奥数第11讲一元一次方程（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学人教版

第11讲 一元一次方程 一、方程的起源 方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了 个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。 古代解方程的方法是利用算筹。我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。 《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！ 二、方程的重要性 方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。 【模块一：知识点拨】 1. 相关名词解释 1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式 2、等式：表示相等关系的式子 3、方程：含有未知数的等式 4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程 例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程； 如：，，， 一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值； 如：是方程的解，是方程的解， 5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。 6、方程的能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解 2. 解方程的步骤 1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。 2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。我们常说“移项变号”。 3、移项的目的：是为了把含有x的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解。 4、怎样检验方程的解的正确性？ 判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。 【模块二：精讲精练】 【例1】 解下列一元一次方程：⑴ ；⑵ ； 解析：⑴ （根据等式基本性质1，方程两边同时减3） （移项，变号） 1. 把方程左边（或右边）的项移到方程的右边（或左边），叫做移项．移项的目的是把未知项和已知项分别集中在等号的两边，移项的依据是等式基本性质1．学生掌握熟练后，第一步可省略直接移项即可．移项最重要的是“变号”，我们可以形象地把等号看作“桥”，无论是未知项还是已知项，都要“过桥变号”，也就是“移项变号”． ⑵ （根据等式基本性质1，方程两边同时加x） （移项，变号） （根据等式基本性质1，方程两边同时减3） 1. 需要注意的是把“”转换成“”是把等式两边互换位置，不是移项，不需要变号． 1. 【答案】⑴ ⑵ 1. 【例2】解下列一元一次方程：⑶ ；⑷ 。 解析： ⑶ （根据等式基本性质2，方程两边同时乘以3） ⑷ （根据等式基本性质2，方程两边同时除以3） 1. 化未知数系数为1时，千万不要只化未知项，漏作已知项．通常解方程时未知项在左边，已知项在右边． 【答案】⑶ ⑷ 【课堂精炼】 （1）解方程： （2）解方程： （3）解方程： （4）解方程 解析： （1） （两边同时-3） （2）解方程： （两边同时） （两边同时-6） （3）解方程： （两边同时） （4）解方程 （两边同时4） 【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【例3】38与一个数的3倍的和是140，求这个数。 解析：设这个数为χ，则 38＋3χ=140 3χ=140－38 3χ=102 χ=34 检验 左边=38＋34×3=140 右边=140 【答案】这个数是34。 【例4】一个数，如果加上3，乘以5，减去5，再除以5，结果还是5，求这个数是多少。（用方程解） 解析： 设这个数为χ，则根据题意得到方程如下 [5×(χ+3)－5]÷5=5 5×(χ+3)－5=25 5×(χ+3)=30 χ+3=6 χ=3 答：所求数是3。 【课堂精炼】 1.某数加上3再乘以8，减去8，得56。这个数先减去1，再乘以4，然后加上