友2，友3，友4。 并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：   说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信。 【课堂精炼】 1. 两个整数之积为144，差为10，求这两个数？ 解析：解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来： 1 2 3 4 6 8 9 12 144 72 48